高中数学换元法解题案例及练习题.docx

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高中数学换元法解题案例及练习题

高中数学换元法解题案例及练习题

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换兀法。

换兀的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。

通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。

或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：

局部换元、三角换元、均值换元等。

局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。

例如解不等式：

4x+2x-2>0,先变形为设2x=t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。

如求函数y=-x

+d-x的值域时，易发现x€[0,1]，设x=sin2a,a€[0,]，问

2

题变成了熟悉的求三角函数值域。

为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。

如变量x、y适合条件x2+

y=r2（r>0）时，则可作三角代换x=rcosB、y=rsinB化为三角问

题。

均值换兀，如遇到x+y=S形式时，设x=—+t,y=——t等等。

22

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，

换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量

的取值范围，不能缩小也不能扩大。

如上几例中的t>0和口€[0,-]。

2

I、再现性题组：

1.y=sinx•cosx+sinx+cosx的最大值是。

2.设f（x2+1）=loga（4—x4）（a>1）,贝Uf（x）的值域是

3.已知数列｛an｝中，a1=—1,a.1•a.=a“1—a.，则数列通项a.=

4.设实数x、y满足x2+2xy—1=0,贝Ux+y的取值范围是

。

x

5.方程x=3的解是。

1+3

6.不等式log2（2x—1）•log2（2心—2）〈2的解集是

。

3小题：

已知变形为丄——=—1,设bn=丄,则b1=—1,bn=—1

an卑anan

+（n—1）（-1）=—n,所以an=—丄;

n

4小题：

设x+y=k，则x2—2kx+1=0,△=4k2—4>0,所以k>1

或k<—1;

5小题：

设3x=y，贝》3y2+2y—1=0,解得y=1，所以x=—1;

3

6小题：

设log2（2x—1）=y,则y（y+1）<2，解得-2

€（log25,log23）。

4

H、示范性题组：

例1.实数x、y满足4x2—5xy+4y2=5（①式），设S=x2+

y2，求丄+丄的值。

（93年全国高中数学联赛题）SmaxSmin

【分析】由S=x2+y2联想到cos2a+sin2a=1,于是进行三角换

解得S=叱一

8—5sin2a

-1

--3w8—5sin2aW13

WWW

138「5sin：

10

3

此种解法后面求S最大值和最小值，还可由sin2

a=心°的有界

S

性而求，即解不等式：

I8^°|W1。

这种方法是求函数值域时经常用

S

到的“有界法”。

【另解】由S=x2+y2，设x2=I+1,y2=|-1,t€[-|,|],

则xy=±J|4-12代入①式得：

4I±5咅-12=5,

移项平方整理得100t2+39S2-160S+100=0。

•••39S2-160S+100<0解得：

10

133

.1丄13丄13168

…+=——+——=——=—

SmaxSmin1010105

【注】此题第一种解法属于“三角换元法”，主要是利用已知条

件S=x2+y2与三角公式cos2a+sin2a=1的联系而联想和发现用三角换元，将代数问题转化为三角函数值域问题。

第二种解法属于“均值换元法”，主要是由等式S=x2+y2而按照均值换元的思路，设x2=

S+1、y2=S-1，减少了元的个数，问题且容易求解。

另外，还用到

22

了求值域的几种方法：

有界法、不等式性质法、分离参数法。

和“均值换元法”类似，我们还有一种换元法，即在题中有两个变

量x、y时，可以设x=a+b,y=a-b,这称为“和差换元法”，换元后有可能简化代数式。

本题设x=a+b,y=a-b,代入①式整理得3a2+13b2=5,求得a2€[O'1】'所以S=（a—b）2+（a+b）2=2（a2+b2）=10+20a2€[£2]，再求—+丄的值。

1313133SmaxSmin

例2.△ABC的三个内角AB、C满足：

A+C=2B,丄+丄=cosAcosC

-一么，求cos的值。

（96年全国理）

cosB2

【分析】由已知“A+C=2B”和“三角形内角和等于180°”的性

质，可得

AV「120;由“A+C=120°”进行均值换元，则设

B=60

fo

A=60

io

C=60—

，再代入可求cosa即cos乎。

【解】由厶ABC中已知A+C=2B,可得

o

AC=120

o

B=60

由A+C=120。

，设c60

L

，代入已知等式得:

匕+—=

cosAcosC

cos（60：

）+cos（60一）

1

cos：

2

1

、、3

sin:

2

1

cos：

2

1

3sinj

2

COS：

3sin

4

cos：

_

""3=

_4

解得:

COSa

即:

【另解】由

A+C=2B,

22,

cos^C=

2

得A+C=120°

.2

cosB

=—22，设co^=

2+mcofe=

B=60

—、2—m

所以cosA=—4—,cosC=—[—，两式分别相加、

2m2_m

A+CA-C

cosA+cosC=2coscos-—=cos

22

A-C=

2

22

m-2

所以

丄+丄

cosAcosC

相减得:

A+C

cosA—cosC=—2sinsin

2

2m

、3（m2-2）'

A-C=_

2

22

2

m-2

3sin

A-C

2

2m

-~

m-2

代入sin

2匕+cos2-C=

2

1整理得：

3m4—16m-12=0,解出m2=6,代入cos学

【注】本题两种解法由“A+C=120°

cosA

cosC

分别进行均值换元，随后结合三角形角的关系与三角公式进行运算，除由已知想到均值换元外，还要求对三角公式的运用相当熟练。

假如

未想到进行均值换元，也可由三角运算直接解出：

由A+C=2B,得A

+C=120°,B=60°。

所以一1—+-—=—2=—22，即cosAcosAcosCcosB

cos=

+cosC=—22cosAcosC,和积互化得：

2coscos=—,2[cos（A+C）+cos（A-C），即

2cos（A-C）=-y—2（2cos2A2C—1），整理得：

4、2cos2A2C+

2cos丁—32=0,

cos^C=

例3.设a>0,求f（x）=2a（sinx+cosx）—

sinx

-cosx=

t2-1

•••f（x）=g（t）=—*（t—2a）2+1（a>0）,t€[-42,42]

t=-2时，取最小值：

一2a2—22a—-

2

当2a》V2时，t=V2，取最大值：

—2a2+2占a——;

当0<2a<2时，t=2a,取最大值：

£。

f（x）的最小值为—2a—2.2a—-1,最大值为

1（0

：

:

-2a22、.2a」（a2）

22

【注】此题属于局部换元法，设sinx+cosx=t后，抓住sinx+

cosx与sinx•cosx的内在联系，将三角函数的值域问题转化为二次

函数在闭区间上的值域问题，使得容易求解。

换元过程中一定要注意

新的参数的范围（t€[-2,2]）与sinx+cosx对应，否则将会出错

本题解法中还包含了含参问题时分类讨论的数学思想方法，即由对称

轴与闭区间的位置关系而确定参数分两种情况进行讨论。

般地，在遇到题目已知和未知中含有

sinx与cosx的和、差、积

数或一次函数的研究。

例4.设对所于有实数x，不等式

x2log

2如卫+2xlog

a

log2（a丄>0恒成立，求a的取值范围

4a

（87年全国理）

2

（a1）

24a2

三项有何联

系？

进行对数式的有关变形后不难发现，再实施换元法。

【解】设log2旦=

a+1

2^^=log2^^=3+log2「=

a2a2a

（a1）2a1

2右=2log2=

4a2a

t,则log

3—log2~2^=3—t,log

-2t,

代入后原不等式简化为（3—t）x2+2tx—2t>0,它对一切实数x恒成立，所以：

•••t<0即log2-^vO

a+1

『弋，解得r<3或

，4t8t（3—t）：

：

0t：

：

0或t6

Ov互<1,解得0va<1。

a1

么会想到换兀及如何设兀，关键是发现已知不等式中

log24（a1）

a

【注】应用局部换元法，起到了化繁为简、化难为易的作用。

为什

2

log2互、log2色昙三项之间的联系。

在解决不等式恒成立问题时，

a+14a

使用了“判别式法”。

另外，本题还要求对数运算十分熟练。

一般地，解指数与对数的不等式、方程，有可能使用局部换元法，换元时也可能要对所给的已知条件进行适当变形，发现它们的联系而实施换元，这是我们思考解法时要注意的一点。

■2.2

例5.已知sin^=且J2+=―2（②式），求-

xyxy3（x+y）y

的值。

【解】设sin=