133等腰三角形Word文件下载.docx
《133等腰三角形Word文件下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《133等腰三角形Word文件下载.docx（29页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
4、出示自制的测平仪,告诉学生等腰三角形顶点固定一条拴着重物的绳子,标出底边中点标志,它就变成了测平仪.师测量一个平面、一个不平面.激起学生的好奇心,从而引入课题.
二、新知探究
【活动1】 如图所示,把一张长方形的纸按图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开,得到的ΔABC有什么特点?
学生动手操作,观察剪出的图形ΔABC的特点,可以发现AB=AC.
让学生回顾等腰三角形的概念:
有两边相等的三角形叫做等腰三角形,相等的两边叫做腰,另一边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰和底边的夹角叫做底角,如图所示.
在ΔABC中,若AB=AC,则ΔABC是等腰三角形,AB,AC是腰,BC是底边,∠A是顶角,∠B和∠C是底角.
【活动2】 把活动1中剪出的ΔABC沿折痕AD对折,找出其中重合的线段和角,填入下表:
重合的线段
重合的角
从上表中你能发现等腰三角形具有什么性质吗?
学生经过观察,独立完成上表,然后小组讨论交流,从表中总结等腰三角形的性质.
引导学生归纳:
性质1 等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
[知识拓展] 等腰三角形的“等边对等角”的特征是用来说明两角相等、计算角的度数的常用方法.
性质2 等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）.
【活动3】 你能用所学知识验证上述性质吗?
已知:
如图所示,在ΔABC中,AB=AC.求证:
∠B=∠C.
学生在独立思考的基础上进行讨论,寻找解决问题的办法,若证∠B=∠C,根据全等三角形的知识可以知道,只需要证明这两个角所在的三角形全等即可.
于是可以作辅助线构造两个三角形,作BC边上的中线AD,证明ΔABD和ΔACD全等即可,根据条件利用“边边边”可以证明.
证明:
作BC边上的中线AD,如图所示.
在ΔABD和ΔACD中,AB=AC,AD=AD,BD=CD,
所以ΔABD≌ΔACD（SSS）,所以∠B=∠C.
这样,就证明了性质1.
类比性质1的证明你能证明性质2吗?
由ΔABD≌ΔACD,还可得出∠BAD=∠CAD,∠ADB=∠ADC=90°
.
从而AD⊥BC,这就证明了等腰三角形ABC底边上的中线平分顶角∠A且垂直于底边BC.
添加辅助线的方法多样,让学生再去讨论、交流,即用类似的方法可以证明性质2.
说明:
经过以上证明也可以得出,等腰三角形底边上的中线的左右两部分经翻折可以重合,等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴.
[知识拓展] 等腰三角形还有以下性质:
（1）等腰三角形两腰上的中线、高线相等；
（2）等腰三角形两个底角的平分线相等；
（3）等腰三角形底边上任一点到两腰的距离之和等于一腰上的高.
三、知识运用
例、如图所示,在ΔABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,求ΔABC各角的度数.
分析：
根据等边对等角的性质,我们可以得到∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC,再由∠BDC=∠A+∠ABD,就可得到∠ABC=∠C=∠BDC=2∠A.再由三角形内角和为180°
就可求出ΔABC的三个内角.把∠A设为x的话,那么∠ABC,∠C都可以用x来表示,这样过程就更简捷了.
解:
因为AB=AC,BD=BC=AD,
所以∠ABC=∠C=∠BDC,
∠A=∠ABD（等边对等角）.
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在ΔABC中,有:
∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°
解得x=36°
.在ΔABC中,∠A=36°
∠ABC=∠C=72°
四、课堂练习P771、2、3题
五、课堂小结
1、等腰三角形的性质1:
等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）.
注意:
等边对等角只限于同一个三角形中使用.
2、等腰三角形的性质2:
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.
等腰三角形是轴对称图形,底边上的中线（底边上的高、顶角平分线）所在的直线是它的对称
通过辨别让学生发现等腰三角形是轴对称图形,从而引出可以利用轴对称的性质来确定等腰三角形.
从轴对称图形的角度,让学生通过思考了解等腰三角形是轴对称图形,从而自然地引入到本节课的学习之中,激发了学生的学习兴趣和求知欲望.
活跃课堂气氛,消除学生的紧张情绪,让学生带着问题进入学习.
通过折叠等腰三角形让学生观察,在动手操作中掌握等腰三角形的性质,概括出性质,并引导学生加以证明,让学生经历知识的形成和证明过程,加深了对知识的理解和掌握.
布置作业
P811,P826
板书设计
一、新课导入三、知识运用五、课堂小结
二、新知探究四、课堂练习六、作业
第2课时
13.3.2等腰三角形的判定
知识与技能
1.理解并掌握等腰三角形的判定方法.
2.运用等腰三角形的判定进行证明和计算.
通过推理证明等腰三角形的判定方法,发展学生的推理能力,培养学生分析、归纳问题的能力.
引导学生观察、发现等腰三角形的判定方法,让学生从思考中获得成功,在这个过程中体验学习的乐趣.
等腰三角形的判定方法.
等腰三角形的判定方法的证明.
讲练结合.
多媒体课件.
1、如图所示,某地质专家为估测一条东西流向河流的宽度,选择河流北岸上一棵树（B点）为地标,然后在这棵树的正南方（南岸A点）插一小旗作标志,沿南偏东60°
方向走一段距离到C处时,测得∠ACB为30°
这时,地质专家测得AC的长度就可知河流宽度.
学生们很想知道,这样估测河流宽度的根据是什么?
带着这个问题,引导学生学习“等腰三角形的判定”.
2、提问
什么样的三角形叫做等腰三角形?
等腰三角形的两底角有何关系?
怎样去判定一个三角形是不是等腰三角形?
除用两边相等判定等腰三角形外,是否还有其他方法?
由此引入课题.
等腰三角形的两个底角是相等的,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是否一定是等腰三角形呢?
活动一
我们已经知道,如果一个三角形有两条边相等,那么它们所对的角也相等,反过来,如果一个三角形有两个角相等,那么它们所对的边是否相等呢?
下面我们就来研究这个问题.
在一般的三角形中,如果有两个角相等,那么它们所对的边有什么关系?
学生猜想它们所对的边相等.
即:
如果一个三角形中有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等.
如何证明?
（1）在这一问题中,条件和结论是什么?
（2）用数学符号怎样表示?
教师引导提示,学生根据提示画出图形,并写出已知、求证.
在ΔABC中,∠B=∠C.
求证:
AB=AC.
回顾等腰三角形性质的证明过程,从作底边上的高、中线、顶角平分线三个方面分析.让学生逐一尝试,发现可以作AD⊥BC,或AD平分∠BAC,但不能作BC边上的中线.
学生口头证明后,选一种方法写出证明过程.
（课件1）
如图所示,ΔABC中,∠B=∠C,作ΔABC的角平分线AD.
在ΔBAD和ΔCAD中,
∠B=∠C
∠1=∠2
AD=AD
∴ΔBAD≌ΔCAD（AAS）,∴AB=AC.
归纳等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等,简称“等角对等边”.
三角形的“两边相等”和“两角相等”都是指在同一个三角形中才能得到“等边对等角”及“等角对等边”.“等边对等角”是性质,“等角对等边”是识别方法.
[知识拓展] 如果一个三角形一边上的高、中线和这条边所对的角的平分线中有任意两条线段互相重合,那么这个三角形就是等腰三角形,这种方法是补充的一种方法,可以帮助我们解题时找思路,而在实际的解题过程中往往要转化为识别方法来解决.线段的垂直平分线的性质、角平分线的性质也可以判断相等,从而进一步说明三角形是等腰三角形.
活动二
等腰三角形的判定方法
【问题1】 你会画等腰三角形吗?
可以让学生以小组为单位进行讨论如何画一个等腰三角形.学生可能会说在画出的三角形中使两边相等.
【结论】 等腰三角形的判定方法一:
有两边相等的三角形是等腰三角形.
【问题2】 有两边相等的三角形是等腰三角形,那么有没有其他的画等腰三角形的方法?
例、求证:
如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边,那么这个三角形是等腰三角形.
引导学生根据命题画出图形,利用角平分线的性质及“等角对等边”来证明.
学生讨论后,自己完成证明过程.
∠CAE是ΔABC的外角,∠1=∠2,AD∥BC（如图所示）.
〔解析〕 要证明AB=AC,可先证明∠B=∠C.∵∠1=∠2,∴可以设法找出∠B,∠C与∠1,∠2的关系.
∵AD∥BC,
∴∠1=∠B（ ）,
∠2=∠C（ ）,
而已知∠1=∠2,∴∠B=∠C.
∴AB=AC（ ）.
（课件3）
例、已知等腰三角形底边长为a,底边上的高为h,求作这个等腰三角形.
作法:
（1）作线段AB=a.
（2）作线段AB的垂直平分线MN,与AB相交于点D.
（3）在MN上取一点C,使DC=h.
（4）连接AC,BC,则ΔABC就是所求作的等腰三角形.
（学生通过例2的学习,自主探究作图方法）
四、课堂练习P791、2、3、4题
等腰三角形的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）.
（1）等腰三角形的判定与性质互逆；
（2）在判定的应用中,可以作底边的高,也可以作顶角平分线,但不能作底边的中线；
（3）判定在同一个三角形中才能适用.
通过问题引入,激发学生的学习兴趣,同时使学生认识到,等腰三角形的性质与等腰三角形的判定方法存在一种特殊关系,从而掀起学生的探究欲望,使他们能更好地进入到学习状态.
P822、5题
等腰三角形的判定
二、新课堂究四、课堂练习六、作业
第3课时
等边三角形的性质与判定
1.掌握等边三角形的定义.
2.理解等边三角形的性质和判定.
经历应用等边三角形的性质与判定的过程,培养学生分析问题、解决问题的能力.
通过对等边三角形的学习,了解等边三角形的对称美,增强对生活的热爱.
等边三角形的性质和判定.
等边三角形性质的应用.
多媒体课件、三角板.
一、复习导入
1、叙述等腰三角形的性质,它是怎么得到的?
（1）等腰三角形的两个底角相等,也可以简称“等边对等角”.把等腰三角形ABC（AB=AC）对折,折叠后两部分是互相重合的,即AB与AC重合,点B与点C重合（D为BC中点）,线段BD与CD也重合,所以∠B=∠C.
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合,简称“三线合一”.由于AD所在直线为等腰三角形的对称轴,所以BD=CD,AD为
底边上的中线,∠BAD=∠CAD,AD为顶角平分线,∠ADB=∠ADC=90°
AD又为底边上的高,因此“三线合一”.
（2）若等腰三角形的两边长为3和4,则其周长为多少?
2、出示有关等边三角形的图片:
这些图片中的物体的设计理念都蕴含着一种特殊的等腰三角形,同学们想更深入地了解这种特殊的等腰三角形的知识,从而导入新课.
探索等腰三角形成为等边三角形的条件.
1、如果等腰三角形的顶角是60°
那么这个三角形是等边三角形。
根据三角形的内角和定理,顶角是60°
等腰三角形的两个底角的和就是180°
-60°
=120°
再根据等腰三角形两个底角是相等的,所以每个底角分别是120°
÷
2=60°
则三个内角分别相等,根据等角对等边,则此时等腰三角形的三条边是相等的,即顶角为60°
的等腰三角形为等边三角形.
2、等腰三角形的底角是60°
那么这个三角形也是等边三角形,同样根据三角形内角和定理和等角对等边的性质.
从同学们自主探索和讨论的结果可以发现:
在等腰三角形中,不论底角是60°
还是顶角是60°
那么这个等腰三角形都是等边三角形.你能用更简洁的语言描述这个结论吗?
有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形.
（这个结论的证明对学生来说可能有一定的难度,难点是要意识到分别讨论60°
的角是底角和顶角两种情况.这是一种分类讨论的思想,教师要关注学生得出证明思路的过程,引导学生全面、周到地思考问题,并有意识地向学生渗透分类讨论的思想方法）
三个角都相等的三角形是等边三角形.
下面就请同学们来证明这个结论.
（学生板书证明过程）
如图所示,在ΔABC中,∠A=∠B=∠C.
ΔABC是等边三角形.
∵∠A=∠B,
∴BC=AC（等角对等边）.
又∵∠A=∠C,
∴BC=AB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC,即ΔABC是等边三角形.
【结论】 等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°
【思考】
1.等边三角形是等腰三角形吗?
2.等边三角形是轴对称图形吗?
指出它的对称轴.
既然等边三角形是一种特殊的等腰三角形,那么等腰三角形家族又增加了一个新的成员（等边三角形）.等腰三角形可以分为底和腰不相等的等腰三角形和等边三角形两大类.
例、如图所示,ΔABC是等边三角形,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.求证ΔADE是等边三角形.
〔解析〕 通过分析、讨论,让学生进一步了解等边三角形的性质及判定.
∵ΔABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C.
又∵DE∥BC,
∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C.
∴∠A=∠ADE=∠AED.
∴ΔADE是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形）.
讨论:
本题还有其他证法吗?
【说明】 学生讨论之后,在练习本上独立完成,并说明理由.
例、如图所示,课外兴趣小组在一次测量活动中,测得∠APB=60°
AP=BP=200m,他们便得出一个结论:
A,B之间距离不少于200m,他们的结论对吗?
〔解析〕 我们从该问题中抽象出ΔAPB,由已知条件∠APB=60°
AP=BP及本节课的探究结论知ΔAPB为等边三角形.
在ΔAPB中,AP=BP,∠APB=60°
所以∠PAB=∠PBA=（180°
-APB）=（180°
）=60°
于是∠PAB=∠PBA=∠APB.
从而ΔAPB为等边三角形,AB的长是200m,由此可以得出兴趣小组的结论是正确的.
四、课堂练习P801、2题
1.等边三角形的概念:
三边都相等的三角形是等边三角形.
（1）它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法；
（2）可以得出它与等腰三角形的关系:
等边三角形是特殊的等腰三角形.在等边三角形中,腰和底、顶角平分线和底角是相对而言的.
2.等边三角形的性质:
三个内角都相等,并且每一个角都等于60°
等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;
它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴.
3.等边三角形的判定:
（1）三边都相等的三角形是等边三角形.
（2）三个角都相等的三角形是等边三角形.
（3）有一个角是60°
通过复习等腰三角形的一些性质的得出过程,为学习特殊的等腰三角形——等边三角形做铺垫.
针对学生好奇的天性,创设富有情趣的问题情境,使学生迅速“卷”入学习活动的过程中.
P824、10题
13.3.2等边三角形
一、复习导入三、知识运用五、课堂小结
第4课时
30°
角的直角三角形的性质
掌握30°
角的直角三角形的性质与应用.
通过探究含30°
角的直角三角形的性质,增强学生对特殊直角三角形的认识,培养学生分析问题、解决问题的能力.
通过学习30°
角的直角三角形的性质,了解等边三角形与30°
角相互转化的事实,培养学生用发展变化的思想看问题的价值观.
含30°
角的直角三角形的性质.
角的直角三角形的性质的推导.
我们学习过直角三角形,今天我们先来看一个特殊的直角三角形,看它具有什么性质.大家可能已猜到,我让大家准备好的含30°
角的直角三角尺,它有什么不同于一般的直角三角形的性质呢?
【问题】 用两个全等的含30°
角的直角三角尺,你能拼出一个怎样的三角形?
能拼出一个等边三角形吗?
说说你的理由.
由此你能想到,在直角三角形中,30°
角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系?
你能证明你的结论吗?
（让学生经历拼摆直角三角尺的活动,发现结论,同时引导学生意识到,通过实际操作探索出来的结论,还需要给予证明）
用含30°
角的直角三角尺摆出了如下两个三角形.
其中,图
（1）是等边三角形,因为ΔABD≌ΔACD,所以AB=AC,又因为RtΔABD中,∠BAD=30°
所以∠ABD=60°
有一个角是60°
图
（1）中,∠B=∠C=60°
∠BAC=∠BAD+∠CAD=30°
+30°
=60°
所以∠B=∠C=∠BAC=60°
即ΔABC是等边三角形.
同学们从不同的角度说明了自己拼成的图
（1）是等边三角形.由此你能得出在直角三角形中,30°
角所对的直角边与斜边的数量关系吗?
在直角三角形中,30°
角所对直角边是斜边的一半.
我们仅凭实际操作得出的结论还需证明,你能证明它吗?
在图
（1）中,我们已经知道它是等边三角形,所以AB=BC=AC.而∠ADB=90°
即AD⊥BC.根据等腰三角形“三线合一”的性质,可得BD=DC=BC.所以BD=AB,即在RtΔABD中,∠BAD=30°
它所对的边BD是斜边AB的一半.
定理:
在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知如图
（1）所示,在RtΔABC中,∠C=90°
∠BAC=30°
求证BC=AB.
〔解析〕 从直角三角尺的拼摆过程中得到启发,延长BC至D,使CD=BC,连接AD.
在ΔABC中,∠ACB=90°
则∠B=60°
延长BC至D,使CD=BC,连接AD（如图
（2）所示）,
∵∠ACB=90°
∴∠ACD=90°
∵AC=AC,
∴ΔABC≌ΔADC（SAS）.
∴AB=AD（全等三角形的对应边相等）.
∴ΔABD是等边三角形（有一个角是60°
的等腰三角形是等边三角形）.
∴BC=BD=AB.
[知识拓展] 此性质的大前提是“在直角三角形中”,如果没有这个条件,即使有30°
角,结论也不一定成立.
例、右图是屋架设计图的一部分,点D是斜梁AB的中点,立柱BC,DE垂直于横梁AC,AB=7.4m,∠A=30°
，立柱BC,DE要多长?
〔解析〕 观察图形可以发现,在RtΔAED与RtΔACB中,由于∠A=30°
所以DE=AD,BC=AB,又D是AB的中点,所以DE=AB.
因为DE⊥AC,BC⊥AC,∠A=30°
所以BC=AB,DE=AD,
所以BC=×
7.4=3.7（m）.
又AD=AB,
所以DE=AD=×
3.7=1.85（m）.
答:
立柱BC的长是3.7m,DE的长是1.85m.
例、等腰三角形的底角为15°
腰长为2a,求腰上的高.如图所示,在ΔABC中,AB=AC=2a,∠ABC=∠ACB=15°
CD是腰AB上的高.求CD的长.
〔解析〕 观察图形可以发现,在RtΔADC中,AC=2a,而∠DAC是ΔABC的一个外角,则∠DAC=15°
×
2=30°
根据在直角三角形中,30°
角所对的边是斜边的一半,可求出CD的长.
∵∠ABC=∠ACB=15°
∴∠DAC=∠ABC+∠ACB=30°
在ΔADC中,∵CD⊥AD,
∴CD=AC=a（在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
那么它所对的直角边等于斜边的一半）.
四、课堂练习P811题
此结论是由等边三角形的性质推理得到的,体现了直角三角形的性质,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度或角的度数.
激发学习兴趣
培养学生动手能力，以及科学思维品质.
巩固所学知识.
P824、10题
升级会员 