考研数学一真题与解析文档格式.docx

1、an（ n1）an 1（0, 2） ，显然 x3, x3依次为收敛点、发散点，应该选（B ）设 D 是第一象限中由曲线2 xy1, 4xy1与直线 yx, y3x 所围成的平面区域， 函数 f （ x , y） 在D 上连续，则f （ x, y）dxdy （）D（）dsin 242sin 2（）f （ r cos, r sin）rdr （）3 df （r cos）rdr2 sin 2）dr （）dr【详解 】积分区域如图所示，化成极坐标方程：2r 2sincosr 2r24 xy4r 2也就是 D：2sin所以 f （ x , y）dxdyf （ r cos , r sin） rdr ，所以应

2、该选（ B）5设矩阵 Aa , b，若集合1, 2 ，则线性方程组 Ax b 有无穷多解的充分必要a2d2条件是（ A） a, d（ B） a（ C） a（ D） a【详解 】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：B （ A,b） 1 2a d1 a 1 d 1a 1d 11 4d 23 a21 d2（a 1）（a 2） （ d 1）（d 2）方程组无穷解的充分必要条件是r （ A ）r （ A, b）3 ，也就是 （a 1）（ a2）0,（ d 1）（ d0 同时成立，当然应该选（D ）6设二次型 f （ x1, x2 , x3 ） 在正交变换xPy 下的标准形为2 y12y22y32，其中

3、 Pe ,e ,e ，若Q e1 , e3 ,e2，则 f （ x1 , x2 , x3 ） 在 xQy 下的标准形为（ A） 2 y12（ B） 2 y12（ C） 2 y12（ D） 2 y12【详解】Qe1 , e3 ,e2e1 , e2 , e3P 0 01 ，QT0 01 PTf x T AxyT PAPyyT所以 QT AQ00 1PTAP0 00 0 1故选择（ A ）7若 A, B 为任意两个随机事件，则（A） P（AB ） P（ A）P（B）（B） P（AB ） P（A）P（B）（C） P（AB ）P（A） P（B）（D） P（ AB ）P（ A） P（B）【详解】 P（ A

4、）P（ AB ）, P（B） P（ AB ）, 所以 P（AB ）故选择（ C）8设随机变量 X , Y 不相关，且 EX2, EY 1, DX3，则 E（X（XY 2）（A） 3（B） 3（C）5（D） 5【详解】E（X（XE（X2）E（XY ）2EXDX （EX ）2EXEY故应该选择（ D）二、填空题（本题共6 小题，每小题4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）ln（cos x ）9 limx 0【详解】 limtan x2 x10sin xx dx2 1cosx【详解 】只要注意为奇函数，在对称区间上积分为零，1 cos x所以 2dx2 xdx.cos x11若函数 zz（

5、 x, y） 是由方程 ezxyz2 确定，则 dz |（0 ,1）【详解 】设 F （ x, y, z）ez2 ，则Fx （ x , y, z）yz 1sin x , F y（ x, y, z）xz, F zxy且当 x0, y1时， z0 ，所以zF x（0,1,0）F yx |（0 ,1）Fz1,y |（ 0,1）0,也就得到 dz |（0 ,1）dx.12设是由平面 xy1和三个坐标面围成的空间区域，则（ x2 y3z）dxdydz【详解 】注意在积分区域内，三个变量x , y, z 具有轮换对称性，也就是x dxdydzydxdydzz dxdydz6zdxdydzzdzdxdyz）

6、2 dz3 z（1DzL13 n 阶行列式M OOM【详解 】按照第一行展开，得Dn2Dn 11）n12（1）n 12D n 1，有 D n2（ Dn由于 D2, D6 ，得 Dn2n 1（ D12） 2 2n 12 14设二维随机变量（ X ,Y ） 服从正态分布N （1,0;1,1; 0） ，则 PXYY【详解 】由于相关系数等于零，所以X ， Y 都服从正态分布，X N （1,1）,Y N （0,1） ，且相互独立则 X 1 N（0,1）PXYY0PY（X 1） 0PY0,X10 PY0,X10三、解答题15（本题满分 10 分）设函数f （ x ）a ln（ 1x ）bx sin x

7、， g（ x ）kx 3 在 x0 时为等价无穷小，求常数 a, b, k 的取值【详解 】当 x0 时，把函数f （ x ） xa ln（ 1 x ）bx sin x 展开到三阶的马克劳林公式，得f （ x ） x a（ xx 2x 3o（ x 3 ） bx （ x1 x 3o（ x 3 ）（1 a） x （ab） x 2（ a ） x3o（ x 3 ）1 a 0由于当 x 0 时， f （ x ）, g（ x ） 是等价无穷小，则有 b 0，k解得， a1, b, k16（本题满分 10 分）设函数 yf （ x ） 在定义域 I 上的导数大于零，若对任意的x0I ，曲线 yf （ x ）

8、 在点 （ x0 , f （ x0 ） 处的切线与直线 xx0 及 x 轴所围成区域的面积恒为4，且 f （ 0）2 ，求 f （ x ） 的表达式【详解 】 yf （ x ） 在点 （ x0 , f （ x 0 ） 处的切线方程为f （ x0 ）（ xx0 ）f （ x0 ）令 y 0，得 x曲线 yf （ x ） 在点 （ x0 ,f （ x0 ） 处的切线与直线 xx0 及 x 轴所围成区域的面积为Sf （ x0 ）（ x0（ x0f （ x0 ） ）4f（ x0 ）整理，得 yy2 ，解方程，得Cx ，由于f （0）2，得C8所求曲线方程为17（本题满分 10 分）设函数 f （ x

9、, y）x yxy ，曲线 C : x 2y23 ，求 f （ x, y） 在曲线 C 上的最大方向导数【详解 】显然1 y, f1 x ,f （ x , y） x y xy 在 （ x , y） 处的梯度 gradf1 y,1 xf （ x , y） 在 （ x, y） 处 的 最 大 方 向 导 数 的 方 向 就 是 梯 度 方 向 ， 最 大 值 为 梯 度 的 模gradf（1y）2x ）2所以此题转化为求函数F （ x , y）y）2 在条件 C :3 下的条件极值 用拉格朗日乘子法求解如下：令 L （ x , y, ） （1 x） 2（1 y）2（ x 2xy 3）Fx2（12x

10、解方程组y）0 ，得几个可能的极值点1,1 ,（1）,（ 2, 1）,（ 1, 2） ，进行比较，可得，在点 x 2, y 1 或 x 1, y 2 处，方向导数取到最大，为 9 3.18（本题满分 10 分）（ 1）设函数 u（ x ）, v（ x ） 都可导，利用导数定义证明 （u（ x ）v（ x ） u （ x ）v（ x ） u（ x ）v （ x） ；（2）设函数 u1（ x ）,u2 （ x ）,L , un （ x） 都可导， f （ x ） u1 （ x ）u2 （ x ）L un （ x ） ，写出 f （ x ） 的求导公式【详解 】（ 1）证明：设 yu（x）v（ x）

11、u（xx）v（xx） u（ x） v（ x）u（ xx ）v（ xx ） u（ x ）v（ xx ） u（ x）v（ xx） u（ x ）v（ x ）uv（ x x） u（x） vu v（xx） u（ x） u由导数的定义和可导与连续的关系y limlimu v（ xx ） u（ x ） u u （ x ）v（ x ） u（ x）v（ x ）（ 2） f （ x ） u1 （ x ）u2 （ x ） L un （ x ）f （ x ） u1（ x ）u1（ x ）u2 （ x ）L un （ x ） u1 （ x ）u2 （ x ）L un （ x ） Lu1（ x ）u2 （ x ）L un （ x ）19（本题满分 10 分）已知曲线的方程为，起点为A（ 0, 2, 0） ，终点为 B（0,2, 0），计算曲线积分（ y z）dx （ z2y）dy （ x 2y 2 ）dz