中考专题训练阿氏圆Word文件下载.docx
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证明:
利用等积法
,
即AB:
DC
(2)外角平分线定理:
如图,在△ABC中,外角CAE的角平分线AD交BC的延长线于点D,则AB:
在BA延长线上取点E使得AE=AC,连接BD,则△ACD≌△AED(SAS),CD=ED且AD平分∠BDE,则DB:
DE=AB:
AE,即AB:
接下来开始证明:
如图,PA:
PB=k,作∠APB的角平分线交AB于M点,根据角平分线定理,MA:
MB=PA:
PB=k,故M点为定点,即∠APB的角平分线交AB于定点;
作∠APB外角平分线交直线AB于N点,根据外角平分线定理,NA:
NB=PA:
PB=k,故N点为定点,即∠APB外角平分线交直线AB于定点;
又∠MPN=90°
,定边对定角,故P点轨迹是以MN为直径的圆.
中考专题训练阿氏圆模型
阿氏圆(阿波罗尼斯圆):
已知平面上两定点A、B,则所有满足
的点P的轨迹是一个圆,这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现,故称阿氏圆.在初中的题目中往往利用逆向思维构造“斜A”型相似(也叫“母子型相似”)+两点间线段最短,解决带系数两线段之和的最值问题.
观察下面的图形,当P在⊙O上运动时,用PA、PB的长在不断的发生变化,但
的比值却始终保持不变.
解决阿氏圆问题,首先要熟练掌握母子型相似三角形的性质和构造方法.
那么如何应用“阿氏圆”的性质解答带系数的两条线段和的最小值呢?
我们来看一道基本题目:
例.已知∠ACB=90°
,CB=4,CA=6,⊙C半径为2,P为圆上一动点.
(1)求
的最小值为.
(2)求
阿氏圆基本解法:
构造相似
阿氏圆一般解题步骤:
AP+kBP
第一步:
连接动点和圆心C(将系数不为1的线段的两个端点分别与圆心相连接),即连接CP、CB;
第二步:
计算这两条线段长度的比
;
第三步:
在CB(即定边)上取点M,使得
第四步:
连接AM,与圆C交点即为点P;
第五步:
计算AM的长度,即为AP+kBP的最小值.
实战演练:
1.在△ABC中,∠ACB=90°
,AC=4,BC=3,点D为△ABC内一动点,且满足CD=2,则
的最小值为.
2.已知点A(4,0),B(4,4),点P在半径为2的⊙O上运动,则
的最小值是.
3.已知点A(-3,0),B(0,3),C(1,0),若点P为⊙C上一动点,且⊙C与y轴相切.
的最小值;
(2)求△ABP面积的最小值.
4.在平面直角坐标系中,A(2,0),B(0,2),C(4,0),D(3,2),P是△AOB外部的第一象限内一动点,且∠BPA=135°
,则2PD+PC的最小值是__________.
5.已知⊙O半径为1,AC、BD为切线,AC=1,BD=2,P为弧AB上一动点,试求
的最小值.
巩固练习:
1.如图,在△ABC中,∠B﹦90°
,AB﹦CB﹦2,以点B为圆心作⊙B与AC相切,点P为圆B上任一动点,则
的最小值是 .
2.如图,菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°
,⊙A与BC相切于点E,在⊙A上任取一点P,求
的最小值.
3.
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,⊙B的半径为2,点P是⊙B上的一个动点,则PD+
PC的最小值;
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,⊙B的半径为6,点P是⊙B上的一个动点,那么PD+
PC的最小值为;
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°
,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+
PC的最小值为.
4.如图1,抛物线y=ax2+(a+3)x+3(a≠0)与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点B,在x轴上有一动点E(m,0)(0<
m<
4),过点E作x轴的垂线交直线AB于点N,交抛物线于点P,过点P作PM⊥AB于点M.
(1)求a的值和直线AB的函数表达式;
(2)设△PMN的周长为C1,△AEN的周长为C2,若
,求m的值;
(3)如图2,在
(2)条件下,将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′,旋转角为α(0°
<
α<
90°
),连接E′A、E′B,求E′A+
E′B的最小值.
问题提出:
如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90∘,CB=4,CA=6,C半径为2,P为圆上一动点,连结AP、BP,求AP+1/2BP的最小值。
(1)尝试解决:
为了解决这个问题,下面给出一种解题思路:
如图2,连接CP,在CB上取点D,使CD=1,则有CD/CP=CP/CB=1/2,又∵∠PCD=∠BCP,∴△PCD∽△BCP.∴PD/BP=1/2,∴PD=1/2BP,∴AP+1/2BP=AP+PD.
请你完成余下的思考,并直接写出答案:
AP+1/2BP的最小值为___.
(2)自主探索:
在“问题提出”的条件不变的情况下,1/3AP+BP的最小值为___.
(3)拓展延伸:
已知扇形COD中,∠COD=90°
OC=6,OA=3,OB=5,点P是CDˆ上一点,求2PA+PB的最小值。
反过来还原:
如图,点A,B在⊙O上,OA=OB=12且OA⊥OB点C是OA的中点,点D在OB上且OD=10,动点P在⊙O上,则PC+1/2PD的最小值是多少?
如下图所示,在OA延长线上取点E,使得AE=OA
连接OP,PE。
因为OC/OP=1/2=OP/OE
从而△OCP∽△OPE(SAS)
从而,PC/EP=1/2,即PE=2PC
那么,PE+PD=2PC+PD=2(PC+1/2PD)
那么只要求出PE+PD最小值,再除以2即可得到所求问题的解。
很显然,当P点落在DE连线与圆O的交点P'
上时,PE+PD取得最小值。
此时,PE+PD=DE=√(OD^2+OE^2)=√(10^2+24^2)=26
那么,PC+1/2PD的最小值即为26/2=13。
(1)如图1,已知正方形ABCD的边长为4,圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,求PD+1/2PC的最小值和PC−1/2PC的最大值;
(2)如图2,已知正方形ABCD的边长为9,圆B的半径为6,点P是圆B上的一个动点,那么PD+2/3PC的最小值为___,PD−2/3PC的最大值为___.
(3)如图3,已知菱形ABCD的边长为4,∠B=60°
圆B的半径为2,点P是圆B上的一个动点,那么PD+1/2PC的最小值为___,PD−1/2PC的最大值为___.
如图,△ABC是等腰三角形,∠C=900,○C与AB边相切,P是圆C上一动点,若圆C的半径为2