第3章杆件强度、刚度与稳定性.ppt

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第3章杆件的强度、刚度和稳定性,3.1应力与强度3.2杆件的变形与刚度3.3压杆的稳定性分析,第3章杆件的强度、刚度和稳定性,3.1应力与强度,问题引入,细杆,粗杆,（材料相同）,（粗细一致）,杆之截面形状大小,杆之材料,3.1.1应力的概念,截面分成同样大小（共25个）的单位正方形,（如,、,

（2）若内力N垂直于截面但偏于一边，则靠近N的（如、）为大，远离N的（如、）为小，且呈三角形变化。

（1）若内力N垂直于截面且过形心，则从到皆相等，即25个单位面积力是均匀分布的。

（3）若内力V平行于截面，则便“帖”在截面上，的大小还可能出现呈抛物线形变化，即在截面中间的5个方格内的（如、）为最大值，而在截面的两对边的方格内的（如、或、）为小，在边缘上。

讨论：

（如,应力是单位面积上的力，单位面积力的数值之和截面上的合力。

如均匀分布的应力（），截面面积为A，轴向内力为N，则，或。

当A越小，在N不变之下，分布的密集程度就越高，即数值越大，反之亦然。

故应力为内力在一点处的集度。

应力,应力单位：

牛顿/米2（N/m2），用“帕（Pa）”示之，即1Pa1N/m2。

1KPa103Pa103N/mm2；1MPa106Pa1N/mm2；1GPa109Pa103N/mm2。

如何通过改变几何形状或尺寸，来改变应力的大小？

体重W不变，脚下的应力可随鞋与地面的接触面积不同而改变。

高背软椅的低应力使人感到舒适，而硬板凳的高应力却使人不爽。

大头盖使拇指产生舒适应力，针尖产生非常高的应力,3.1.2轴向拉（压）杆的应力及强度计算,1）轴向拉（压）杆的应力,拉伸前画两线段、,平面假设：

变形前横截面为平面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线,平面假设,纵向伸长l相同,讨论：

对于变截面杆（A非常量），所在截面的应力不一定为最大，因还需考虑A是否为最小。

对于等直杆，当N不变时，若杆截面（A）细小，则就大，细杆易断；当轴向外力较多时，应求得最大轴力，此时。

【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为240mm240mm，承受荷P1=50kN；下段370mm370mm，承受荷载P2100kN，现试求各段之应力。

AB段：

A1240240mm57600mm2,

（2）求应力,注意：

计算时，将轴力N的正负号代入，结果为正则为拉应力，负即为压应力。

AB段：

BC段：

BC段：

A2370370mm136900mm2,N图,【例3.2】图（a）为一斗式提升机。

斗与斗之间用链条连接，链条的计算简图如图（b）所示，每个料斗连同物料的总重量P=2000N。

钢链由两层钢板构成，如图（c）所示。

每个链板厚t=4.5mm，宽h=40mm，高H=65mm，钉孔直径d=30mm。

试求链板的最大应力。

【解】

（1）求轴力并画轴力图,

（2）求应力:

腰部：

A12ht=240mm4.5mm360mm2,孔处：

A22（H-d）t=2（65-30）mm4.5mm=315mm2,N图,（c）,2）强度条件,等截面轴向拉（压）杆的强度条件：

注：

材料在拉伸（压缩）时的容许应力。

为容许压应力；,表3.1常用材料的容许应力值（MPa）（适用于常温、静荷载和一般工作条件下的杆）,轴向拉伸,为容许拉应力；,为容许剪应力。

轴向压缩,受剪,已知内力、材料（、），根据强度条件选。

（1）强度校核：

已知材料、尺寸（、）和所受之荷载（），校核杆之强度是否满足要求。

若，则杆之强度就不够,

（2）截面选择：

（3）容许荷载：

已知材料、尺寸（、），根据强度条件确定。

3）强度计算,强度条件,?

？

【例3.3】现有一高度为24m的正方形截面花岗岩石柱，在其顶部作用一轴向荷载P1000kN。

已知石材容重，容许压应力1MPa，现要设计石柱所需的截面尺寸，分两种情况：

（1）柱为等值杆；

（2）柱分为三段的阶梯形杆。

【解】1.计算轴力,用横截面nn，在距顶端为x处截杆，并取上部分为对象。

由平衡方程：

由（A）式可得轴力图。

（A）,2.设计横截面,

（1）等直杆的柱,由（A）式知，当xl时，。

根据强度条件有,取a=1.8m，则。

（2）阶梯形的柱,比较：

与，对于受拉（压）的等直杆，当考虑自重作用时，相当于从材料的容许应力里减去。

若为变截面杆（如阶梯形），则柱顶的力应分段计算。

第1柱段：

取，则。

第2段柱：

作用在第2段柱面上的力为，则,取，则。

第3段柱：

正方形截面边长：

，取，则。

3.等直柱与阶梯柱用材比较,设等直柱和梯形柱体积为、,3.1.3梁的正应力及强度计算,1）分析梁的变形,中性层,

（1）在加M前，画两横向线和，代表两横截面；在两横向线间，又画两条纵向线和。

（2）在加M后，梁发生弯曲变形。

两横向线、，仍保持直线，只是倾斜了微小角度，即横截面仍然保持平面。

两纵向线和都变成了弧线，缩短伸长。

在与之间，有一弧线，它既没缩短也不伸长。

（3）与为同一纵向纤维层，即为中性层，其横截面上的轴为中性轴。

此处的中性层之上为受压区，之下为受拉区。

2）纯弯曲的正应力公式,中性层,中性层,中性轴,截面的惯性矩。

梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩M为一常数。

沿梁宽b的各点正应力，其y值若相同，则值就不变。

讨论,3）惯性矩Iz,惯性矩Iz,立放,平放,结论：

同样一根梁，在同样的荷载作用下，立放时其承载能力比平放时要强。

等截面梁（Iz不变）梁又是纯弯曲（M不变）,ymax和Iz同属于截面几何性质，把两者归类，即令，则,Wz为抗弯截面模量。

若Wz愈大，则就愈小，梁的抗弯性能就愈好，反之亦然，故Wz又称为截面抵抗矩，单位为m3。

对于矩形截面，若，且，则,对于圆形截面，若，且，则,4）横力弯曲的正应力公式,最大弯矩Mmax所在的横截面，其应力比其它截面的应力都要大，属于危险截面。

横力弯曲的正应力公式：

且离中性轴最远（yymax）的边缘处。

结论：

中性轴,

（1）强度条件,材料抗弯容许应力,强度条件变成：

脆性材料：

，为达到材尽其用，常用上下不对称之截面。

此时，同一截面则有两个抗弯截面模量，且较小者，其应力较大。

（2）强度计算,强度校核,截面选择,许可荷载,5）强度条件及计算,【例3.4】如图所示楼板主梁为工字型钢。

已知集中荷载P75kN，跨度l10m，钢的材料抗弯容许应力152MPa，试选择工字钢截面的型号。

l,【解】梁的两端具有稍为转动及伸缩的可能，故梁计算简图可视为简支梁，,1.求,先求出A、B两处的支座反力：

YAYB（375）/2112.5kN,再画出梁的弯矩图，最大弯矩在为,2.求,3.选型号,查附录3型钢表，选56b号工字钢，得Wx2447cm3Wz=2467cm3,但相差不到1%，故可用。

【例3.5】矩形截面的简支木梁，已知l=4m，b=120mm，h=180mm，q=5.1kN/m，木材的容许应力=10MPa。

试校核梁的强度。

2.求,3.强度校核,故不安全，应重新设计截面。

4.截面重设,取,（为什么？

）,北宋李诫营造法式：

“凡梁之大小，随其广高为三分，以二分为厚”,ql2/8,3.1.4梁的剪应力及强度计算,横力弯曲,？

1）矩形截面梁的剪应力,立体图,平面图,比较,【例3.6】图为一矩形截面悬臂梁，试比较横截面内发生的最大剪应力和最大正应力。

V图,【解】1.作V图和M图,最大负弯矩发生在梁的根部，MmaxPl。

所有横截面上，剪力值恒定，VmaxP，,2.求最大剪应力,3.求最大正应力,因矩形截面的抵抗矩，故有,4.比较,2）薄壁截面梁的剪应力,薄壁,工字形截面：

上、下翼缘很小，不计。

腹板为矩形，在中性轴（z轴）有，且与相差很小，故视为均匀分布：

（A1为腹板的面积）,T形截面：

其腹板与工字形的腹板类似，在截面的中性轴（z轴）之上。

圆环形截面：

还是发生在中性轴（z轴）之上。

3）强度条件及计算,材料在纯剪切时的容许剪应力,梁的剪应力强度条件：

对于矩形截面的等直梁，其强度条件：

【例3.7】一矩形截面简支木梁，梁上作用有均布荷载q。

已知：

l4m，q4kN/m，弯曲时材料的容许拉应力，容许剪应力；若取截面的高宽比为3/2，试确定矩形截面的高和宽。

V图,M图,【解】1.画出V图、M图,2.由正应力强度条件确定b、h,梁所需的抗弯截面模量：

而,又,，取b13cm，h19cm,3.验算剪应力强度条件：

3.2杆件的变形与刚度,问题引入,杆件,？

问题：

杆件的变形应如何确定？

其量值怎样计算？

何谓刚度条件？

3.2.1拉（压）杆的轴向变形虎克定律,1）纵向变形,杆原长l,杆的纵向变形（伸长或缩短）为,2）横向变形,设原横向尺寸为a，变形后为a1，则杆横向总变形为：

较粗,较细,3）线应变,问题：

纵向伸长l为杆的总变形量，反映不了杆的变形程度。

试验,纵向应变,l/l是相对变形，称线应变，是一无量纲的量。

拉（压）杆的与的正负号总是相反的！

或,（为泊松比）,4）应力和应变关系虎克定律,杆伸长或压缩的变形量l,引人比例常数E,讨论：

A为杆的截面面积，故EA代表截面的刚度,结论：

在应力不超过比例极限时，应力和应变成正比，其比例常数为弹性模量E。

比例常数E是具有单位的量，故又称之为模量,【例3.8】由铜和钢组成的变截面杆，AB段横截面面积A120102mm2，DE段横截面面积A210102mm2；铜的弹性模量E1100GPa，钢的弹性模量E2200GPa。

试求杆纵向总变形量l。

【解】按N、E、A变化情况，分别计算每段长度的改变量，最后的代数和即为杆纵向总变形量l。

2.求各段的纵向伸长量或缩短量,1.画杆之轴力图,（正值表示该段伸长，负值表示该段缩短）,3.求l,故整根杆缩短了0.15mm。

N图,3.2.2梁的弯曲变形及刚度校核,以悬臂梁为例,横看梁的截面,因设y轴向下为正,规定,讨论：

（1）挠度的正负与单位,

（2）转角的正负与单位,1）梁的转角、挠度和挠曲线方程,最大转角：

挠曲线方程：

（）,最大挠度：

挠曲线方程：

最大转角：

最大挠度：

挠曲线方程：

最大转角：

最大挠度：

挠曲线方程：

最大转角：

最大挠度：

（）,（）,（）,2）用叠加法计算梁的变形,【例3.9】一等截面简支梁，其上作用有集中荷载P和均布荷载q，求跨中C点的挠度和截面A的转角。

B,【解】,受有多个荷载的梁,3）梁的刚度校核,梁的刚度条件：

刚度条件,梁的容许挠度限值在范围内，规范对值有具体规定。

梁应满足,强度条件,一般情况,控制作用,从属地位,【例3.10】现有一简支梁，已知：

l6m，q4kN/m，f/l1/400，由强度条件梁已选用22a号工字钢，其弹性模量E200GPa；试校核梁的刚度。

【解】查附录3知，22a号工字钢的惯性矩IzIx3406cm4340610-8m4，在均布荷载q作用下的简支梁，其最大挠度发生于跨中，且为,故满足刚度要求。

3.3压杆的稳定性分析,问题引入,两根粗细一样，但长短不同之木杆，为什么长杆容易被折断？

试验比较,不同长细之杆的抗压能力,截面尺寸：

杆之长度：

若按材料强度计算，则杆之抗压承载力为,故杆之压力6000N时才会发生强度破坏,结论：

压杆承载力为P2=30N,3.3.1压杆稳定性的概念,把压杆保持原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性，其破坏简称为压杆失稳。

压杆强度不足的破坏,压杆失稳的破坏,加拿大魁北克大桥,突然倒塌,脚手架失稳,脚手架,压杆稳定性问题尤为重要！

3.3.2压杆的临界力及公式,1）压杆的临界力,临界力,杆件材料,2）临界力的计算公式,（欧拉公式）,讨论：

（1）一旦压杆给定，即、已知，则也已知。

若越大，则