概率论与数理统计第二章课后习题答案Word文档格式.docx

1、0 _ x ： 11 _ x ： 21,x_23. 射手向目标独立地进行了 分布律及分布函数，并求3次射击，每次击中率为3次射击中至少击中0.8，求3次射击中击中目标的次数的 2次的概率.设X表示击中目标的次数.则X=0,1 , 2, 3.=0） =（0.2）1 2=1） =C30.8（0.2） -0.0962 2=2） =C3（0.8） 0.2 =0.384=3） =（0.8） =0.512-0.0080.0080.0960.3840.512x _3分布函数0.008,F（x）0.104,0.488,1，P（X _2） = P（X =2） P（X =3） =0.8964. （1）设随机变量X

2、的分布律为PX=k= a -,k!其中k=0, 1, 2,入0为常数，试确定常数 a.（2）设随机变量X的分布律为PX=k= a/N, k=1, 2, , , N, 试确定常数a.（1）由分布律的性质知 :k1 P （X = k） = a， a e故 a = e-k卫k=p k!（2）由分布律的性质知N1 p（x =k）akk 4即 a = 1.5甲、乙两人投篮，投中的概率分别为 0.6,0.7,今各投3次，求：（1） 两人投中次数相等的概率 ；（2） 甲比乙投中次数多的概率 .【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，贝U Xb（3，0.6） Yb（3,0.7）（1）P（X =3,Y =3）-（

3、0.4）3（0.3）3 c30.6（0.4）2c30.7（0.3）2 +2 2 2 2 3 3C3（0.6） 0.4C3（0.7） 0.3 （0.6） （0.7）=0.32076（2）=0.2436设某机场每天有 200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为 0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道， 才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于 0.01（每条跑道只能允许一架飞机降落 ）?【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则 Xb（200,0.02），设机场需配备 N条跑道，则有P（X N ） 0.01200即送 Ck00（0.02）k（0.

4、98）200 9故机场至少应配备 9条跑道.7有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有 1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于 2的概率是多少（利 用泊松定理）？【解】设X表示出事故的次数，则 Xb（ 1000，0.0001）8.已知在五重贝努里试验中成功的次数【解】设在每次试验中成功的概率为X 满足 PX=1= PX=2，求概率 PX=4.P,则所以P（X =4）4 1匕（3）102439. 设事件A在每一次试验中发生的概率为 0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号（1） 进行了 5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率

5、；（2） 进行了 7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率 .（1）设X表示5次独立试验中 A发生的次数，则 X6（ 5，0.3）5 - - 5 -P（X 兰3）=送 C5（0.3） （0.7） =0.16308k=3 令Y表示7次独立试验中 A发生的次数，则 Yb（ 7，0.3）7P（YH3）=E Ck（0.3）k（0.7） J =0.3529310. 某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数 X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率.3 5（1

6、） P（X=0）=e； （2） P（X 一1） =1-P（X =0） =1-ek k 2-k11.设 PX=k= C2P （1 - p） , k=0,1,2PY=m= C：pm（1 - p）4um,m=0,1,2,3,4分别为随机变量 X, Y的概率分布，如果已知 PX 1= 5，试求PY 1.95 4【解】因为P（X -1），故P（X 1）.9 9而 P（X ：1） =P（X =0） =（1 一 p）故得（1 一 p）2 =4,即p=-3 4 65从而 P（Y _1）=1 P（Y =0） =1-（1-p） 0.802478112. 某教科书出版了 2000册，因装订等原因造成错误的概率为 0

7、.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.【解】令X为2000册书中错误的册数，则 Xb（2000,0.001）.利用泊松近似计算， = np = 2000 0.001 = 2e25得 P（X =5） 0.00185!3 113. 进行某种试验，成功的概率为 ，失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次4 4数，试写出X的分布律，并计算 X取偶数的概率.【解】X =1,2,k,1 kJ 3P（X=k）書）3P（X =2） P（X =4） P（X =2k）=! 3 （丄）3?防卜（）2k 4 3 h4 4 4 4 4 41-（：）214. 有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加

8、了保险公司的人寿保险 .在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在 1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从 保险公司领取2000元赔偿金.求：（1） 保险公司亏本的概率；（2） 保险公司获利分别不少于 10000元、20000元的概率.【解】以“年”为单位来考虑.（1） 在1月1日，保险公司总收入为 2500X 12=30000元.设1年中死亡人数为 X,则Xb（2500,0.002），则所求概率为P（2000X 30000） =P（X 15） =1P（X 乞14）由于n很大，p很小，入=np=5,故用泊松近似，有P（X 15） ： ： 0.000069k=s k!P（保险

9、公司获利不少于 10000）二 P（30000 - 2000X _ 10000） = P（X 10）k=p0.986305即保险公司获利不少于10000元的概率在 98%（3） 【解】P （保险公司获利不少于20000） = P（30000 - 2000X _ 20000） =P（X 乞 5）5小5 ke 50.615961k卫k !即保险公司获利不少于 20000元的概率约为62%15. 已知随机变量 X的密度函数为-Wf（x）=Ae , 8 x+ ,求：（1） A 值；（2） P0X1; （3） F（x）.（1）由f （x）dx =1得仁二Aedx=2 Aedx=2A故A J .1 1 1

10、 1 p（0 ：X 1- .0edx=?（1-e）x 1 1（3）当 x0 时，F（x） -edx -exdx edx.2 2 0 2=1 -e1 xe ,故 F（x）-211 _le .2x _016. X的密度函数为设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命100厂 x -100,f（x）= x20, x 100.P（X 兰 150）=广1dx応x2 3（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； 在这段时间内有一只电子管损坏的概率； F （x）.3 2 3 8Pl =P（X 150） =（-）= 3 27i 1 2 2 4 p2 =C3；（）3 3 9当 x100 时 F （x）

11、 =0x 100 时 F（x） f （t）dt100 x二 f （t）dt - 100f （t）dt100dt故F（xJ号I 0,x _10017. 在区间0, a上任意投掷一个质点，以 X表示这质点的坐标，设这质点落在 0, a中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求 X的分布函数.【解】由题意知Xu 0,a，密度函数为,0 _ x _ af （x）（0, 其他故当x0时F （x） =0x x x 1 x当 0W x a 时 F（x） f （t）dt f （t）dt dt :0 * 0 a aa 时，F （x） =1即分布函数0, xF （x） , 0 _ x _ a|a1, x a

12、18设随机变量X在2 , 5上服从均匀分布现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测 值大于3的概率【解】XU2,5，即I-, 2兰x兰5f （x） = 该顾客未等到服务而离开的概率为p（x er 吨。Yb（5,e），即其分布律为k 2 k 2 5kP（Y 二k）=C5（e ） （1-e ） ,k =0,1,2,3, 4,52 5P（Y _1）=1 -P（Y =0） =1-（1-e ） =0.516720某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走 .第一条路程较短但交通拥挤，所需时间 X服从N （40, 102）;第二条路程较长，但阻塞少，所需时间 X服从N （50, 42）.（1） 若动身时离火

13、车开车只有 1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？（2） 又若离火车开车时间只有 45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？（1）若走第一条路，XN （40, 102）,则fx40 6040）平P（X ：60） =P （2） =0.97727V 10 10 丿若走第二条路，XN （ 50, 42）,则吕（2.5） =0.9938+X -50 60-50P（X : 60） = PV 4 4故走第二条路乘上火车的把握大些 （2） 若 XN （40, 102）,则iX -40 4540、 不 45） = P 0 : （0.5） = 0.6915若 XN （50 , 42）,则45）=PX -504

14、5 -50=。（-1.25）J=1 -门（1.25） =0.1056故走第一条路乘上火车的把握大些21设 XN （3 , 22）,（1） 求 P25, P_4 2 , PX 3;（2） 确定 c 使 PX c= PX c.论、/ 八 f2-3 X -3 5-3）（1） P（2 c X兰5） =P -0.8413 -1 0.6915 =0.5328P（-4 ： X _10） =P4 3.2=6 L f- 1=0.999612丿I 2丿P（|X | - 2H P（X 2） P（X : -2）12 2丿 （2 2丿522 丿 2）（I）-0.6915 1 -0.9938 =0.6977X 3 3 3

15、P（X 3） =P（ ） =1 -门（0） =0.5c=322由某机器生产的螺栓长度（cm） XN （10.05,0.062）,规定长度在10.05 土 0.12内为合格品求一螺栓为不合格品的概率.【解】P（| X -10.05 | 0.12） =PX -10.050.060.120.06=1 一门（2）G（_2）=21_G （2）二 0.045623.一工厂生产的电子管寿命 X（小时）服从正态分布N（ 160, 2）,若要求P120 v X3;（3） 求分布密度f （x）.干lim F（x） =1 a/（1）由得宜+F（x）=凹 _F（x） IB 1（2） P（X _2） = F（2） =1

16、 dP（X 3） =1 _F（3） =1 _（1 _e）d ” 任尹 xA0（3） f （x） = F （x） = 0, xv025设随机变量X的概率密度为x, 0 空 x ： 1,f （x） = 2 - x, 1 W x 2,、0, 其他.求X的分布函数F （x），并画出f （x）及F （x）.【解】当xx 0 x当 0w x1 时 F（x） f（t）dt f（t）dt f（t）dt0tdt当 1 w x0；0 ： x ：bx, x试确定常数a,b,（2） f（x）=1 乞 x ：其他.并求其分布函数 F （x）.（1）由 f （x）dx =1 知 1 二：aeJ - - J_o0dx =2

17、aOC rvexdx =2a故a二一即密度函数为_e“l2ef（x）二 2e当 xw 0 时 F （x） f （x）dx0 时 F（x）x -=-xdx-：0扎 f （x）dx e xdxex 卜 -xdx 9 21 - - x=1 e故其分布函数F（x）二1丄1 e2 1 由 1 = f （x）dx bxdx 2dx 0 -1 x得b=1即X的密度函数为x,1 f （X）二 了,=b .10 x ：其他当 x 0 时 F （x） =0当 Ovxvl 时 F（X）二f （x）dx = f （x）dx 亠 i f （x）dxx x当 1 wx 2 时 F （x） =1故其分布函数为F（x）27求

18、标准正态分布的上:-分位点,（1）:=0.01，求 z ;（2）:-=0.003，求 z. , z：./2.P（X . z.J =0.01即G （z） =0.09故 z：. =2.33（2）由 P（X . zj =0.003 得1 -门（zj =0.003即:（zj =0.997查表得z 一. = 2.75由 P（X z-./2）= 0.0015 得1-:J （z：./2） =0.0015即 G（z一./2）=0.9985查表得 Z-./2 =2.9628设随机变量X的分布律为-21013Pk1/51/61/51/1511/30求Y=X2的分布律.【解】Y可取的值为0, 1 , 4, 9P（Y

19、 =0） = P（X =0）:1 1 7P（Y =1） =P（X 二-1） P（X =1）=6 15 30P（Y =4） = P（X 二-2）:11P（Y =9）二 P（X =3）=30故Y的分布律为Y1/57/3011/301 k29设 PX=k=（ ） , k=1,2,，令r 1,当x取偶数时 Y =厂1,当X取奇数时.求随机变量X的函数Y的分布律.【解】P（Y =1） = P（X =2） P（X =4） P（X =2k）二（）2 J）4 亠亠 J）21P（Y = _1） =1 _P（Y =1） = 23 30设 XN（0，1）（1） 求Y=eX的概率密度；（2） 求Y=2X2+1的概率密

20、度；（3） 求Y= | X |的概率密度.（1）当 yw 0 时，FY（y）二 P（Y 岂 y） =0当 y0 时，FY（y） =P（Y y） =P（eX 一 y） =P（X In y）In y；fx（X）dx故fY（八讐fx（|n y）二 y1 1 _ln2y/2y2 ne（2）P（Y=2X 1_1）=1当 yw 1 时 FY（y）二 P（Y 乞 y） =01 时 FY（y）二 P（Y _ y）二 P（2X2 1 _ y）二P -22fx（X）dxy故皿辭（八P（Y _0） =1当 yw 0 时 FY（y） =P（Y 乞 y） =00 时 FY（y） =P（| X 国 y）二 P（ y EX

21、 乞 y）fx（x）dxg y-J故 fY（y=FY（y）y）2 今2/?2 ne31.设随机变量XU （0,1）,试求：1） Y=eX的分布函数及密度函数；（2）Z= -2InX的分布函数及密度函数（1）P（0 ： X ：1） =1故 P（1 ： Y =eX : e） =1当 y _1 时 FY（y）二 P（Y 三 y） =0当 1ye 时 FY（y）二 P（eX 乞 y）二 P（X In y）ln ydx = I n ye 时 FY（y） =P（eX 乞 y） =1y _11 ： y ： ey _ eFY（yr lny,故Y的密度函数为fY（y）= y,【0,（2）由 P （01） =1 知P（Z 0） =1当 z0 时，FZ（z）二 P（Z 乞 z）二 P（2ln X Ez）=P（ln X 乞-）=P（X _e/2）=/2Fz（z）K -z/21-e ,故Z的密度函数为4r1 -z/2fz（z）2e32设随机变量X的密度函数为空f（x）= n.0,0 x n其他试求Y=sinX的密度函数【解】P（0 : Y ：当 yw0 时，FY（y） =P（Y 乞 y） =0当 01 时，FY（y）二 P（Y 空 y）二 P（sin X 乞 y）=