数的运算学案Word文件下载.docx
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除法的计算方法
1、整数除法的计算方法：
①从被除数的最高位除起，除的时候，除数是几位数，就先看被除数的前几位，如果前几位不够除，再多看一位。
②除到被除数的哪一位，就把商写在哪一位的上面。
③每次除得的余数必须比余数小。
2、小数除法的计算方法：
①除数是整数的小数除法，要按照整数除法的方法去除，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
如果除到被除数的末尾仍有余数，就在余数的后面添“0”再继续除。
②除数是小数的除法，先移动除数的小数点，使他变成整数；
除数的小数点向有移动几位，被除数的小数点也要向右移动几位，位数不够时，在被除数的末尾用0补足，然后按除数是整数的小数除法进行。
3、分数除法的计算方法：
甲数除以乙数（0除外），等于甲数乘乙数的倒数。
※乘积是1的两个数互为倒数。
4、四则混合运算中的运算定律与简便算法
名称
文字描述
字母表示
加法交换律
两个数相加，交换加数的位置，他们的和不变
a+b=b+a
加法结合律
三个数相加，先把前两个数相加，再加第三个数，或者先把后两个数相加，再加第一个数，他们的和不变。
（a+b）+c=a+（b+c）
乘法交换律
两个数相乘，交换因数的位置，他们的积不变。
a×
b=b×
a
乘法结合率
三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数，或者先把后两个数相乘，再乘第一个数，积不变。
（a×
b）×
c=a×
（b×
c）
乘法分配律
两个数的和与一个数相乘，等于把这两个数分别与这个数相乘，再把两个积相加。
（a+b）×
c+b×
c
减法的性质
一个数减去两个数的和，等于这个数分别减去这两个数。
a-（b+c）=a-b-c
除法的性质
一个数除以两个数（0除外）的积，等于这个数分别除以这两个数。
a÷
c）=a÷
b÷
商不变的性质
被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），所得的商不变。
m）÷
m）=a÷
b
或
（a÷
（b÷
b（m不等于0）
5、综合集训
1、一根钢管长
米，重
吨，平均每米重（）吨，平均每吨长（）米。
2、被除数、除数、商和余数的和是169，已知余数是1，商是27，则被除数是（）,除数是（）。
3、计算题
×
÷
+
—
2009×
三量的计算
一、学习目标
通过复习使学生牢固掌握长度单位、面积单位、质量单位、时间单位及各种计量单位间的进率。
二、重点难点
牢固掌握各种计量单位间的进率
三、知识点解读
质量单位
1.质量单位有：
吨、千克和克
2.1吨=1000千克1千克=1000克
时间单位
1.时间单位有：
世纪、年、月、日、份、秒，还有季度、旬、星期等。
2.年、月、日的关系：
※一年又12个月，（平年有365天，闰年有366天）
※按大小月分有：
大月：
1.3.5.7.8.10.12月（每月31天）
小月：
4.6.9.11（每月三十天）
2月既不是大月也不是小月：
平年2月28天，闰年29天。
※按四个季度分：
第一季度：
1.2.3月
第二季度：
4.5.6月
第三季度：
7.8.9月
第四季度：
10.11.12月
每月分三旬：
上旬：
（1~10日）中旬（11~20日）下旬（21~月底）
3.其他时间
1世纪=100年1星期=7天1日=24小时
1时=60分1分=60秒
4.平年闰年的计算方法
根据公历年份判断，整百整千的年份是400的倍数，其他年份是4的倍数的年份都是闰年，反之则是平年。
长度单位
1.长度单位有：
千米、米、分米、厘米、毫米
2.1千米=1000米；
1米=10分米；
1分米=10厘米；
1厘米=10毫米
面积单位
1.面积单位有：
平方米、平方分米、平方厘米、平方千米、公顷（其中平方千米、公顷在测量土地使用）
2.1平方千米=100公顷；
1平方千米=1000000平方米；
1公顷=10000平方米；
1平方米=100平方分米；
1平方分米=100平方厘米
体积（容积）单位
1.体积单位有：
立方米、立方分米、立方厘米
2.容积：
升、毫升
3.1立方米=1000立方分米；
1立方分米=1000立方厘米；
1升=1000毫升；
1升=1立方分米；
1毫升=1立方厘米
名数的意义
计量的结果。
要用数来表示，并且还要带上单位名称，通常把他们合起来叫做名数。
只带一个单位名称的叫单名数，如1厘米。
带有两个或两个以上单位名称的叫做复名数，如1千米50米。
名数的改写
由大单位改写成小单位要乘以进率；
由小单位改写成大单位要除以进率。
四比与比例
1.通过复习整理，进一步理解比与比例的意义与性质，以及比例尺的含义。
2.会正确熟练的简化，求比值，解比例，能正确的解答有关比例的应用题。
弄清有关比和比例的有关知识的联系和区别，提高综合运用能力
三、知识梳理
比的意义
两个数相除又叫做两个数的比。
他表示两个数之间的倍比关系。
比例的意义
表示两个比相等的式子叫做比例，他表示两个比相等的关系。
比的基本性质
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外）比值不变，叫做比的基本性质。
它是化简比的根据。
比例的基本性质
在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，叫做比例的基本性质。
它是解比例的根据。
比和分数、除法的关系
联系
区别
比
前项
比号
后项
比值
表述两个数的倍比关系
除法
被除数
除号
除数
商
是一种运算
分数
分子
分数线
分母
分数值
是一个数
求比值
前项除以后项所得的商。
依据比的意义用比的前项除以比的后项，最后结果是一个数值，可以使分数、小数或整数。
化简比
把两个数化简成最简单的整数比。
根据比的基本性质，将比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），最后结果是一个最简单的整数比。
比例尺的意义
图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。
图上距离：
实际距离=比例尺或
（）
比例尺的形式
1、数值比例尺
2、线段比例尺
求图上距离或实际距离的方法
1、图上距离=实际距离×
比例尺
2、实际距离=图上距离÷
3、根据图上距离：
实际距离=比例尺列比例式（或方程）解答
正比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，他们的关系叫做正比例关系。
关系式：
=k（一定）
反比例的意义
两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，他们的关系叫做反比例关系。
x×
y=k（一定）
判断正、反比例的方法
一找二看三判断：
1、找变量：
分析数量关系，确定哪两种量是相关联的量。
2、看定量：
分析这两种相关联的量，他们之间的关系是商一定还是积一定
3、判断：
如果商一定，就成正比例；
如果积一定，就成反比例；
如果商或积都不是定量，就不成比例。
按比例分配问题
1、按比例分配应用题：
把一个数量按照一定的比分配成几部分，求每部分数量各是多少的应用题叫做按照比例分配应用题。
2、解题方法：
一般方法：
把比转化成分数，用分数方法解答。
即：
先求总份数，然后求出各部分的量占总数的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。
归一法：
把比看成分的得份数，先求出总份数，然后用总量÷
总份数=平均每份的量（归一），再用一份的量×
各部分所对应的份数求出各部分的量是多少。
用比例知识解答：
首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系列出含有x的比例式，再解比例求出x。
用正、反比例知识解答应用题
1、比例应用题分为两部分：
正比例应用题和反比例应用题。
2、解题关键：
正确判断正反比例是解题的关键。
3、解题步骤：
（1）分析数量关系，判断成什么比例。
（2）找等量关系。
如果是成正比例，则按“等比”找等量关系式；
如果成反比例，则按“等积”找等量关系式。
（3）列比例式。
设未知数为x，并带入等量关系式，得正比例式或反比例式。
（4）解比例。
（5）检验并写出答案。
五式与方程
1、进一步理解用字母表示数的意义，并会正确的运用字母表示数量关系、公式、运算定律及性质。
2、会用字母表示数来解决实际问题。
3、进一步理解方程、方程的解、解方程之间的联系和区别。
4、能正确的解简易方程。
5、进一步理解方程和算式的联系和区别。
2、知识梳理
用字母表示数、运算定律和计算公式
1、用字母或含有字母的式子可以表示数（包括整数、小数、分数和百分数），也可以明确的表达数量关系、运算定律和计算公式。
（1）用字母表示数量关系：
如：
用s表示路程，v表示速度，t表示时间，那么路程、速度、时间之间的关系式可以表示为：
s=vt。
（2）用字母表示运算定律。
（3）用字母表示计算公式：
正方形的周长：
c=4a；
正方形的面积：
s=
平行四边形的面积：
s=ah，梯形的面积：
s=（a+b）h÷
2
圆的面积：
，圆柱的体积：
v=sh
2.在含有字母的式子里，字母就读字母的名称，字母与字母，字母与数字之间的乘号可以记作“.”或省略不写。
但要注意，在省略称号的时候，应当把数字写在前面。
3.用字母表示除法、分数和比时，表示除数、分母及比的后项的字母不能为“0”。
4.用字母表示运算结果时，必须是最简明的式子。
等式的意义
表示相等关系的式子叫做等式。
方程的意义
含有未知数的式子叫做方程。
所有的方程都是等式，但等式却不全是方程。
方程的解
使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解。
解方程
求方程解的过程叫做解方程。
等式的性质
1、等式两边都加上（或减去）同一个数，左右两边仍相等。
这就是等式的性质。
（1）
2、等式两边都乘（或除以）同一个不为0的数，左右两边仍相等。
（2）
3、根据等式的性质1、2，可以解方程。
列方程解应用题的一般步骤
1、弄清楚题意，找出未知数并用x表示（也可以间接设某个量为x，再通过这个量去求未知数。
）
2、找出应用题中数量间的相等关系，并根据等量关系列出方程。
3、解方程，求出未知数的值。
4、检验并写答语。
六数学思考
1、掌握不同的知识分析、解决实际问题的方法。
2、会从不同的方面分析应用题，提高灵活运用知识的能力。
2、重点难点
1、理清每类问题的解决的方法。
2、正确分析各类问题中的数量关系。
简单应用题的意义
用一步计算解答的应用题。
简单应用题的类型及解法
1、简单的加法应用题：
（1）根据加法的意义，求两个数的和。
（2）求比一个数多几的数
2、简单的减法应用题：
（1）根据减法的意义求剩余。
（2）求两数的相差数。
（3）求比一个数少几的数。
3、简单的乘法应用题
（1）求几个相同加数的和。
（2）求一个数的几倍（或几分之几）是多少。
4、简单的除法应用题
（1）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数。
（2）把一个数平均分成若干份，求每份是多少。
（3）求一个数里包含几个另一个数。
（4）求一个数是另一个数的几倍（或几分之几）。
（5）已知一个数的几倍（或几分之几）是多少，求这个数。
常见的数量关系
（1）单价×
数量=总价；
（2）速度×
时间=路程；
（3）单产量×
数量=总产量；
（4）工作效率×
工作时间=工作总量；
（5）收入-支出=结余
复合应用题
1、复合应用题：
用两步或两步以上计算来解答的应用题。
解决此类问题，一般采用分析法或综合法。
2、用算术法解应用题的一般步骤：
（1）审清题意，并找出一种条件和所求问题；
（2）分析数量关系，确定先算什么，再算什么，最后算什么；
（3）列式计算；
（4）检验并写出答语。
复合应用题的类型及解法
1、“归一”问题:
此类应用题中暗含着单一量不变。
文字叙述中多多带有类似“照这样计算”的字样，其解题的关键是从已知的一种对应量中求出单一量（即归一），再以她为标准，根据题目要求算出所求量。
2、“归总”问题：
此类问题中暗含着总量不变，即乘积不变。
其解题的关键是先求出总和数（即归总），再根据总量算出所求量。
3、行程问题：
根据速度、时间和路程之间的关系，计算相向、相背或同向运动的问题，称为行程问题。
其基本的数量关系为：
速度×
时间=速度；
路程÷
速度=时间；
时间=速度。
（1）相遇问题，及同时相向而行（或同时背向而行）并相遇：
速度和×
（相遇）时间=总路程。
（2）追及问题：
即同时同向而行，速度慢的在前。
速度快的在后：
速度差×
追及时间=路程差。
4、工程问题：
把工作总量看做单位“1”，工作效率用单位时间内做工作总量的“几分之几”表示。
根据工作总量、工作效率、工作时间中的两种量求出第三种量，数量关系式为：
工作效率×
工作总量÷
工作效率=工作时间；
工作时间=工作效率；
5、分数应用题：
关键是找准标准量，即单位“1”。
若单位“1”已知，用乘法；
若单位“1”未知，用除法计算。
①求甲比已多（或少）几分之几（或百分之几）的解题规律：
甲乙的差÷
乙
②已知甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几），求甲的解题规律：
乙×
【1
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）】。
③已知甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几），求乙的解题规律：
乙÷
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）】或根据乙×
甲比乙多（或少）几分之几（或百分之几）】=甲列方程解答。
④利息=本金×
利率×
时间
税后利息=本金×
时间×
（1-利息税税率）
⑤应纳税额=应纳税所得额×
税率
6、和差问题：
已知两个数的和与差，求两数。
计算公式如下：
大数=（和+差）÷
2小数=（和-差）÷
7、和倍问题：
已知两个数的和与这两个数之间的倍数关系。
求这两个数。
解法：
把小数看做1的倍数，则大数就是n倍数。
两数和÷
（倍数+1）=小数（1倍）
小数×
倍数=大数（几倍数）或两数和-小数=大数。
8、差倍问题：
已知两个数的差与这两个数之间的倍数关系，求这两个数。
把小数看做1的倍数
差÷
（倍数-1）=小数（1倍）
倍数=大数或小数+差=大数
估算
利用“四舍五入”法把参加运算的数看做与它接近的整十、整百、整千（整数或整十数、整百数......根据情况而定），再口算整数、整十数、整百数、整千数的四则混合运算，求出得数，中间用“
”连接。
根据解决问题的需要，选择合理的计算方法
1、根据问题情境理解题意。
2、找出所求问题。
3、判断问题是要求近似值还是求精确值。
4、确定计算方法。
（1）只需要求近似值，用估算。
（2）需要求近似值，可以进行口算、笔算或者用计算器算。
第2节空间与图形
1、平面图形的认识与测量
1、掌握长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形和圆的特征，沟通他们之间的关系。
2、掌握平面图形的周长和面积计算方法，沟通面积公式之间的联系，并能正确的进行计算。
3、能利用平面图形的知识解决简单的实际问题，经历解决问题的全过程，体会生活中处处有数学。
4、通过知识整理，渗透转化思想，建立初步的思想观念，发展思维能力。
5、引导学生探索平面图形面积公式的推导过程及知识间的相互联系，构建知识网络，从而加深对知识的理解，并从中学会整理知识、领悟学习方法。
6、渗透“事物之间是相互联系”的辩证唯物主义观点及转化思想方法；
体验数学与生活的联系，及数学在实际生活中的应用。
2、重难点
重点：
掌握平面图形的周长和面积计算方法，沟通面积公式之间的联系，并能正确的进行计算。
难点：
探索平面图形面积公式的推导过程及知识间的相互联系，构建知识网络，从而加深对知识的理解，并从中学会整理知识、领悟学习方法。
直线、射线、线段
1、线段：
直线上两点间的一段叫做线段。
线段有两个短点，他可以测量长度。
2、射线：
把线段的一端无限延长，就得到一条射线。
射线只有一个端点，它是无限长的，不可以测量。
3、直线：
把线段的两端无限延长，就得到一条直线。
直线没有端点，它是无限长的，不可以测量。
垂直与平行
1、垂直：
两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。
2、垂线：
其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
3、平行线：
在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线间的距离处处相等。
4、在同一平面内两条直线的位置关系：
平行或相交。
（垂直式相交的特例）
5、点到直线的距离：
从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这个点到直线的距离。
角
1、角的意义：
从一点引出的两条射线所组成的图形叫做角。
角的大小与两边的长短无关，与两边叉开的大小有关。
2、三角形的各部分的名称：
围成三角形的三条线段叫做三角形的边；
每条边的交点叫做三角形的定点；
每两条边所形成的角叫做三角形的内角。
一个三角形有三条边，三个顶点和三个内角。
从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。
3、三角形的分类：
（1）按角来分：
锐角三角形（三个角都是锐角）、直角三角形（有一个角都是直角）、钝角三角形（有一个角是钝角）；
（2）按边来分：
不等边三角形（三条边都不相等）、等腰三角形（至少有两条边相等）。
注：
等边三角形（三条边都相等）是等腰三角形的特例。
4、三角形的性质：
三角形具有稳定性。
5、三角形的内角和是180°
。
6、三角形边的关系：
三角形任意两边和大于第三边。
四边形
1、四边形的意义：
由四条线段首尾顺次相接围成的封闭图形叫做四边形。
2、四边形的分类及特点：
（1）长方形：
两组对边分别平行且相等，四个角是直角。
（2）平行四边形：
两组对边分别平行且相等，对角相等。
（3）正方形：
四条边都相等，四个角都是直角。
（4）梯形：
只有一组对边平行。
3、梯形的两种特殊形式及特点：
（1）等腰梯形：
两腰相等
（2）直角梯形：
有两个角是直角，一条腰与两底边垂直。
4、四边形的分类及其关系：
平行四边形
梯形
直角梯形
等腰
长方形
正方形
圆与圆环
1、圆是一种封闭的曲线图形。
圆的各部分名称：
圆中心的一点叫做圆心，用字母O表示；
圆心到圆上任意一点的线段叫做半径，用字母r表示；
通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径，用字母d表示。
2、圆环：
两个半径不相等的圆，当圆心重合时两圆之间的部分，也可以概括的说是两个半径不等的同心圆之间的部分。
其中O表示圆心，R表示外圆半径，r表示内圆半径。
平面图形的周长
1、周长的意义：
围成一个图形所有边长的总和叫做这个图形的周长。
2、平面图像的计算公式：
图形
周长公式
文字公式
字母公式
长方形的周长=（长+宽）×
C=2（a+b）
正方形的周长=边长×
4
C=4a
平行四边形的周长=4条边长总和
梯形的周长=上、下底加上两腰长的和
三角形
三角形的周长=三条边长的和
圆
圆的周长=圆周率×
直径（或圆周率×
半径×
2）
3、圆周率：
圆的周长与直径的比值叫做圆周率，圆周率用“
”来表示。
圆周率是一个无限不循环小数，
=3.14159265......在计算时，一般只保留两位小数，取它的近似值，
3.14。
平面图形的面积
1、面积的意义：
物体的表面或封闭图形的大小，叫做面积。
2、平面图形面积的计算公式：
图形名称
面积公式
长方形的面积=
正方形的面积=
平行四边形的面积=
梯形的面积=
三角形的面积=
圆的面积=
圆环
圆环的面积=
平面图形面积公式推导过程
1、长方形：
用数方格的方法推导出来。
2、正方形：
把正方形看做长和宽相等的长方形。
3、平行四边形：
通过割补、平移转化成长方形。
4、把两个完全相同的梯形，通过旋转、平移转化成平行四边形。
这个平行四边形的底等于梯形的上底加下底，高与梯形的高相等，梯形的面积就是拼成的平行四边形面积的一半。
5、三角
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