高考数学复习圆锥曲线理科.docx

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高考数学复习圆锥曲线理科

椭圆

思想方法：

一、函数与方程的思想、待定系数法

1．在圆锥曲线的一些求取值范围及最值的问题中，常将所求量表达为其它量的函数，运用函数的方法解决．

2．求椭圆方程时，焦点位置不明确要分类讨论

3．求圆锥曲线方程时，往往是已知曲线形状特征或由已知条件可分析其几何特征，确定形状，设出其标准方程，然后设法列出关于待定系数的方程或方程组求待定系数．要注意解题过程中，设而不求、整体处理的策略和恰当运用一元二次方程根与系数的关系求解．

4．焦点三角形问题

椭圆的一条焦点弦和另一焦点围成一个三角形．习惯上称作焦点三角形，在焦点三角形中命制题目是常见命题方式，解决焦点三角形问题经常从以下几个方面入手：

①定义②正、余弦定理③三角形面积．

二、解题技巧

1．求椭圆的方程主要有定义法和待定系数法，运用待定系数法求方程时，当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时，设方程为＋＝1（m>0，n>0），可以避免讨论和繁琐的计算，也可以设为Ax2＋By2＝1（A>0，B>0），这种形式在求解过两定点的椭圆方程时更简便．

3．求椭圆的离心率时，常常要列出a，b，c的一个齐次方程，结合b2＝a2－c2，两边同除以a2化为e（e＝）的二次方程求解．

4．椭圆上点M到焦点距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.

命题方向1：

椭圆的标准方程

[例1]已知椭圆＋＝1的焦距为4，则m等于（）

A．4B．8

C．4或8D．以上都不对

变式练习：

椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）

A.B.C．2D．4

命题方向2：

椭圆的定义

[例2]（2011·新课标全国高考）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．

变式练习：

已知点M（，0），椭圆＋y2＝1与直线y＝k（x＋）交于点A、B，则△ABM的周长为（）

A．4B．8

C．12D．16

命题方向3：

椭圆的离心率

[例3]：

已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是等腰直角三角形，则这个椭圆的离心率是（）

A.B.C.－1D.

变式练习：

已知F1、F2是椭圆＋＝1的左、右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率为________．

命题方向4：

椭圆中的最值问题

[例4]若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为（）

A．1B.

C．2D．2

变式练习：

设P是椭圆＋＝1上一点，M、N分别是两圆：

（x＋4）2＋y2＝1和（x－4）2＋y2＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为（）

A．9,12B．8,11C．8,12D．10,12

点评：

∵圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC|＋r，最小值为|PC|－r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N，直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|＋|PN|＋两圆半径和，最小值为|PM|＋|PN|－两圆半径和.

命题方向5：

椭圆与其它知识的交汇

[例5]曲线＋＝1（m<6）与曲线＋＝1（5

A．焦距相等B．离心率相等

C．焦点相同D．有两顶点相同

变式练习：

若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为（）

A．2B．3C．6D．8

命题方向6：

综合应用

[例6]（2011·广东惠州一模）已知椭圆的一个顶点为A（0，－1），焦点在x轴上．若右焦点到直线x－y＋2＝0的距离为3.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线y＝kx＋m（k≠0）与椭圆相交于不同的两点M，N.当|AM|＝|AN|时，求m的取值范围．

解析：

（1）依题意可设椭圆方程为＋y2＝1，

则右焦点F（，0），

由题设得＝3，解得a2＝3.

故所求椭圆的方程为＋y2＝1.

（2）设P为弦MN的中点，

由得（3k2＋1）x2＋6mkx＋3（m2－1）＝0，

∵直线与椭圆相交，

∴Δ＝（6mk）2－4（3k2＋1）×3（m2－1）>0⇒m2<3k2＋1.①

∴xP＝＝－，从而yP＝kxP＋m＝，

∴kAP＝＝－，

又∵|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN，

则－＝－，即2m＝3k2＋1.②

把②代入①得m2<2m，解得0

由②得k2＝>0，解得m>.综上求得m的取值范围是

变式练习：

已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1.

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若直线l：

y＝kx＋m与椭圆C相交于A、B两点（A、B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点．求证：

直线l过定点，并求出该定点的坐标．

双曲线

一、知识碎片、易错点

1.双曲线的形状与e的关系：

∵双曲线渐近线的斜率k＝＝＝＝，∴e越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．

2．双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±x，而双曲线－＝1（a>0，b>0）的渐近线方程为y＝±x（即x＝±y）应注意其区别与联系．

3．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点．

二、解题技巧

1．巧设双曲线方程

（1）已知双曲线上两点坐标，可设双曲线方程为mx2＋ny2＝1（mn<0）．

（2）若所求双曲线与－＝1有公共渐近线，或者已知其渐近线方程为y＝±x，可设其方程为－＝λ（λ≠0）．

（3）若双曲线与椭圆＋＝1（a>b>0）的焦点相同，则可设其方程为＋＝1（b2<λ

三、典型例题

命题方向1：

双曲线的定义

[例1]在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A（－6,0）和C（6,0），若顶点B在双曲线－＝1的左支上，则＝________.

变式练习：

已知双曲线的两个焦点为F1（－，0），F2（，0），M是此双曲线上的一点，且·＝0，||·||＝2，则该双曲线的方程是（）

A.－y2＝1B．x2－＝1

C.－＝1D.－＝1

命题方向2：

双曲线的标准方程

[例2]已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（）

A．5x2－＝1B.－＝1C.－＝1D．5x2－＝1

变式练习：

已知抛物线和双曲线都经过点M（1,2），它们在x轴上有共同的一个焦点，抛物线的顶点为坐标原点，则双曲线的标准方程是________．

命题方向3：

离心率

[例3]已知sinθ＋cosθ＝，双曲线x2sinθ＋y2cosθ＝1的焦点在y轴上，则双曲线C的离心率e＝________.

分析：

双曲线焦点的位置与方程中系数的正负有关，焦点在x轴（或y轴）上，x2（或y2）系数为正，非标准形式的方程求几何量时要先化为标准形式．

变式练习：

若k∈R，则方程＋＝1表示焦点在x轴上的双曲线的充要条件是（）

A．－3

C．k<－3或k>－2D．k>－2

命题方向4：

双曲线的几何性质

[例4]（2011·福州质检）若双曲线－＝1（a>0，b>0）的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为（）

A.B．5

C.D．2

变式练习：

已知双曲线－＝1（a>0，b>0）和椭圆＋＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为________．

命题方向5：

综合应用

[例5]设F1，F2分别是双曲线－＝1（a>0，b>0）的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P满足|PF2|＝|F1F2|，且cos∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为（）

A．3x±4y＝0B．3x±5y＝0

C．4x±3y＝0D．5x±4y＝0

分析：

由双曲线定义知|PF1|－|PF2|＝2a，由条件|PF2|＝2c，依据cos∠PF1F2＝利用余弦定理可建立a与c的方程，结合a2＋b2＝c2可求.

解析：

在△PF1F2中，由余弦定理得

cos∠PF1F2＝＝＝＝.

变式练习：

过双曲线－＝1（a>0，b>0）的左焦点F1（－c,0）（c>0），作圆：

x2＋y2＝的切线，切点为E，直线F1E交双曲线右支于点P，若＝（＋），则双曲线的离心率为（）

A.B.C.D.

解析：

如图所示．

∵＝（＋），∴E为PF1的中点，

又∵PF1与⊙O相切，∴OE⊥PF1.

连接PF2，则PF1⊥PF2，|PF2|＝2|OE|＝a，

[例6]双曲线的中心为原点O，焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1、l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1、l2于A、B两点．已知||、||、||成等差数列，且与同向．

（1）求双曲线的离心率；

（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程．

解析：

（1）设双曲线方程为－＝1（a>0，b>0），右焦点为F（c,0）（c>0），则c2＝a2＋b2.

又与同向，故∠AOF＝∠AOB，

所以＝.

解得tan∠AOF＝，或tan∠AOF＝－2（舍去）．因此＝，

a＝2b，c＝＝b.所以双曲线的离心率e＝＝.

（2）由a＝2b知，双曲线的方程可化为x2－4y2＝4b2①

由l1的斜率为，c＝b知，直线AB的方程为y＝－2（x－b）②

将②代入①并化简，得15x2－32bx＋84b2＝0.

设AB与双曲线的两交点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），则x1＋x2＝，x1·x2＝③

AB被双曲线所截得的线段长

l＝·|x1－x2|＝④

将③代入④，并化简得l＝，而由已知l＝4，故b＝3，a＝6.所以双曲线的方程为－＝1.

抛物线

解题技巧

1．由于抛物线的标准方程有四种不同形式，故求抛物线标准方程时，一定要注意区分焦点在哪个轴上加以讨论．抓准抛物线的开口方向及p的几何意义是准确迅速求解的关键．

2．抛物线的焦点弦

涉及抛物线的焦半径或焦点弦的问题，常考虑应用定义求解．

（1）若抛物线y2＝2px（p>0）的焦点弦为AB，A（x1，y1），B（x2，y2），则有如下结论：

①|AB|＝x1＋x2＋p；②y1y2＝－p2；③x1x2＝.

（2）直线l过抛物线y2＝2px（p>0）的焦点F时，常设l：

x＝my＋以简化运算．

3．韦达定理的应用

涉及抛物线的弦长、弦的中点、弦的斜率问题时要注意利用韦达定理，以避免求交点坐标的复杂运算．

4．关于抛物线的最值问题

（1）A为抛物线弧内一定点，F为焦点，P为抛物线上任一点，求|PA|＋|PF|的最小值问题常用定义转化，由A向抛物线的准线作垂线与抛物线的交点为取到最小值的P点．

（2）直线l与抛物线无公共点，求抛物线上的点到l的最小值问题，一般可设出抛物线上的点，用点到直线距离公式转化为二次函数求最值，或设出与l平行且与抛物线相切的直线，转化为两平行直线间的距离，后者更简便．

典型例题：

命题方向1：

抛物线的定义

[例1]已知点P为抛物线y2＝2x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点A的坐标是A（，4），则|PA|＋|PM|的最小值是（）

A.B．4C.D．5

变式练习：

已知点M（1,0），直线l：

x＝－1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是（