1、Brown运动随机游动设一个粒子在直线上做随机游动,每隔Dt时间内等可能的向左或向右移动Dx的距离。若记X(t)记时刻t粒子的位置,则其中问:要令Dt和Dx趋于零,X(t)将会具有哪些性质?首先来看因此,容易证明:(1)X(t)服从均值为0,方差为s2t的正态分布;(2)X(t),t0有独立增量(3)X(t),t0有平稳增量Brown运动的定义随机过程B(t),t0如果满足(1)B(0)0;(2)B(t),t0有平稳独立增量;(3)对每个t0,B(t)服从正态分布N(0,s2t).则称B(t),t0为布朗运动,也称为wiener过程。如果s1,则称为标准布朗运动。注:第(1)条并不是必须的。如
2、果B(0)x,则称B(t),t0为始于x的布朗运动,记为Bx(t)。Brown运动的另一种定义Brown运动是具有如下性质的随机过程B(t),t0:(1)正态增量性:(2)独立增量性:B(t)-B(s)独立于过程的过去状态B(u),0us。(3)路径的连续性:B(t)是t的连续函数。Brown的分布性质空间齐次性定义:定义:连续Markov过程的转移概率定义为在时刻s处于状态x的条件下,过程在时刻t的分布函数Brown的马氏性在Brown运动的情况下,转移概率是正态的转移概率函数满足P(y,t,x,s)=P(y,t-s,x,0),即这个性质称为Brown运动的时间时齐性,即分布不随时间而变化.
3、有限维分布密度注:由有限维分布,可以计算任何想求的条件概率。例如,求给定B(t)=y时,B(s),ss,则E(B(t)B(s)=s。再由正态分布的性质和数学归纳法得到B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。(5)B(t),t0是均值函数为m(t)=0,协方差函数g(s,t)=min(s,t)高斯过程。?下面证明B(t)的任意有限维分布都是多元正态分布。首先对任意t1t2,B(t1)N(0,t1),B(t2)N(t2),Cov(B(t1),B(t2)=t1,则利用正态分布的性质利用数学归纳法可以证明(B(t1),B(t2),B(tn)服从多元正态分布。例:设B(t),t0是标准布朗运动,1、求
4、P(B(2)0)和P(B(t)0,t0,1,2)。2、求B(1)+B(2)+B(3)+B(4)的分布。3、解:1、由条件期望的性质由积分的变量替换公式2、考虑随机向量X=(B(1),B(2),B(3),B(4),由定理7.2可知,X是多元正态分布,具有零均值和协方差矩阵令A=(1,1,1,1),则是均值为0,方差为ASA30的正态分布。请同学们思考一下第3题的答案应该等于多少?Brown 运动的鞅性定理1)B(t)是鞅;2)B(t)2t是鞅;3)对任何实数u,是鞅。1)的证明可积性。由Brown运动的定义,B(t)N(0,t),所以B(t)可积,且EB(t)=0.鞅性2)和3)的证明参见教材P
5、1652)的证明:由于E(B2(t)=t=0使得是连续鞅,则是brown运动。(3)由于B(t)N(0,t),由正态分布的矩母函数知这说明 可积,并且 由于布朗运动具有独立增量性,对任何函数g(x)有,令 则 将上式两边同时乘以 Brown运动的路径性质(1)B(t),t0是t的几乎处处连续函数;(2)在任何区间(无论区间有多小)都不是单调的;(3)几乎处处不可微;(4)在任何区间(无论区间有多小)都是无限变差的,例:在区间0,t上的变差(5)对任何t,在0,t上的二次变差等于t,即在几乎处处收敛的意义下(3)的简要证明:由Brown运动的性质知取极限得假设B(t)是可微的,其导数为B(t)存
6、在,则从而与(1)式矛盾(1)(4)的证明:利用有界变差函数几乎处处可导的性质(证明参见实变函数论徐森林著,P319)即可得证。证明(5)取dn使得 则,例:求概率解:首先说明积分的存在性。由于B(t)具有连续的运动路径,即对每个w,B(t)(w)是t的几乎处处连续函数,因此Rieman积分 存在。因此随机变量 是有意义的。下面来求 的分布。由Rieman积分的定义知,其中每个求和项都是均值为0的正态分布,因此 是均值为零的正态分布。下面计算 的方差。因此,Brown运动的击中时记Tx为标准Brown运动首次击中x的时刻,即下面计算PTxt。1、对于x0,若Txt,则B(t)在0,t内的某个点击中x,由于对称性,显然有因此,由全概率公式因为x0,由Brown运动的连续性,B(t)不可能还未击中x,就大于x,因此上式的第二项为零。于是对于x0,根据Brown运动的连续性利用类似的方法,可以得到Brown运动的最小值的分布为证明做习题。Brown运动的零点定义:如果时间t使得B(t)=0,则称t是Brown运动的零点。下面计算PB(x)在区间(t1,t2)中至少有一个零点的概率。对B(t1)取条件得所以因此Brown运动的反正弦律定理:设Bx,t0是Brown运动,则证明:当x0时,由Brown运动零点的性质知当x0时,可类似证明,参见教材170页
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