九年级数学第二十六章反比例函数261反比例函数2612反比例函数的图象和性质教案新版新人教版Word文件下载.docx

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图象，并抽象出

的图象，探索并理解k＞0和k＜0时图像的变化情况，体会“分类讨论”的数学思想。

（2）通过小组讨论，经历分析

的图象、总结函数性质的过程，锻炼学生的观察能力和思考、分析、总结的能力，增强归纳概括问题的意识。

（3）让学生经历作函数

图象的过程，通过画图更好的理解函数的增减性，形成数形结合的思想。

（4）在画出反比例函数的图象并探究其性质的过程中，发展“数学抽象”、“直观想象”的数学核心素养。

重点难点

教学重点：

正确画出反比例函数的图象，探究反比例函数的性质。

教学难点：

反比例函数的图象的变化趋势只在每个象限内成立的理解和应用。

课前准备:

多媒体课件，几何画板，实物投影

教学过程：

1．复习提问，导入新知

【问题1】

（1）什么样的函数是反比例函数？

自变量的取值范围是什么？

（2）大家以前还学过哪些函数？

研究这些函数的哪些方面？

（3）我们已经学习了反比例函数的定义，接下来还应研究它哪方面的知识呢？

（4）回顾二次函数

的图象和性质的探究过程。

师生活动：

教师提出问题，学生思考、回答。

教师引导学生复习研究二次函数

的图象和性质的方法和过程，进而提出问题：

反比例函数中比例系数

那么应该如何分类讨论？

学

生回答。

设计意图：

第1问：

复习上节课的反比例函数的定义及自变量的取值范围，这是本节课必备的知识储备，因为反比例函数图象分为两个部分，而不同于一次函数和二次函数是一个整体就是因为

。

第2问：

引导回忆已经学习过的一次函数和二次函数解析式的形式，复习研究函数的一般方法和思路，为学习反比例函数的图象和性质做铺垫。

接下来和同学们一起回顾以前学习的函数，发现以前的函数都有图象，从而引出本节课的课题。

第3、4问：

复习二次函数

的图象和性质的学习过程时，先对a的正负进行分类讨论，再回忆画函数图象的步骤和注意事项，接着观察图象的特征（形状、位置、变化趋势等

），最后归纳得到函数的性质。

让学生类比这一过程去探究反比例函数的图象和性质，为学习反比例函数的图象和性质作好铺垫。

2.类比探究，形成新知

【问题2】画出反比例函数

的图象。

（1）画函数的图象都有哪些步骤？

学生回答。

画一个函数的图象的步骤：

列表——描点——连线。

（2）教师出示问题，画出反比例函数

学生在动手列表、描点之前，先讨论如何选取自变量的值？

要注意什么问题？

学生先独立思考，再在全班统一认识：

自变量

，然后引导学生填表，再让学生画图。

（3）学生独立操作，用“描点”法画函数图象，老师巡堂。

收集并展示学生画出的典型错误和图象：

“列表”时x的取值缺乏代表性，容易忽略

的条件；

“连线”时，由于学生前面所学知识的影响，把双曲线跨象限连接；

没有用光滑的曲线连接，画为一段段折线；

对双曲线与x轴、y轴越来越接近但不相交的趋势不理解画出“尾部转折”的图象。

（4）针对所展示的作图里出现的问题，让学生互相完善和补充。

教师适时提问：

选取自变量的值时，要注意什么？

连线时要注意什么？

图象延伸的趋势是怎样的？

为什么？

教师引导学生思考和回答。

（5）教师小结作图的注意事项，并通过课件演示作图规范。

（6）让学生在这个坐标系中继续画出反比例函数

画完后教师利用几何画板给出图象的完整作图过程。

图象是直观地描述和研究函数的重要工具，通过经历用“描点”法画出反比例函数图象的基本步骤，可以使学生对反比例函数的性质有一个初步的、整体的感性认识，这一点非常重要，一定要让学生在“做”的过程和“思考”的过程积累数学作图经验。

先带领同学们复习描点法画函数图象的步骤，这为接下来画反比例函数图象的步骤理清脉络，让学生知道怎么下手。

接下来师生共同填写表格，因为画反比例函数图象是本节课的难点，而列表也是画图象的三个步骤中最重要的，因此直接让学生动手，而是选择师生共同探讨，这样有效的突破了难点，让学生在讨论中了解画反比例函数时应该注意到自变量的取值应使函数有意义（即x≠0）。

同时，所取的点既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象的特征；

连线时按照自变量从小到大的顺序顺次连接各点，注意图象末端的延伸和延伸的趋势，得到反比例函数的图象。

根据学生作图容易出现图象末端延伸趋势有误的问题，结合作图实例的对比，有针对性的引导学生从解析式的分析入手，让学生先进行“数”（x≠0，y≠0，k≠0）或“式”（解析式中x，y的反比例关系）的分析，进而过渡到对“形”（图象）的认识。

使学生初步理解双曲线与x轴、y轴“越来越靠近”但不相交的趋势。

同时为探究函数的性质做好准备。

学生在第一次画反比例的图象时一定会有诸多问题，老师统一讲解、示范规范画法后，再让学生画

的图象，进一步积累画反比例函数图象的经验。

最后用几何画板展示同时展示出

和

图象，因为第一几何画板是学生很感兴趣的多媒体之一，这能调动学生学习数学的兴趣，第二利用几何画板画图既准确又美观，能准确地看出其图象是光滑的曲线。

【问题3】观察反比例函数

的图象，它们有哪些共同特征？

学生观察，思考，四人小组讨论，归纳。

学生代表发表观点和看法，互相交流和补充，形成统一的认识。

教师引导和评价，给出双曲线的名称。

学生感受“形”的特征，类比对二次函数

图象和性质的学习，容易观察得到函数图象的形状、位置和变化趋势，对反比例函数的图象和性质形成初步的印象。

反比例函数具有丰富的性质，且九年级学生思维能力强，适当放开，以小组讨论的形式给学生充分交流，既激发学生探究问题的主动性和热情，又给学生一个更广阔的思维空间，培养了学生的合作交流能力。

注意把握好“度”，对双曲线的渐进性、对称性以及相对于原点的位置等等，若学生有所发现，教师给予肯定，但不作基本要求。

【问题4】你能由列表中数值的关系，或者由函数解析式来解释这些性质吗？

学生先独立思考，再四人小组合作交流。

学生回答，教师引导和评价。

函数的表示法有解析式法、列表法和图象法。

函数图象是研究函数性质的直观载体，从图象上较容易整体把握函数的性质，但是难以深入局部和细节；

而解析式可以对函数性质进行无限“解读”，但不够直观。

学生观察函数图象，归纳得到函数的性质后，引导学生结合列表中数值的关系，或者观察解析式的特点，去解释说明这些性质，这样结合函数图象和解析式去研究函数的性质，

既深化了学生对函数性质的认识，又体现了数形结合的思想。

追问1对于一般的k>

0的反比例函数，是否也具有同样的性质呢？

师

生活动：

学生猜想，教师演示几何画板，在k＞0的前提下赋予不同的k值，学生观察所得到的反比例函数图象的特征，引导学生发现“变化中的规律性”。

通过几何画板演示，验证猜想，使学生经历从特殊到一般的过程，归纳得到k＞0时，反比例函数的图象特征和性质。

【问题5】猜想反比例函数

（k＜0）的图象和性质是怎样的呢？

你是怎么猜的？

学生猜想，回答。

引导学生根据已有经验猜想，使学生巩固在探究一中获得的经验和思考方法。

同时，引出对k＜0的反比例函数的图象和性

质的探究。

【问题6】请类比刚才的探究过程，探究反比例函数

（k＜0）的图象和性质，验证一下你的猜想。

追问1类比k＞0的情况，你能归纳k＜0时函数的性质吗？

学生自选一个k＜0的反比例函数，借鉴画反比例函数

或

的图象的经验，自主画出函数图象，教师巡视指导。

作图完成后，展示作品，学生说出函数的图象特征和性质。

教师演示几何画板，赋予k不同的负值，引导学生发现“变化中的规律性”。

通过再次画出反比例函数的图象，使学生巩固作图经验。

同时，在总结说出反比例函数的图象特征的过程中，使学生增强对图象的观察、感知、分析、概括的能力，以及经历画出函数图象，并利用函数图象研究函数性质的过程。

3.总结归纳

【问题7】总结反比例函数

的图象特征和性质。

反比例函数

与

的图象有什么共同特征？

有什么不同点？

（1）利用几何画板动态演示，不同的k的取值对反比例函数图象的影响。

（2）观察黑板上

这两个图象总结反比例函数图象有哪些性质？

学生先分小组讨论，派代表总结，最后由教师补充完整。

（3）填表

函数

图象形状

图象位置

变化趋势

教师帮助学生梳理、归纳。

反比例函数的性质是本节课的重点，在教学中让学生分小组讨论，在活动中，让学生自己去观察、类比发现，过程让学生自己去感受，结论让学生自己去总结，实现学生主动参与、探究新知的目的。

学生通过观察比较，总结两个反比例函数图象的共同特征（都是双曲线），以及在平面直角坐标系中的位置，既充分调动学生的积极性，有最大程度加深学生的记忆。

最后通过填表通过归纳，培养学生的抽象概括能力。

4.应用新知，巩固提高

1.下列图象中是反比例函数图象的是（）

2.函数

的图象在第________象限，在每一象限内，y随x的增大而_________。

3.函数

4.函数

，当x>

0时，图象在第____象限，y随x的增大而_________。

5.已知反比例函数的图象如图所示，则k____0，且在图象的每一支上，y随x的增大而___________。

6.已知反比例函数

的图象过点（2，1），则它的图象在________象限，k___0。

7.若反比例函数

（k＜0）的图象上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＜x2＜0，则y1-y2的值是（　）。

A．正数　B．负数　C．非正数　D．非负数

教师多媒体出示例题，请学生板演，教师订正，最后给出给出解答过程。

通过这些练习题的讨论，及时运用、巩固所学的知识，使学生加深对反比例函数性质的理解．

教学反思：

1.注重类比思想

本节课类比一次函数、二次函数，研究函数的基本模式，探究反比例函数的图象与性质，首先使用描点法通过列表、描点、准确画出反比例函数的图象，然后依据图象，观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质。

在探究反比例函数性质时，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用。

对于反比例函数图象及性质的研究与学习，体现的函数学习的一般规律和方法，呈现的“函

数概念——函数的图象和性质——函数的实际应用”的结构，是学习初等函数时不可或缺的，使学生逐步建立完善的认知结构，提高学生分析解决问题能力。

2.重视在教学过程中有效渗透数学思想方法

反比例函数的图象和性质，蕴含着丰富的数学思想。

首先，反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。

其次，从本节课知识的形成过程来看，由“解析式”到“作图”，再到“性质”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程。

本节课首先使用描点法通过列表、描点、准确画出反比例函数的图象，并借助几何画板直观演示图像变化规律，然后依据图象，观察、分析、探究、归纳、概括，得到反比例函数的性质，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，也充分体现了变化与对应的数学思想。

本节课教学中从反比例函数的图象是什么样的？

到描点法作图、探究，再到反比例函数的图象和性质，最后提出应用，充分体现了知识的“产生、发展、形成、应用”主线；

此外，从学生动手作图，到引导学生观察、类比、猜想、交流、探究，再到学生的巩固练习，充分体现以学生为主体的“动手、探究、巩固”的活动主线。

本节课教学中注重思想方法的培养。

反比例函数图象和性质，本身就是“数”与“形”的统一体。

从本节课知识的形成过程来看，由“解析式（确定自变量取值范围）”到“作图（列表、描点、连线）”，再到“性质（观察图象探究性质）”，充分体现了由“数”到“形”，再由“形”到“数”的转化过程，这种函数解析式及性质与函数图象之间的联系，突出体现了两者间的转化对分析解决问题的特殊作用，是转化思想的具体应用，充分体现了变化与对应的数学思想。

3.注重信息技术的应用。

根据本节课教材内容的特点，运用多媒体信息技术，以几何画板绘制反比例函数图象，同时辅之以“点跟踪”等手段，通过动态的演示，让学生观察相关数值的变化，研究图象的变化趋势，抽象概括当k值的变化时，对应的函数图象的变化规律，进而探究反比例函数的性质。

课堂教学中极大的调动了学生的积极性。

《26.1.2反比例函数的图象与性质

（2）》

教师创设情境设计问题，或通

过富有启发性的讲授，或引导学生独立思考、自主探索、合作交流，组织学生操作实验、观察现象、提出猜想、推理论证等，有效地启发学生思考，使学生成为学习的主体，学会学习。

学生已经学习了反比例函数图象的形状和性质，但对于复杂一点的问题，还不能熟练地运用反比例的图象和性质去解决，特别地还不习惯把解析式、图象和性质三者合为一来分析。

教材上本节有两个例题从不同侧面进一步认识反比例函数的图象和性质，也再次体现了数形结合思想在研究函数性质的优势。

在进行相关问题解决前，本节先设置了环节一“复习引入，感知数形结合的必要性”，既帮助学生回忆复习了反比例函数的基本性质，又分别从“数”到“形”及从“形”到“数”初步引导学生进行数形结合地分析反比例函数问题。

第二环节“探究分析，进一步研究图象和性质”对教材的例题3和4进行分析教学，属于小综合问题，不止一层的剖析，有了第一环节的铺垫，学生在此应该较为顺利，为了体现反比例函数

中y随x的变化情况必须在同一象限这一限制条件，设置了教师追问，这里能给学生一个思维的碰撞，也是一个思维的生长点。

第三环节的“巩固练习，用图象和性质解决问题”，把教材课后习题1改编成填空题，习题2改编成“已知函数值的大小关系，判断对应自变量的大小关系”，逆向思维训练，也是更好地体会函数的对应关系，习题3是一个变式，希望引起学生数形结合解决问题的重视，习题4是集反比例函数的概念、性质、图象于一体的本节的综合题，让学生的思考更进一步。

小结环节重数学思想方法的总结，让学生在做后体会数形结合强大的力量。

上一节课通过描点画出图象、结合

解析式探究出反比例函数的性质，而反比例函数图象和性质的运用，是深化对反比例函数认识的重要途径。

根据已知条件求出反比例函数的解析式，判断其图象位置和变化趋势；

反之，根据图象的位置和变化趋势，确定k的范围。

反比例函数

的图象是双曲线，双曲线非常直观地反映了反比例函数的变化规律，而反比例函数的解析式

可以对上述变化规律反映的数量关系进行代数解析。

教材例3说明点在图象上的意义，阐述用待定系数法求解析式的过程，并通过函数解析式分析图象及其性质，这是由“数”到“形”。

例4是由反比例图象求解析式中的未知系数，并由双曲线的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，这是由“形”到“数”的过程。

这两个例子从不同侧面进一步认识反比例函数的图象和性质，也再次体现了数形结合思想在研究函数性质的优势。

（1）进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质；

（2）灵活运用反比例函数的图象和性质解决问题；

（3）领会反比例函数的解析式和图象之间的联系，体会数形结合及转化的思想方法。

进一步理解和掌握反比例函数的图象和性质，并利用它解决一些问题。

根据自变量的大小关系判断函数值的大小关系。

多媒体课件，实物投影

1．复习引入，感知数形结合的必要性

【问题1】下列反比例函数：

；

（1）图象位于第一、三象限的是_____________；

（2）图象位于第二、四象限的是_____________。

教师给出问题，学生独立思考，教师个别提问复习到如下问题：

（1）每个函数中的k值分别是多少？

（2）当k>

0时，反比例函数的图象分别位于第几象限？

（3）当k<

由反比例函数的解析式判断其图象位置，即从“数”及“形”，进一步加深对反比例函数图象和性质的理解和运用。

【问题2】反比例函数

图象的一支位于第二象限，

，

是该支上的两点，若

，则

的大小关系是__________。

教师给出问题，学生独立思考，教师个别提问具体到如下问题：

（1）这个函数图象位于哪几个象限？

k的范围可以确定吗？

（2）对于该函数图象，在各个象限内，y随x的变化趋势是怎样的？

复习巩固反比例函数的图象和性质，让学生体会到反比例函数由k值确定所在象限，同样由图象所在象限可以确定k的范围，由k的范围和图象所在位置都可以确定函数的变化规律。

此为从“形”及“数”的运用转化。

2.探究分析，进一步研究图象和性质

【问题3】已知反比例函数的图象经过点A（2，6）。

（1）这个函数的图象分布在哪些象限？

y随x的增大如何变化？

（2）点B（3，4），C（

）和D（2，5）是否在这个函数的图象上？

学生独立思考，自己解答。

教师巡视解答过程并给予引导．在此活动中，教师应重点关注：

①是否理解反比例函数解析式的确定就是k值的确定。

②点是否在图象上，只需将点的横、纵坐标代入解析式，看是否符合解析式，即可判断。

此为书本例题，根据已知条件确定反比例函数的解析式，并根据函数解析式判断点是否在函数图象上。

从学生已有的知识经验出发，理解点在图象上的含义，运用待定系数法求函数解析式，通过解析式分析图象及性质，让学生感悟由“数”到“形”的过程。

【问题4】如下图是反比例函数y=

的图象的一支，根据图象回答下列问题：

（1）图象的另一支在哪个象限？

常数m的取值范围是什么？

（2）如上图的图象上任取点A

和点B

如果

，那么

有怎样的大小关系？

让学生先观察图象，然后结合反比例函数的性质完成此题。

教师应给学生充分交流的时间和空间。

在此活动中，教师应重点关注：

①学生能否从图象的特点得到m-5的符号；

②学生能否从图象的特点，结合函数的性质解决问题；

③学生能否独立思考问题。

给出函数图象让学生识别，根据函数图象的位置求解析式中的未知系数，并根据图象的变化趋势分析函数值y随x的变化情况，体验从“形”到“数”，再次领悟数形结合思想，同时提高学生从函数图象中获取信息的能力。

教师追

问：

在函数图象上任取点A

教师引导学生从如下方面思考：

（1）点A

一定在同一象限吗？

有几种可能？

（2）分情况画出示意图，再确定

的大小关系。

让学生意识到反比例函数图象是两个分支的特殊情况，考略到点A

不一定在函数图象的同一支上。

加深理解反比例函数中y随x的变化情况必须在同一象限这一限制条件，进一步感受数形

结合的必要性，同时运用分类讨论思想分析问题。

3．巩固练习，用图象和性质解决问题

练习1.反比例函数的图象经过点A（3