概率论与数理统计第二章课后习题答案Word文档格式.docx

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0_x：

1_x：

x_2

3.射手向目标独立地进行了分布律及分布函数，并求

3次射击，每次击中率为

3次射击中至少击中

0.8，求3次射击中击中目标的次数的2次的概率.

设X表示击中目标的次数.则X=0,

1,2,3.

=0）=（0.2）

=1）=C30.8（0.2）-0.096

=2）=C3（0.8）0.2=0.384

=3）=（0.8）=0.512

-0.008

0.008

0.096

0.384

0.512

x_3

分布函数

0.008,

F（x）「0.104,

0.488,

1，

P（X_2）=P（X=2）P（X=3）=0.896

（1）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a-,

其中k=0,1,2,,,入〉0为常数，试确定常数a.

（2）设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a/N,k=1,2,,,N,试确定常数a.

（1）由分布律的性质知

1P（X=k）=a，ae

故a=e-'

k卫

k=pk!

（2）由分布律的性质知

1p（x=k）

k」

即a=1.

5•甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求：

（1）两人投中次数相等的概率；

（2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝UX~b（3，0.6）Y~b（3,0.7）

（1）

P（X=3,Y=3）

-（0.4）3（0.3）3c30.6（0.4）2c30.7（0.3）2+

222233

C3（0.6）0.4C3（0.7）0.3（0.6）（0.7）

=0.32076

（2）

=0.243

6•设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各

飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降

落而没有空闲跑道的概率小于0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落）?

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b（200,0.02），设机场需配备N条跑道，

则有

P（XN）<

0.01

200

即送Ck00（0.02）k（0.98）200^<

0.01

k=N1

利用泊松近似

■=np=2000.02=4.

P（X—N）「一e-4-k少1-!

查表得N>

9•故机场至少应配备9条跑道.

7•有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为

0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数

【解】设在每次试验中成功的概率为

X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}.

P,则

所以P（X=4）

匕（3）

243

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号

（1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率；

（2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率.

（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

5--5-

P（X兰3）=送C5（0.3）（0.7）=0.16308

k=3

⑵令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

P（YH3）=ECk（0.3）k（0.7）J=0.35293

10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分

布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）

（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.

（1）P（X=0）=e；

（2）P（X一1）=1-P（X=0）=1-e^

kk2-k

11.设P{X=k}=C2P（1-p）,k=0,1,2

P{Y=m}=C：

pm（1-p）4um,m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X,Y的概率分布，如果已知P{X>

1}=5，试求P{Y>

1}.

【解】因为P（X-1），故P（X<

1）.

而P（X：

1）=P（X=0）=（1一p）

故得（1一p）2=4,

即p=-

3465

从而P（Y_1）=1—P（Y=0）=1-（1-p）0.80247

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中

恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b（2000,0.001）.利用泊松近似计算，

■=np=20000.001=2

e^25

得P（X=5）0.0018

13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为.以X表示试验首次成功所需试验的次

数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率.

【解】X=1,2,…,k,

1kJ3

P（X=k）書）3

P（X=2）P（X=4）•P（X=2k）

3（丄）3?

防…卜（[）2k43h

444444

1-（：

）2

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡

的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求：

（1）保险公司亏本的概率；

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.

【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500X12=30000元.

设1年中死亡人数为X,则X~b（2500,0.002），则所求概率为

P（2000X•30000）=P（X15）=1—P（X乞14）

由于n很大，p很小，入=np=5,故用泊松近似，有

P（X15）：

：

0.000069

k=sk!

⑵P（保险公司获利不少于10000）

二P（30000-2000X_10000）=P（X<

10）

k=p

0.986305

即保险公司获利不少于

10000元的概率在98%

（3）【解】

P（保险公司获利不少于

20000）=P（30000-2000X_20000）=P（X乞5）

5小5k

0.615961

k卫k!

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62%

15.已知随机变量X的密度函数为

-W

f（x）=Ae,「8<

求：

（1）A值；

（2）P{0<

1};

（3）F（x）.

（1）由「f（x）dx=1得

仁二Ae»

dx=2Ae」dx=2A

故AJ.

1111

⑵p（0：

1^-.0e」dx=?

（1-e」）

x11

（3）当x<

0时，F（x）exdxex

-°

x1ii01x1

当x>

0时，F（x）-e"

dx-exdx—e」dx

.22■02

=1--e」

故F（x）-

1_le^.2

x_0

16.

X的密度函数为

设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命

100

厂x-100,

f（x）=x2

0,x<

100.

P（X兰150）=广1°

応x23

（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率；

在这段时间内有一只电子管损坏的概率；

F（x）.

3238

Pl=[P（X150）]=（-）=—327

i1224

⑵p2=C3；

（）

339

⑶当x<

100时F（x）=0

100时F（x）f（t）dt

100x

二f（t）dt-100f（t）dt

100dt

故F（xJ号

I0,

x_100

17.在区间［0,a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在］0,a］

中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数.

【解】由题意知X~u［0,a］，密度函数为

0_x_a

f（x）

（0,其他

故当x<

0时F（x）=0

xxx1x

当0Wx<

a时F（x）f（t）dtf（t）dtdt:

0*0aa

a时，F（x）=1

即分布函数

0,x<

F（x）,0_x_a

1,xa

18•设随机变量X在［2,5］上服从均匀分布•现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测值大于3的概率•

【解】X~U［2,5］，即

I-,2兰x兰5

f（x）=<

0,其他

「512

P（X3）dx=—333

故所求概率为

2221323

PF宀）

19•设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布E（-）.某顾客在窗口

5次，以Y表示一个月内他未等

等待服务，若超过10分钟他就离开•他一个月要到银行到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，

【解】依题意知X~E（—），即其密度函数为

并求

f（x）二

P{Y>

该顾客未等到服务而离开的概率为

p（xer吨。

Y~b（5,e‘），即其分布律为

k2k25k

P（Y二k）=C5（e）（1-e）,k=0,1,2,3,4,5

P（Y_1）=1-P（Y=0）=1-（1-e）=0.5167

20•某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服

从N（40,102）;

第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50,42）.

（1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？

（2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？

（1）若走第一条路，X~N（40,102）,则

fx—4060—40）平

P（X：

60）=P

（2）=0.97727

V1010丿

若走第二条路，X~N（50,42）,则

吕（2.5）=0.9938++

X-5060-50

P（X:

60）=P

V44

故走第二条路乘上火车的把握大些•

（2）若X~N（40,102）,则

i’X-4045—40、'

不

45）=P0:

―（0.5）=0.6915

若X~N（50,42）,则

45）=P

X-50

45-50

=。

（-1.25）

=1-门（1.25）=0.1056

故走第一条路乘上火车的把握大些

21•设X~N（3,22）,

（1）求P{2<

5},P{_4<

10},P{|X|>

2},P{X>

3};

（2）确定c使P{X>

c}=P{X<

c}.

论、/八f2-3X-35-3）

（1）P（2cX兰5）=P——<

——f

I222丿

（1）_G心

（1）_1■：

-0.8413-10.6915=0.5328

P（-4：

X_10）=P

—4—3

—

=6L①f--1=0.9996

12丿I2丿

P（|X|-2HP（X2）P（X:

-2）

122丿（22丿

5—2

2丿\2）

（I）

-0.69151-0.9938=0.6977

X—333

P（X3）=P（）=1-门（0）=0.5

⑵c=3

22•由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05土0.12内为合格品

求一螺栓为不合格品的概率.

【解】P（|X-10.05|0.12）=P

X-10.05

0.06

0.12

0.06」

=1一门

（2）G（_2）=2[1_G

（2）]

二0.0456

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160,2）,若要求P{120vX<

200}

》0.8,允许2最大不超过多少？

【解】p（120：

x辽200“p嗖g：

ICTCJCJ丿

故31.25

1.29

24•设随机变量X分布函数为

_LABe-,x_0,

F（x）=（'

0）,

J0,xc0.

（1）求常数A,B;

（2）求P{XW2},P{X>

3};

（3）求分布密度f（x）.

干limF（x）=1a/

（1）由得

宜+F（x）=凹_F（x）IB—1

（2）P（X_2）=F

（2）=1d

P（X3）=1_F（3）=1_（1_e」'

）d'

”任尹xA0

（3）f（x）=F（x）=§

[0,xv0

25•设随机变量X的概率密度为

x,0空x：

f（x）=«

2-x,1Wx<

、0,其他.

求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）.

【解】当x<

x0x

当0wx<

1时F（x）f（t）dtf（t）dtf（t）dt

0tdt

当1wx<

2时F（x）二f（t）dt

--QCi

0f（t）dtf（t）dt

0tdt”（2-t）dt

二丄2x

2x-1

2时F（x）

;

f（t）dt=1

故F（x）»

2x_1,

x_2

26.设随机变量X的密度函数为

（1）f（x）=ae_|x|,入>

0；

0：

x：

bx,

~,x

试确定常数a,b,

（2）f（x）=

1乞x：

其他.

并求其分布函数F（x）.

（1）由■f（x）dx=1知1二：

J--J_o0

dx=2a

OCrv

xdx=

故a二一

即密度函数为

_e“

l2e

f（x）二2

当xw0时F（x）f（x）dx

0时F（x）

=]-^xdx

-：

0扎]f（x）dxexdx

^e'

■卜[-^xdx92

1--x

=1e

故其分布函数

F（x）二

1丄"

1e'

21⑵由1=f（x）dxbxdx2dx0-1x

得b=1

即X的密度函数为

1f（X）二了,

=b.1

0x：

其他

当x<

0时F（x）=0

当Ovxvl时F（X）二

f（x）dx=f（x）dx亠if（x）dx

当1wx<

2时F（x）二f（x）dx二0dx亠ixdx

=———

2x当x>

2时F（x）=1

故其分布函数为

F（x）

27•求标准正态分布的上:

-分位点,

（1）:

=0.01，求z;

（2）:

=0.003，求z.,z：

./2.

P（X.z.J=0.01

即G（z）=0.09

故z：

.=2.33

（2）由P（X.zj=0.003得

1-门（zj=0.003

即:

」（zj=0.997

查表得z一.=2.75

由P（Xz-./2）=0.0015得

1-:

J（z：

./2）=0.0015

即G（z一./2）=0.9985

查表得Z-./2=2.96

28•设随机变量X的分布律为

-2—1013

1/51/61/51/1511/30

求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0,1,4,9

P（Y=0）=P（X=0）:

117

P（Y=1）=P（X二-1）P（X=1）=

61530

P（Y=4）=P（X二-2）:

P（Y=9）二P（X=3）=

故Y的分布律为

1/5

7/30

11/30

29•设P{X=k}=（）,k=1,2,,，令

r1,当x取偶数时Y=

厂1,当X取奇数时.

求随机变量X的函数Y的分布律.

【解】P（Y=1）=P（X=2）P（X=4）P（X=2k）

二（―）2'

J）4亠亠J）21"

P（Y=_1）=1_P（Y=1）=2

330•设X~N（0，1）•

（1）求Y=eX的概率密度；

（2）求Y=2X2+1的概率密度；

（3）求Y=|X|的概率密度.

（1）当yw0时，FY（y）二P（Y岂y）=0

当y>

0时，FY（y）=P（Y—y）=P（eX一y）=P（X—Iny）

Iny

「；

fx（X）dx

故fY（八讐

fx（|ny）二y

11_ln2y/2

y「2ne

（2）P（Y=2X1_1）=1

当yw1时FY（y）二P（Y乞y）=0

1时FY（y）二P（Y_y）二P（2X21_y）

二P-

22fx（X）dx

故皿辭（八

P（Y_0）=1

当yw0时FY（y）=P（Y乞y）=0

0时FY（y）=P（|X国y）二P（—yEX乞y）

fx（x）dx

-J

故fY（y=FY（y）—y）

2今2/?

2ne

31.设随机变量X~U（0,1）,试求：

1）Y=eX的分布函数及密度函数；

（2）Z=-2InX的分布函数及密度函数

（1）P（0：

X：

1）=1

故P（1：

Y=eX:

e）=1

当y_1时FY（y）二P（Y三y）=0

当1<

e时FY（y）二P（eX乞y）二P（X<

Iny）

lny

dx=Iny

e时FY（y）=P（eX乞y）=1

y_1

1：

y：

y_e

FY（yrlny,

故Y的密度函数为

fY（y）=y,

【0,

（2）由P（0<

1）=1知

P（Z0）=1

当z<

0时，Fz（z）二P（ZEz）=0

当z>

0时，FZ（z）二P（Z乞z）二P（—2lnXEz）

=P（lnX乞--）=P（X_e」/2）

=/2

Fz（z）

K-z/2

1-e,

故Z的密度函数为

4r1-z/2

fz（z）»

32•设随机变量X的密度函数为

空

f（x）=n

.0,

0xn

其他•

试求Y=sinX的密度函数

【解】P（0:

Y：

当yw0时，FY（y）=P（Y乞y）=0

当0<

1时，FY（y）二P（Y空y）二P（sinX乞y）

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