考研数学一真题与解析文档格式.docx
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an
（n
1）an1
（0,2），显然x
3,x
3
依次为收敛点、发散点，应该选（
B）
４．设D是第一象限中由曲线
2xy
1,4xy
1与直线y
x,y
3x所围成的平面区域，函数f（x,y）在
D上连续，则
f（x,y）dxdy（
）
D
（Ａ）
d
sin2
4
2sin2
（Ｃ）
f（rcos
rsin
）rdr（Ｂ）
3d
f（rcos
）rdr
2sin2
）dr（Ｄ）
）dr
【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：
2r2
sin
cos
r2
r
2
4xy
4r2
也就是D：
2sin
所以f（x,y）dxdy
f（rcos,rsin
）rdr，所以应该选（B）．
5．设矩阵A
a,b
，若集合
1,2，则线性方程组Axb有无穷多解的充分必要
a2
d2
条件是
（A）a
d
（B）a
（C）a
（D）a
【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：
B（A,b）12
ad
1a1d1
a1
d1
14
d2
3a2
1d2
（a1）（a2）（d1）（d2）
方程组无穷解的充分必要条件是
r（A）
r（A,b）
3，也就是（a1）（a
2）
0,（d1）（d
0同时成
立，当然应该选（
D）．
6．设二次型f（x1,x2,x3）在正交变换
x
Py下的标准形为
2y12
y22
y32
，其中P
e,e,e，若
Qe1,e3,e2
，则f（x1,x2,x3）在x
Qy下的标准形为
（A）2y12
（B）2y12
（C）2y12
（D）2y12
【详解】Q
e1,e3,e2
e1,e2,e3
P00
1，QT
00
1PT
fxTAx
yTPAPy
yT
所以QTAQ
001PTAP00
001
故选择（A）．
7．若A,B为任意两个随机事件，则（
（A）P（AB）P（A）P（B）
（B）P（AB）P（A）P（B）
（C）P（AB）
P（A）P（B）
（D）P（AB）
P（A）P（B）
【详解】P（A）
P（AB）,P（B）P（AB）,所以P（AB）
故选择（C）．
8．设随机变量X,Y不相关，且EX
2,EY1,DX
3，则E（X（X
Y2））
（
（A）3
（B）3
（C）
5
（D）5
【详解】E（X（X
E（X2）
E（XY）
2EX
DX（EX）2
EXEY
故应该选择（D）．
二、填空题（本题共
6小题，每小题
4分，满分
24分.把答案填在题中横线上）
ln（cosx）
9．lim
x0
【详解】lim
tanx
．
2x
10．
sinx
xdx
21
cosx
【详解】只要注意
为奇函数，在对称区间上积分为零，
1cosx
所以2
dx
2xdx
.
cosx
11．若函数z
z（x,y）是由方程ez
xyz
2确定，则dz|（0,1）
【详解】设F（x,y,z）
ez
2，则
Fx（x,y,z）
yz1
sinx,Fy
（x,y,z）
xz,Fz
xy
且当x
0,y
1时，z
0，所以
z
Fx
（0,1,0）
Fy
x|（0,1）
Fz
1,
y|（0,1）
0,
也就得到dz|（0,1）
dx.
12．设
是由平面x
y
1和三个坐标面围成的空间区域，则
（x
2y
3z）dxdydz
【详解】注意在积分区域内，三个变量
x,y,z具有轮换对称性，也就是
xdxdydz
ydxdydz
zdxdydz
6
zdxdydz
zdz
dxdy
z）2dz
3z（1
Dz
L
13．n阶行列式
MO
O
M
【详解】按照第一行展开，得
Dn
2Dn1
1）n
12（
1）n1
2Dn1
，有Dn
2（Dn
由于D
2,D
6，得Dn
2n1（D1
2）22n1
2．
14．设二维随机变量
（X,Y）服从正态分布
N（1,0;
1,1;
0），则P
XY
Y
【详解】由于相关系数等于零，所以
X，Y都服从正态分布，
X
~N（1,1）,Y~N（0,1），且相互独立．
则X1~N（0,1）．
PXYY0
PY（X1）0
PY0,X10PY0,X10
三、解答题
15．（本题满分10分）设函数
f（x）
aln（1
x）
bxsinx，g（x）
kx3在x
0时为等价无穷小，
求常数a,b,k的取值．
【详解】当x
0时，把函数
f（x）x
aln（1x）
bxsinx展开到三阶的马克劳林公式，得
f（x）xa（x
x2
x3
o（x3））bx（x
1x3
o（x3））
（1a）x（
a
b）x2
（a）x3
o（x3）
1a0
由于当x0时，f（x）,g（x）是等价无穷小，则有b0，
k
解得，a
1,b
k
16．（本题满分10分）
设函数y
f（x）在定义域I上的导数大于零，若对任意的
x0
I，曲线y
f（x）在点（x0,f（x0））处的
切线与直线x
x0及x轴所围成区域的面积恒为
4，且f（0）
2，求f（x）的表达式．
【详解】y
f（x）在点（x0,f（x0））处的切线方程为
f（x0）（x
x0）
f（x0）
令y0
，得x
曲线y
f（x）在点（x0,
f（x0））处的切线与直线x
x0及x轴所围成区域的面积为
S
f（x0）（x0
（x0
f（x0））4
f
（x0）
整理，得y
y2，解方程，得
C
x，由于
f（0）
2，得C
8
所求曲线方程为
17．（本题满分10分）
设函数f（x,y）
xy
xy，曲线C:
x2
y2
3，求f（x,y）在曲线C上的最大方向导数．
【详解】显然
1y,f
1x．
f（x,y）xyxy在（x,y）处的梯度gradf
1y,1x
f（x,y）在（x,y）处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模
gradf
（1
y）2
x）2
所以此题转化为求函数
F（x,y）
y）2在条件C:
3下的条件极值．用拉格朗
日乘子法求解如下：
令L（x,y,）（1x）2
（1y）2
（x2
xy3）
Fx
2（1
2x
解方程组
y）
0，得几个可能的极值点
1,1,（
1）,（2,1）,（1,2），
进行比较，可得，在点x2,y1或x1,y2处，方向导数取到最大，为93.
18．（本题满分10分）
（1）设函数u（x）,v（x）都可导，利用导数定义证明（u（x）v（x））u（x）v（x）u（x）v（x）；
（2）设函数u1（x）,u2（x）,L,un（x）都可导，f（x）u1（x）u2（x）Lun（x），写出f（x）的求导公式．
【详解】
（1）证明：
设y
u（x）v（x）
u（xx）v（x
x）u（x）v（x）
u（x
x）v（xx）u（x）v（xx）u（x）v（xx）u（x）v（x）
uv（xx）u（x）v
uv（x
x）u（x）u
由导数的定义和可导与连续的关系
y'
lim
lim[
uv（x
x）u（x）u]u'
（x）v（x）u（x）v'
（x）
（2）f（x）u1（x）u2（x）Lun（x）
f（x）u1（x）u1（x）u2（x）Lun（x）u1（x）u2（x）Lun（x）L
u1（x）u2（x）Lun（x）
19．（本题满分10分）
已知曲线
的方程为
，起点为
A（0,2,0），终点为B（0,
2,0）
，计算曲线积分
（yz）dx（z2
y）dy（x2
y2）dz．
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