随机过程(十四)-布朗运动.ppt

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Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动，每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。

若记X（t）记时刻t粒子的位置，则其中问：

要令Dt和Dx趋于零，X（t）将会具有哪些性质？

首先来看因此，容易证明：

（1）X（t）服从均值为0，方差为s2t的正态分布；

（2）X（t）,t0有独立增量（3）X（t）,t0有平稳增量Brown运动的定义随机过程B（t）,t0如果满足

（1）B（0）0；

（2）B（t）,t0有平稳独立增量;（3）对每个t0，B（t）服从正态分布N（0,s2t）.则称B（t）,t0为布朗运动，也称为wiener过程。

如果s1，则称为标准布朗运动。

注：

第

（1）条并不是必须的。

如果B（0）x，则称B（t）,t0为始于x的布朗运动，记为Bx（t）。

Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程B（t）,t0：

（1）正态增量性：

（2）独立增量性：

B（t）-B（s）独立于过程的过去状态B（u）,0us。

（3）路径的连续性:

B（t）是t的连续函数。

Brown的分布性质空间齐次性定义：

定义：

连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下，过程在时刻t的分布函数Brown的马氏性在Brown运动的情况下，转移概率是正态的转移概率函数满足P（y,t,x,s）=P（y,t-s,x,0），即这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.有限维分布密度注：

由有限维分布，可以计算任何想求的条件概率。

例如，求给定B（t）=y时，B（s），ss，则E（B（t）B（s）=s。

再由正态分布的性质和数学归纳法得到B（t）的任意有限维分布都是多元正态分布。

（5）B（t）,t0是均值函数为m（t）=0,协方差函数g（s,t）=min（s,t）高斯过程。

?

下面证明B（t）的任意有限维分布都是多元正态分布。

首先对任意t1t2，B（t1）N（0,t1）,B（t2）N（t2），Cov（B（t1）,B（t2）=t1，则利用正态分布的性质利用数学归纳法可以证明（B（t1）,B（t2）,B（tn）服从多元正态分布。

例：

设B（t）,t0是标准布朗运动，1、求P（B

（2）0）和P（B（t）0，t0,1,2）。

2、求B

（1）+B

（2）+B（3）+B（4）的分布。

3、解：

1、由条件期望的性质由积分的变量替换公式2、考虑随机向量X=（B

（1）,B

（2）,B（3）,B（4）,由定理7.2可知，X是多元正态分布，具有零均值和协方差矩阵令A=（1,1,1,1）,则是均值为0，方差为ASA30的正态分布。

请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少？

Brown运动的鞅性定理1）B（t）是鞅；2）B（t）2t是鞅；3）对任何实数u，是鞅。

1）的证明可积性。

由Brown运动的定义，B（t）N（0,t）,所以B（t）可积，且EB（t）=0.鞅性2）和3）的证明参见教材P1652）的证明：

由于E（B2（t）=t=0使得是连续鞅，则是brown运动。

（3）由于B（t）N（0,t）,由正态分布的矩母函数知这说明可积，并且由于布朗运动具有独立增量性，对任何函数g（x）有，令则将上式两边同时乘以Brown运动的路径性质

（1）B（t）,t0是t的几乎处处连续函数；

（2）在任何区间（无论区间有多小）都不是单调的；（3）几乎处处不可微；（4）在任何区间（无论区间有多小）都是无限变差的，例：

在区间0,t上的变差（5）对任何t，在0,t上的二次变差等于t，即在几乎处处收敛的意义下（3）的简要证明：

由Brown运动的性质知取极限得假设B（t）是可微的，其导数为B（t）存在，则从而与

（1）式矛盾

（1）（4）的证明：

利用有界变差函数几乎处处可导的性质（证明参见实变函数论徐森林著，P319）即可得证。

证明（5）取dn使得则,例：

求概率解：

首先说明积分的存在性。

由于B（t）具有连续的运动路径，即对每个w，B（t）（w）是t的几乎处处连续函数，因此Rieman积分存在。

因此随机变量是有意义的。

下面来求的分布。

由Rieman积分的定义知，其中每个求和项都是均值为0的正态分布，因此是均值为零的正态分布。

下面计算的方差。

因此，Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻，即下面计算PTxt。

1、对于x0，若Txt，则B（t）在0,t内的某个点击中x，由于对称性，显然有因此，由全概率公式因为x0，由Brown运动的连续性，B（t）不可能还未击中x，就大于x，因此上式的第二项为零。

于是对于x0,根据Brown运动的连续性利用类似的方法，可以得到Brown运动的最小值的分布为证明做习题。

Brown运动的零点定义：

如果时间t使得B（t）=0，则称t是Brown运动的零点。

下面计算PB（x）在区间（t1,t2）中至少有一个零点的概率。

对B（t1）取条件得所以因此Brown运动的反正弦律定理：

设Bx,t0是Brown运动，则证明：

当x0时，由Brown运动零点的性质知当x0时，可类似证明，参见教材170页