31 函数的概念及其表示Word下载.docx
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（2）函数的三要素：
一个函数的构成要素为：
定义域、对应关系和值域．值域是由定义域和对应关系决定的．
（3）相同函数：
如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数是同一个函数．
知识点二 区间的概念
知识梳理
（1）一般区间的表示
定义
名称
符号
数轴表示
{x|a≤x≤b}
闭区间
[a，b]
{x|a＜x＜b}
开区间
（a，b）
{x|a≤x＜b}
半开半闭区间
[a，b）
{x|a＜x≤b}
（a，b]
（2）特殊区间
区间
{x|x≥a}
[a，＋∞）
{x|x＞a}
（a，＋∞）
{x|x≤b}
（－∞，b]
{x|x＜b}
（－∞，b）
R
（－∞，＋∞）
[自主检测]
1．下列从集合A到集合B的对应中不是函数的是（ ）
答案：
D
2．已知函数g（x）＝2x2－1，则g
（1）＝（ ）
A．－1 B．0
C．1
D．2
C
3．函数f（x）＝的定义域是（ ）
A．（－∞，4）
B．（－∞，4]
C．（4，＋∞）
D．[4，＋∞）
A
4．已知全集U＝R，A＝{x|1＜x≤3}，则∁UA用区间表示为________．
（－∞，1]∪（3，＋∞）
对应学生用书第31页
探究一 函数关系的判断
[例1]
（1）下列集合A到集合B的对应f是函数的是（ ）
A．A＝{－1,0,1}，B＝{0,1}，f：
A中的数平方
B．A＝{0,1}，B＝{－1,0,1}，f：
A中的数开方
C．A＝Z，B＝Q，f：
A中的数取倒数
D．A＝R，B＝{正实数}，f：
A中的数取绝对值
[解析] 按照函数定义，选项B，集合A中的元素1对应集合B中的元素±
1，不符合函数定义中一个自变量的值对应唯一的函数值的条件；
选项C，元素0取倒数没有意义，也不符合函数定义中集合A中任意元素都对应唯一函数值的要求；
选项D，集合A中的元素0在集合B中没有元素与其对应，也不符合函数定义中集合A中的任意元素都对应唯一函数值的要求，只有选项A符合函数定义．
[答案] A
（2）下列图形中，不能确定y是x的函数的是（ ）
[解析] 任作一条垂直于x轴的直线x＝a，移动直线，根据函数的定义可知，此直线与函数图象至多有一个交点．结合选项可知D不满足要求，因此不表示函数关系．
[答案] D
1．判断一个对应是否是函数的方法
2．根据图形判断对应是否为函数的步骤
（1）任取一条垂直于x轴的直线l.
（2）在定义域内平行移动直线l.
（3）若l与图形有且只有一个交点，则是函数；
若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数．如图所示：
集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|0≤y≤2}，下列不表示从A到B的函数的是（ ）
A．f：
x→y＝x B．f：
x→y＝x
C．f：
x→y＝x
D．f：
x→y＝
解析：
对选项C，当x＝4时，y＝＞2不合题意，故选C.
探究二 求函数的定义域
[例2]
（1）函数y＝的定义域为（ ）
A．（－∞，1）
B．（－∞，0）∪（0,1]
C．（－∞，0）∪（0,1）
D．[1，＋∞）
（2）已知函数y＝f（x）与函数y＝＋是相等函数，则函数y＝f（x）的定义域是（ ）
A．[－3,1]
B．（－3,1）
C．（－3，＋∞）
D．（－∞，1]
（3）函数y＝的定义域是（ ）
A．{x|x＞0}
B．{x|x＜0}
C．{x|x＜0，且x≠－1}
D．{x|x≠0，且x≠－1}
（4）已知等腰△ABC的周长为10，则底边长y关于腰长x的函数关系为y＝10－2x，则函数的定义域为________．
[解析]
（1）由解得故选B.
（2）由于y＝f（x）与y＝＋是相等函数，故二者定义域相同，所以y＝f（x）的定义域为{x|－3≤x≤1}．写成区间形式为[－3,1]．故选A.
（3）∵∴∴故选C.
（4）由题意知0＜y＜10，即0＜10－2x＜10，解得0＜x＜5.又底边长y与腰长x应满足2x＞y，即4x＞10，x＞.综上，＜x＜5.
[答案]
（1）B
（2）A （3）C （4）
求函数定义域的实质及结果要求
（1）求函数的定义域实质是解不等式（组），即将满足的条件转化为解不等式（组）的问题，要求把满足条件的不等式列全．
（2）结果要求：
定义域的表达形式可以是集合形式，也可以是区间形式．
（3）一般地，形如y＝，则f（x）≥0，
形如y＝，则f（x）≠0，
形如y＝（f（x））0，则f（x）≠0.
1．下列函数中，与函数y＝有相同定义域的是（ ）
A．f（x）＝
B．f（x）＝
C．f（x）＝|x|
D．f（x）＝
函数y＝＝，其定义域为{x|x≠0}，与选项B中的函数是相等函数，其定义域相同．
B
2．y＝·
的定义域为________．
⇒x＝1，所以函数的定义域为{1}．
{1}
探究三 求函数值问题
[例3] [教材P65例2拓展探究]
（1）若函数f（x）＝＋，求f（f（－3））的值．
[解析] ∵f（－3）＝－1.
∴f（f（－3））＝f（－1）＝＋＝＋1.
（2）若函数f（x）＝＋，求f（x－1）的定义域．
[解析] 法一：
f（x－1）＝＋＝＋
∴
定义域为[－2，－1）∪（－1，＋∞）．
法二：
∵f（x）的定义域为{x|x≥－3且x≠－2}，
∴f（x－1）的定义域为x－1≥－3且x－1≠－2.
即{x|x≥－2且x≠－1}．
（3）若函数f（x）＝＋，设g（x）＝x2－3，求f[g（x）]．
[解析] 首先g（x）≥－3，且g（x）≠－2，
即x2－3≥－3且x2－3≠－2，
∴x≠±
1.
∴f[g（x）]＝＋＝＋＝|x|＋.
∴f[g（x）]＝|x|＋（x≠±
1）．
函数求值的方法及关注点
（1）方法：
①求f（a）：
已知f（x）的解析式时，只需用a替换解析式中的x即得f（a）的值．
②求f（g（a））：
已知f（x）与g（x），求f（g（a））的值应遵循由里往外的原则．
（2）关注点：
用来替换解析式中x的数a必须是函数定义域内的值，否则函数无意义．
对应学生用书第32页
一、抽象函数有“据”可依——抽象函数的定义域问题、求值问题
所谓抽象函数，是指明显、具体的给出x与y之间的关系，只是借用函数符号来表达，指明了一些性质的函数．
1．定义域问题
求抽象函数定义域的原则及方法
（1）原则：
同在对应法则f下的范围相同，即f（t），f（φ（x）），f（h（x））三个函数中的t，φ（x），h（x）的范围相同．
（2）方法：
①已知f（x）的定义域为A，求f（g（x））的定义域，其实质是已知g（x）∈A，求x的范围；
②已知f（g（x））的定义域为A，求f（x）的定义域，其实质是已知x∈A，求g（x）的范围，此范围就是f（x）的定义域．
[典例]
（1）已知函数f（x）的定义域为[0,1]，求f（x2＋1）的定义域；
（2）已知函数f（2x－1）的定义域为[0,1），求f（1－3x）的定义域．
[解析]
（1）因为函数f（x2＋1）中的x2＋1相当于函数f（x）中的x，所以0≤x2＋1≤1，即－1≤x2≤0，所以x＝0，故f（x2＋1）的定义域为{x|x＝0}．
（2）因为f（2x－1）的定义域为[0,1），即0≤x＜1，
所以－1≤2x－1＜1.
故f（x）的定义域为[－1,1），所以－1≤1－3x＜1.
解得0＜x≤，所以f（1－3x）的定义域为.
2．求值问题
充分利用所给函数的性质或者特征，结合已知值，采用赋值法．
[典例] 定义在R上的函数f（x）满足f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy（x，y∈R），f
（1）＝2，则f（－3）等于（ ）
A．2 B．3
C．6
D．9
[解析] f
（1）＝f（1＋0）＝f
（1）＋f（0）＋2×
1×
0＝f
（1）＋f（0），得f（0）＝0；
又f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）＋f
（1）＋2×
（－1）×
1＝f（－1）＋2－2＝f（－1），得f（－1）＝0；
f（－2）＝f（－1－1）＝2f（－1）＋2×
（－1）2＝2×
0＋2＝2；
f（－3）＝f（－2－1）＝f（－2）＋f（－1）＋2×
（－2）×
（－1）＝2＋0＋4＝6.
[答案] C
点评 求解此类问题时要灵活选择赋值量，反复运用已知关系式．
二、求定义域时盲目化简
[典例] 求函数y＝－的定义域．
[解析] 要使函数有意义，须得x≤1且x≠－1
定义域为（－∞，－1）∪（－1,1]．
纠错心得 从表达式特征上看，似乎将函数式化简为y＝x＋1－，求定义域更简单.1－x≥0得x≤1.这已经破坏了函数的概念．求定义域务必是针对原函数而求，化简也是定义域内保持等价才可以．
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