参数方程基础知识点+典型例题.docx

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参数方程基础知识点+典型例题

参数方程

知识讲解

一、参数

定义：

在平面直角坐标系中，若曲线上的点满足，该方程叫曲线的参数方程，变量是参变数，简称参数．

二、参数方程与普通方程的互化

1.参数方程化为普通方程

代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围！

2.普通方程化为参数方程

注：

普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．

三、常见参数方程

1.直线的常用参数方程为：

，为参数，其中为直线的倾斜角，为直线上一点．

2.圆的常用参数方程为：

为参数；

3.椭圆的常用参数方程为：

为参数．

【引申】：

参数方程和之前我们讲过的还原法有一个相同的“易错点”，就是一定要注意：

新引进的参数的范围！

【重点】：

参数方程最主要的是抓住到底“参数是谁”！

典型例题

一．选择题（共11小题）

1．（2018•朝阳区一模）直线l的参数方程为（t为参数），则l的倾斜角大小为（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：

根据题意，直线l的参数方程为（t为参数），则到直线的方程为，

所以直线的斜率为，倾斜角为，

故选：

C．

2．（2018•大兴区一模）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）相交的弦长为（　　）

A．1B．2C．3D．4

【解答】解：

由，得x﹣，

由，得（x﹣1）2+y2=1．

∴圆（x﹣1）2+y2=1的圆心坐标为（1，0），半径为1．

而圆心（1，0）在直线x﹣上，

∴直线与曲线相交的弦长为2．

故选：

B．

3．（2018•奉贤区二模）已知曲线的参数方程为（0≤t≤5），则曲线为（　　）

A．线段B．双曲线的一支C．圆弧D．射线

【解答】解：

由（0≤t≤5），消去参数t，得x﹣3y=5．

又0≤t≤5，故﹣1≤y≤24．

故该曲线是线段．

故选：

A．

4．（2017秋•天心区校级期末）直线的参数方程为（t为参数），M0（﹣1，2）和M（x，y）是该直线上的定点和动点，则t的几何意义是（　　）

A．有向线段M0M的数量B．有向线段MM0的数量

C．|M0M|D．以上都不是

【解答】解：

根据题意，直线的参数方程化为标准形式为，

则﹣t表示有向线段M0M的数量，即t表示有向线段MM0的数量；

故选：

B．

5．（2018春•郑州期末）若P（2，﹣1）为圆（θ为参数且0≤θ＜2π）的弦的中点，则该弦所在的直线方程为（　　）

A．x﹣y﹣3=0B．x+2y=5C．x+y﹣1=0D．2x﹣y﹣5=0

【解答】解：

把圆（θ为参数且0≤θ＜2π）消去参数，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=25，表示以C（1，0）为圆心、半径等于5的圆．

再根据所求直线和直线CP垂直，可得所求直线的斜率为﹣=﹣=1，可得所求直线的方程为y+1=1•（x﹣2），即x﹣y﹣3=0，

故选：

A．

6．（2017秋•天心区校级期末）已知曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则P的坐标是（　　）

A．（3，4）B．C．（﹣3，﹣4）D．

【解答】解：

∵原点为O，直线PO的倾斜角为，∴tan=1，

∵曲线（θ为参数，0≤θ≤π），

∴tanθ=，∴cosθ=，sinθ=，

∵曲线（θ为参数，0≤θ≤π）上一点P，

∴代入得P的坐标为．

故选：

D．

7．（2017秋•东湖区校级期末）曲线C1：

（t为参数），曲线C2：

（θ为参数），若C1，C2交于A、B两点，则弦长|AB|为（　　）

A．B．C．D．4

【解答】解：

曲线C1：

（t为参数），化为普通方程为x+y﹣2=0，即y=2﹣x①

曲线C2：

（θ为参数），化为普通方程得，，②

将①代入②，得5x2﹣16x+12=0，x1+x2=，x1x2=，

则弦长|AB|==．

故选：

B．

8．（2017秋•天心区校级期末）已知椭圆的参数方程为（θ为参数），则它的离心率为（　　）

A．B．C．D．

【解答】解：

依据题意，椭圆的参数方程为，

将椭圆的参数方程化成普通方程为+=1，

其中a=4，b=2，

故c==2，

所以离心率e===；

故选：

A．

9．（2018春•海珠区期末）若曲线C的参数方程为（t为参数），则下列说法正确的是（　　）

A．曲线C是直线且过点（﹣1，2）B．曲线C是直线且斜率为

C．曲线C是圆且圆心为（﹣1，2）D．曲线C是圆且半径为|t|

【解答】解：

曲线C的参数方程为（t为参数），

消去参数t得曲线C的普通方程为=0．

把（﹣1，2）代入，成立，斜率是．

∴曲线C是直线且过点（﹣1，2），斜率是．

故选：

A．

10．（2018春•青山区校级期末）参数方程（t为参数）表示什么曲线（　　）

A．一个圆B．一个半圆C．一条射线D．一条直线

【解答】解：

∵参数方程（t为参数），

消去参数t，化为普通方程是

2（x﹣1）+（y﹣1）=0（x≥1），

即2x+y﹣3=0（x≥1）；

它表示端点为（1，1）的一条射线．

故选：

C．

11．（2018春•桑珠孜区校级期中）点（1，2）在圆的（　　）

A．内部B．外部C．圆上D．与θ的值有关

【解答】解：

根据题意，圆，

其普通方程为：

（x+1）2+y2=64，

又由：

（1+1）2+（2﹣0）2=16＜64，

则点（1，2）在圆的内部；

故选：

A．

二．填空题（共5小题）

12．（2017•松江区二模）直线（t为参数）对应的普通方程是　x+y﹣1=0　．

【解答】解：

两个方程相加得x+y﹣1=0，

故答案为：

x+y﹣1=0．

13．（2017•闵行区校级模拟）已知直线l的参数方程是（t为参数），则它的普通方程是　3x﹣4y+5=0　．

【解答】解：

直线l的参数方程是（t为参数），

可得，

可得3x﹣4y+5=0．

故答案为：

3x﹣4y+5=0．

14．（2017•徐汇区二模）参数方程为（t为参数）的曲线的焦点坐标为　（1，0）　．

【解答】解：

根据题意，曲线的参数方程为（t为参数），

则其普通方程为：

y2=4x，

即该曲线为抛物线，其焦点在x轴上，且p=2；

则其焦点坐标为（1，0）；

故答案为：

（1，0）

15．（2016春•淮安校级期末）参数方程（t为参数）化为普通方程为　x+2y+9=0　．

【解答】解：

由y=﹣2t﹣5，可得2y=﹣4t﹣10，与x=4t+1相加可得：

x+2y=﹣9，即x+2y+9=0．

故答案为：

x+2y+9=0．

16．（2016春•无锡期末）直线（t为参数）的倾斜角为　50°　．

【解答】解：

根据直线（t为参数），得

x+1=（y﹣3）tan40°，

∴x﹣ytan40°+1+3tan40°=0，

∴该直线的斜率k==tan50°，

∴该直线的倾斜角为50°，

故答案为：

50°．

三．解答题（共4小题）

17．（2012•天山区校级模拟）已知在直角坐标系xOy内，直线l的参数方程为（t为参数）．以Ox为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为．

（1）写出直线l的普通方程和圆C的直角坐标方程；

（2）判断直线l和圆C的位置关系．

【解答】解：

（1）消去参数t，得直线l的直角坐标方程为y=2x﹣3；（4分）

，即ρ=2（sinθ+cosθ），

两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），

消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为：

（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（8分）

（2）圆心C到直线l的距离，所以直线l和⊙C相交．（10分）

18．求椭圆（θ为参数）的左焦点坐标．

【解答】解：

∵椭圆的参数方程为，

∴cosθ=（x﹣1），sinθ=y，

∵cos2θ+sin2θ=1，∴+=1，

∴已知椭圆可看作+=1向右平移1个单位得到，

又易得+=1的左焦点为（﹣，0），

∴已知椭圆的左焦点坐标为（1﹣，0），

19．

（1）在直角坐标系中，曲线C1：

（其中θ为参数），直线C2：

（其中t为参数）．点F（﹣4，0），曲线C1与直线C2相交于点A、B，求|FA|•|FB|的值．

（2）在极坐标系中，直线l：

ρcos（θ﹣）=2，与以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆相交于P、Q两点，求|PQ|的值．

【解答】解：

（1）由，得，

把代入上式，得369t2﹣1440t﹣2025=0．

∴|FA|•|FB|=；

（2）由ρcos（θ﹣）=2，得，

即．

以点M（4，π）为圆心，以5为半径的圆的直角坐标方程为（x+4）2+y2=25．

圆心（﹣4，0）到直线的距离为d=，

∴|PQ|=2．

20．已知极坐标的极点在平面直角坐标的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同，若点P为曲线C：

（θ为参数）上的动点，直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2）

（1）将曲线C的参数方程化为普通方程，直线l的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）若曲线C上有且只有一点P到直线l的距离为2，求实数m的值和点P的坐标．

【解答】解：

（1）曲线C：

（θ为参数），利用平方关系可得普通方程：

+y2=1．

直线l的极坐标方程为ρcos（θ+）=m（m＞2），展开可得：

ρ（cosθ﹣sinθ）=m，化为直角坐标方程：

x﹣y﹣m=0．

（2）设与直线x﹣y﹣m=0平行且与椭圆相切的直线方程为x﹣y+t=0．

把y=x+t代入椭圆方程可得：

4x2+6tx+3t2﹣3=0，

令△=36t2﹣48（t2﹣1）=0，解得：

t=±2．

当t=2时，方程为（2x+3）2=0，解得x=﹣，代入椭圆方程可得：

=1，取y=，可得切点P，则=2，解得m=﹣2±2．经过验证都满足条件．

当t=﹣2时，方程为（2x﹣3）2=0，解得x=，代入椭圆方程可得：

=1，取y=﹣，可得切点P，则=2，解得m=2±2．经过验证都满足条件．

综上可得：

取点P，m=﹣2±2．

取点P，m=2±2．