第3章杆件强度、刚度与稳定性.ppt

1、第3章 杆件的强度、刚度和稳定性,3.1 应力与强度 3.2 杆件的变形与刚度3.3 压杆的稳定性分析,第3章杆件的强度、刚度和稳定性,3.1应力与强度,问题引入,细杆,粗杆,（材料相同）,（粗细一致）,杆之截面形状大小,杆之材料,3.1.1 应力的概念,截面分成同样大小（共25个）的单位正方形,（如,、,（2）若内力 N 垂直于截面但偏于一边，则 靠近 N 的（如、）为大，远离 N 的（如、）为小，且呈三角形变化。,（1）若内力 N 垂直于截面且过形心，则从 到 皆相等，即 25 个单位面积力是 均匀分布的。,（3）若内力 V 平行于截面，则 便“帖”在截面上，的大小还可能出现呈抛物线形 变

2、化，即在截面中间的 5 个方格内的（如、）为最大值，而在截面的 两对边的方格内的（如、或、）为小，在边缘上。,讨论：,（如,应力是单位面积上的力，单位面积力的数值之和截面上的合力。,如均匀分布的 应力（），截面面积为 A，轴向内力为 N，则，或。,当 A 越小，在 N 不变之下，分布的密集程度就越高，即数值越大，反之亦然。故应力为内力在一点处的集度。,应力,应力单位：牛顿/米2（N/m2），用“帕（Pa）”示之，即1Pa1N/m2。,1KPa103Pa103N/mm2；1MPa106Pa1N/mm2；1GPa109Pa103N/mm2。,如何通过改变几何形状或尺寸，来改变应力的大小？,体重 W

3、 不变，脚下的应力可随鞋与地面的接触面积不同而改变。,高背软椅的低应力使人感到舒适，而硬板凳的高应力却使人不爽。,大头盖使拇指产生舒适应力，针尖产生非常高的应力,3.1.2 轴向拉（压）杆的应力及强度计算,1)轴向拉（压）杆的应力,拉伸前画两线段、,平面假设：变形前横截面为平面，变形后仍保持为平面，且垂直于杆轴线,平面假设,纵向伸长 l 相同,讨论：,对于变截面杆（A 非常量），所在截面的应力不一定为最大，因还需 考虑 A 是否为最小。,对于等直杆，当 N 不变时，若杆截面（A）细小，则就大，细杆易断；当轴向外力较多时，应求得最大轴力，此时。,【例3.1】在例2.2中，砖柱上段截面尺寸为 24

4、0mm240mm，承受荷 P1=50kN；下段 370mm370mm，承受荷载 P2100kN，现试求各段之应力。,AB段：A1240240mm57600mm2,（2）求应力,注意：计算时，将轴力 N 的正负号代入，结果为正则为拉应力，负即为压应力。,AB段：,BC段：,BC段：A2370370mm136900mm2,N 图,【例3.2】图(a)为一斗式提升机。斗与斗之间用链条连接，链条的计算简图如图(b)所示，每个料斗连同物料的总重量 P=2000N。钢链由两层钢板构成，如图(c)所示。每个链板厚 t=4.5mm，宽 h=40mm，高H=65mm，钉孔直径 d=30mm。试求链板的最大应力。

5、,【解】（1）求轴力并画轴力图,（2）求应力:,腰部：A12ht=240mm 4.5mm 360mm2,孔处：A22(H-d)t=2（65-30）mm 4.5mm=315mm2,N 图,(c),2)强度条件,等截面轴向拉（压）杆的强度条件：,注：,材料在拉伸（压缩）时的容许应力。,为容许压应力；,表3.1常用材料的容许应力值（MPa）（适用于常温、静荷载和一般工作条件下的杆）,轴向拉伸,为容许拉应力；,为容许剪应力。,轴向压缩,受剪,已知内力、材料（、），根据强度条件选。,（1）强度校核：,已知材料、尺寸（、）和所受之荷载（），校核杆之强度是否满足要求。,若，则杆之强度就不够,（2）截面选择：

6、,（3）容许荷载：,已知材料、尺寸（、），根据强度条件确定。,3)强度计算,强度条件,?,？,【例3.3】现有一高度为 24m 的正方形截面花岗岩石柱，在其顶部作用一轴向荷载P1000 kN。已知石材容重，容许压应力 1 MPa，现要设计石柱所需的截面尺寸，分两种情况：（1）柱为等值杆；（2）柱分为三段的阶梯形杆。,【解】1.计算轴力,用横截面 nn，在距顶端为 x 处截杆，并取上部分为对象。,由平衡方程：,由（A）式可得轴力图。,（A）,2.设计横截面,（1）等直杆的柱,由（A）式知，当 xl 时，。,根据强度条件有,取 a=1.8 m，则。,（2）阶梯形的柱,比较：与，对于受拉（压）的等直

7、杆，当考虑自重作用时，相当于从材料的容许应力 里减去。若为变截面杆（如 阶梯形），则柱顶的力应分段计算。,第 1 柱段：,取，则。,第 2 段柱：,作用在第 2 段柱面上的力为，则,取，则。,第 3 段柱：,正方形截面边长：，取，则。,3.等直柱与阶梯柱用材比较,设等直柱和梯形柱体积为、,3.1.3 梁的正应力及强度计算,1)分析梁的变形,中性层,（1）在加 M 前，画两横向线 和，代 表两横截面；在两横向线间，又画两条 纵向线 和。,（2）在加 M 后，梁发生弯曲变形。,两横向线、，仍保持直线，只是倾 斜了微小角度，即横截面仍然保持平面。,两纵向线 和 都变成了弧线，缩短 伸长。,在 与 之

8、间，有一弧线，它既没 缩短也不伸长。,（3）与 为同一纵向纤维层，即为中性层，其 横截面上的轴为中性轴。此处的中性层之上 为受压区，之下为受拉区。,2)纯弯曲的正应力公式,中性层,中性层,中性轴,截面的惯性矩。,梁在纯弯曲段内，梁的横截面上的弯矩 M 为一常数。,沿梁宽 b 的各点正应力，其 y 值若相同，则 值就不变。,讨论,3)惯性矩 Iz,惯性矩 Iz,立放,平放,结论：同样一根梁，在同样的荷载作用下，立放时其承载能力比平放时要强。,等截面梁（Iz 不变）梁又是纯弯曲（M 不变）,ymax 和 Iz 同属于截面几何性质，把两者归类，即令，则,Wz 为抗弯截面模量。若Wz 愈大，则 就愈小

9、，梁的抗弯性能就愈好，反之亦然，故 Wz 又称为截面抵抗矩，单位为 m3。,对于矩形截面，若，且，则,对于圆形截面，若，且，则,4)横力弯曲的正应力公式,最大弯矩 Mmax 所在的横截面，其应力比其它截面的应力都要大，属于危险截面。,横力弯曲的正应力公式：,且离中性轴最远（yymax）的边缘处。,结论：,中性轴,（1）强度条件,材料抗弯容许应力,强度条件变成：,脆性材料：，为达到材尽其用，常用上下不对称之截面。,此时，同一截面则有两个抗弯截面模量，且较小者，其应力较大。,（2）强度计算,强度校核,截面选择,许可荷载,5)强度条件及计算,【例3.4】如图所示楼板主梁为工字型钢。已知集中荷载 P7

10、5kN，跨度 l10m，钢的材料抗弯容许应力 152MPa，试选择工字钢截面的型号。,l,【解】梁的两端具有稍为转动及伸缩的可能，故梁计算简图可视为简支梁，,1.求,先求出 A、B 两处的支座反力：,YAYB（375）/2112.5 kN,再画出梁的弯矩图，最大弯矩在为,2.求,3.选型号,查 附录3 型钢表，选 56b 号工字钢，得 Wx2447cm3 Wz=2467cm3,但相差不到1%，故可用。,【例3.5】矩形截面的简支木梁，已知 l=4m，b=120mm，h=180mm，q=5.1kN/m，木材的容许应力=10MPa。试校核梁的强度。,2.求,3.强度校核,故不安全，应重新设计截面。

11、,4.截面重设,取,（为什么？）,北宋李诫营造法式：“凡梁之大小，随其广高为三分，以二分为厚”,q l 2/8,3.1.4 梁的剪应力及强度计算,横力弯曲,？,1)矩形截面梁的剪应力,立体图,平面图,比较,【例3.6】图为一矩形截面悬臂梁，试比较横截面内发生的最大剪应力和最大正应力。,V 图,【解】1.作 V 图和 M 图,最大负弯矩发生在梁的根部，MmaxPl。,所有横截面上，剪力值恒定，VmaxP，,2.求最大剪应力,3.求最大正应力,因矩形截面的抵抗矩，故有,4.比较,2)薄壁截面梁的剪应力,薄壁,工字形截面：上、下翼缘 很小，不计。腹板为矩形，在中性轴（z 轴）有，且 与 相差 很小，

12、故视为均匀分布：,（A1为腹板的面积）,T形截面：其腹板与工字形的腹板类似，在截面的中性轴（z 轴）之上。,圆环形截面：还是发生在中性轴（z 轴）之上。,3)强度条件及计算,材料在纯剪切时的容许剪应力,梁的剪应力强度条件：,对于矩形截面的等直梁，其强度条件：,【例3.7】一矩形截面简支木梁，梁上作用有均布荷载 q。已知：l4m，q4kN/m，弯曲时材料的容许拉应力，容许剪应力；若取截面的高宽比为 3/2，试确定矩形截面的高和宽。,V 图,M 图,【解】1.画出V 图、M 图,2.由正应力强度条件确定 b、h,梁所需的抗弯截面模量：,而,又,，取b13 cm，h19 cm,3.验算剪应力强度条件

13、：,3.2杆件的变形与刚度,问题引入,杆件,？,问题：杆件的变形应如何确定？其量值怎样计算？何谓刚度条件？,3.2.1 拉（压）杆的轴向变形虎克定律,1)纵向变形,杆原长 l,杆的纵向变形（伸长或缩短）为,2)横向变形,设原横向尺寸为 a，变形后为 a1，则杆横向总变形为：,较粗,较细,3)线应变,问题：纵向伸长 l 为杆的总变形量，反映不了杆的变形程度。,试验,纵向应变,l/l 是相对变形，称线应变，是一无量纲的量。,拉（压）杆的与 的正负号总是相反的！,或,（为泊松比）,4)应力和应变关系虎克定律,杆伸长或压缩 的变形量 l,引人比例常数 E,讨论：,A为杆的截面面积，故EA代表截面的刚度

14、,结论：在应力不超过比例极限时，应力和应变成正比，其比例常数为弹性模量E。,比例常数 E 是具有单位的量，故又称之为模量,【例3.8】由铜和钢组成的变截面杆，AB段横截面面积A120102 mm2，DE段横截面面积A210102 mm2；铜的弹性模量E1100 GPa，钢的弹性模量E2200GPa。试求杆纵向总变形量l。,【解】按N、E、A 变化情况，分别计算每段长度的 改变量，最后的代数和即为杆纵向总变形量 l。,2.求各段的纵向伸长量或缩短量,1.画杆之轴力图,（正值表示该段伸长，负值表示该段缩短）,3.求l,故整根杆缩短了0.15mm。,N 图,3.2.2 梁的弯曲变形及刚度校核,以悬臂

15、梁为例,横看梁的截面,因设 y 轴向下为正,规定,讨论：,（1）挠度的正负与单位,（2）转角的正负与单位,1)梁的转角、挠度和挠曲线方程,最大转角：,挠曲线方程：,（）,最大挠度：,挠曲线方程：,最大转角：,最大挠度：,挠曲线方程：,最大转角：,最大挠度：,挠曲线方程：,最大转角：,最大挠度：,（）,（）,（）,2)用叠加法计算梁的变形,【例3.9】一等截面简支梁，其上作用有集中荷载 P 和均布荷载 q，求跨中 C 点的挠度和截面 A 的转角。,B,【解】,受有多个荷载的梁,3)梁的刚度校核,梁的刚度条件：,刚度条件,梁的容许挠度 限值在 范围内，规范对 值有具体规定。,梁应满足,强度条件,一

16、般情况,控制作用,从属地位,【例3.10】现有一简支梁，已知：l6m，q4kN/m，f/l 1/400，由强度条件梁已选用 22a 号工字钢，其弹性模量 E200GPa；试校核梁的刚度。,【解】查附录3知，22a号工字钢的惯性矩 IzIx3406cm4340610-8m4，在均布荷载 q 作用下的简支梁，其最大挠度发生于跨中，且为,故满足刚度要求。,3.3 压杆的稳定性分析,问题引入,两根粗细一样，但长短不同之木杆，为什么长杆容易被折断？,试验比较,不同长细之杆的抗压能力,截面尺寸：,杆之长度：,若按材料强度计算，则杆之抗压承载力为,故杆之压力 6000N 时才会发生强度破坏,结论：压杆承载力为 P2=30N,3.3.1 压杆稳定性的概念,把压杆保持原有直线平衡状态的能力，称为压杆的稳定性，其破坏简称为压杆失稳。,压杆强度不足的破坏,压杆失稳的破坏,加拿大魁北克大桥,突然倒塌,脚手架失稳,脚手架,压杆稳定性问题尤为重要！,3.3.2 压杆的临界力及公式,1)压杆的临界力,临界力,杆件材料,2)临界力的计算公式,（欧拉公式）,讨论：,（1）一旦压杆给定，即、已知，则 也已知。若 越大，则