初中数学《因式分解法解一元二次方程》教学设计学情分析教材分析课后反思Word下载.docx

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（x2－1.5）2＝2.25

所以x-1.5=1.5或x-1.5=-1.5

即x1＝3，x2＝0．

因此这个数是0或3．

小明同学做错了，因为0的平方是0，0的3倍也是0．根据题意可知，这个数也可以是0．

[师]对，这说明小明同学在进行同解变形时，进行的是非同解变形，因此丢掉了一个根．大家在解方程的时候，需要注意：

利用同解原理变形方程时，在方程两边同时乘以或除以的数，必须保证它不等于0，否则，变形就会错误．

这个方程还有没有其他的解法呢？

[生]我把方程化为一般形式后，发现这个等式的左边有公因式x，这时可把x提出来，左边即为两项的乘积．前面我们知道：

两个因式的乘积等于0，则这两个因式为零，这样，就把一元二次方程降为一元一次方程，此时，方程即可解．

x2－3x＝0，

x（x－3）＝0，

∴x＝0，x－3＝0．

∴x1＝0，x2＝3．

[师]噢，这样也可以解一元二次方程，同学们想一想，行吗？

[生齐声]行．

[师]丁同学应用的是：

如果a×

b＝0，那么a＝0，b＝0，大家想一想，议一议．

a×

b＝0时，a＝0和b＝0可同时成立，那么x（x－3）＝0时，x＝0和x－3＝0也能同时成文吗？

[生齐声]不行．

[师]那该如何表示呢？

……

[师]好，这时我们可这样表示：

b＝0，

那么a＝0或b＝0

这就是说：

当一个一元二次方程降为两个一元一次方程时，这两个一元一次方程中间用的是“或”，而不用“且”．

所以由x（x－3）＝0得到x＝0和x－3＝0时，中间应写上“或”字．

我们再来看丁同学解方程x2＝3x的方法，他是把方程的一边变为0，而另一边可以分解成两个因式的乘积，然后利用a×

b＝0，则a＝0或b＝0，把一元二次方程变为一元一次方程，从而求出方程的解．我们把这种解一元二次方程的方法称为分解因式法，即

当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就采用分解因式法来解一元二次方程．

因式分解法的理论根据是：

如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如；

若（x＋2）（x－3）＝0，那么x＋2＝0或x－3＝0；

反之，若x＋2＝0或x－3＝0，则一定有（x＋2）（x－3）＝0．这就是说，解方程（x＋2）（x－3）＝0就相当于解方程x＋2＝0或x－3＝0．

接下来我们看一例题．（出示投影片§

7.4D）

[例题]解下列方程：

（1）5x2＝4x；

（2）x－2＝x（x－2）．

[师]请同学们能独自做出来．

x＝0或5x－4＝0．

∴x1＝0，x2＝

．

[生乙]解方程

（2）时，因为方程的左、右两边都有（x－2），所以可把（x－2）看作整体，然后移项，再分解因式求解．

原方程可变形为

x－2－x（x－2）＝0，

（x－2）（1－x）＝0，

x－2＝0或1－x＝0．

∴x1＝2，x2＝1．

下面同学们来想一想，做一做．（出示投影片§

7.4E）

你能用分解因式法解方程x2－4＝0，（x＋1）2－25＝0吗？

[生]方程x2－4＝0的右边是0，左边x2－4可分解因式，即x2－4＝（x－2）（x＋2）．这样，方程x2－4＝0就可以用分解因式法来解，即

x2－4＝0，

（x＋2）（x－2）＝0，

∴x＋2＝0或x－2＝0．

∴x1＝－2，x2＝2．

[生]方程（x＋1）2－25＝0的右边是0，左边（x＋1）2－25，可以把（x＋1）看作整体，这样左边就是一个平方差，利用平方差公式即可分解因式，从而求出方程的解，即

（x＋1）2－25＝0，

[（x＋1）＋5][（x＋1）－5]＝0．

∴（x＋1）＋5＝0，

或（x＋1）－5＝0．

∴x1＝－6，x2＝－4．

[师]好，这两个题实际上我们在刚上课时解过，当时我们用的是开平方法，现在用的是因式分解法．由此可知：

一个一元二次方程的解法可能有多种，我们在选用时，以简便为主．

好，下面我们通过练习来巩固一元二次方程的解法．

Ⅲ．课堂练习

1、方程x（x+2）=0的根是（）

（A）x=2（B）x=0

（C）x1=0,x2=-2（D）x1=0,x2=2

2、方程x2=4x的解是（）

（A）x=4（B）x=2

（C）x=4或x=0（D）x=0

3、解方程（5x-1）2=3（5x-1）的适当方法应该是（）

（A）直接开平方法（B）配方法

（C）公式法（D）因式分解法

4、下列方程中不适合用因式分解法求解的方程是（）

（A）3x2-2x=0（B）4x2=9

（C）（3x+1）=2x（3x+1）（D）2x2+5x=6

小结拓展

1.因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟练掌握因式分解的知识,理论依据是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”

2.因式分解法解一元二次方程的步骤.

达标练习

解下列方程：

（1）（x＋2）（x－4）＝0；

（2）4x（2x＋1）＝3（2x＋1）．

（1）由（x＋2）（x－4）＝0得

x＋2＝0或x－4＝0．

∴x1＝－2，x2＝4．

（2）原方程可变形为

4x（2x＋1）－3（2x＋1）＝0，

（2x＋1）（4x－3）＝0，

∴2x＋1＝0或4x－3＝0．

∴x1＝－

，x2＝

2．一个数的平方的2倍等于这个数的7倍，求这个数．

设这个数为x，根据题意，得

2x2＝7x，

2x2－7x＝0，

x（2x－7）＝0．

∴x＝0或2x－7＝0．

因此这个数等于0或

Ⅳ．课时小结

我们这节课又学习了一元二次方程的解法——因式分解法．它是一元二次方程解法中应用较为广泛的简便方法．

Ⅴ．课后作业

（一）课本习题7.111、2

2．预习提纲

如何列方程解应用题．

Ⅵ．活动与探究

1．用分解因式法解：

（x－1）（x＋3）＝12．

[过程]通过学生对这个题的探讨、研究来提高学生的解题能力，养成良好的思考问题的习惯．

[结果]

1．解：

（x－1）（x＋3）＝12，

x2＋2x－3＝12，

x2＋2x－15＝0，

（x＋5）（x－3）＝0．

∴x＋5＝0或x－3＝0．

∴x1＝－5，x2＝3．

板书设计

§

7.4用分解因式法解一元二次方程

一、解方程x2＝3x

二、例题

例：

三、想一想

四、课堂练习

五、课时小结

六、课后作业

问题的实质。

【学情分析】

任何一个教学过程都是以传授知识、培养能力和激发兴趣为目的的。

这就要求我们教师必须从学生的认知结构和心理特征出发。

分析初中学生的心理特征，他们有强烈的好奇心和求知欲。

当他们在解决实际问题时，发现要解的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想进一步研究和探索解方程的配方法问题。

而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了完全平方公式、二次根式，用配方法公式法后，这就为我们继续研究用因式分解法解一元二次方程奠定了基础。

效果分析

结合小组合作学习和自学指导的反馈情况，我深感学生的潜能、创造力和可塑性之强。

1、目标检测合格人数达到85%以上，知识目标得到较好的落实。

2、本节课采用了“先学后教、合作探究、当堂达标”的课堂教学模式，先由学生课外自学，了解用因式分解法解一元二次方程的解法，并会求一些简单的一元二次方程的解；

其次，在课堂中通过合作探究、小组交流、学生展示、教师点评进一步掌握一元二次方程的解法；

第三，通过当堂练习、讲评，进一步巩固解一元二次方程的解题方法与技巧。

通过本课的授课情况及听、评课教师的反馈来看，基本上达到了课前设计的教学目的。

教材分析

一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。

我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的分式方程、二次函数等知识的基础。

初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。

我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。

很多实际问题都需要通过列、解一元二次方程来解决。

而我们想通过一元二次方程来解决实际问题，首先就要学会一元二次方程的解法。

解二次方程的基本策略是将其转化为一次方程，这就是降次。

本节课由简到难的展开学习，使学生认识即配方法、公式法后又一种新的解法因式分解法的基本原理并掌握其具体方法。

一、填空题

1.如果两个因式的积是零，那么这两个因式至少有__________等于零；

反之，如果两个因式中有__________等于零，那么它们之积是__________.

2.方程x2－16=0，可将方程左边因式分解得方程__________，则有两个一元一次方程___________或___________，分别解得：

x1=_________,x2=_________.

3.填写解方程3x（x+5）=5（x+5）的过程

3x（x+5）__________=0

（x+5）（__________）=0

x+5=__________或__________=0

∴x1=__________,x2=__________

4.用因式分解法解一元二次方程的关键是

（1）通过移项，将方程右边化为零

（2）将方程左边分解成两个__________次因式之积

（3）分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程

（4）分别解这两个__________，求得方程的解

5.x2－（p+q）x≠qp=0因式分解为____________.

6.用因式分解法解方程9=x2－2x+1

（1）移项得__________；

（2）方程左边化为两个平方差，右边为零得__________；

（3）将方程左边分解成两个一次因式之积得__________；

（4）分别解这两个一次方程得x1=__________,x2=__________.

二、选择题

1.方程x2－x=0的根为（）

A.x=0

B.x=1

C.x1=0,x2=1

D.x1=0,x2=－1

2.方程x（x－1）=2的两根为（）

A.x1=0,x2=1B.x1=0,x2=－1

C.x1=1,x2=－2D.x1=－1,x2=2

3.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是（）

A.（2x－2）（3x－4）=0∴2－2x=0或3x－4=0

B.（x+3）（x－1）=1∴x+3=0或x－1=1

C.（x－2）（x－3）=2×

3∴x－2=2或x－3=3

D.x（x+2）=0∴x+2=0

4.方程ax（x－b）+（b－x）=0的根是（）

A.x1=b,x2=aB.x1=b,x2=

C.x1=a,x2=

D.x1=a2,x2=b2

5.已知a2－5ab+6b2=0，则

等于（）

三、解方程

1.x2－25=0

2.（x+1）2=（2x－1）2

3.x2－2x+1=4

4.x2=4x

四、求证

如果一个一元二次方程的一次项系数等于二次项系数与常数项之和，则此方程必有一根是－1.

课后反思

本节课。

在实施具体教学过程后，以下是我对这堂课进行的反思：

成功之处：

1. 

以学生发展为本，重视学生自主学习。

为了培养学生的自主学习能力，同时也为了进一步提高课堂教学的实效性，通过让学生用已有的知识、经验来解决未知的问题，体现了建构主义在数学教学中的应用，培养了学生的自学能力，增强了学生可持续发展的能力。

2. 

精心设计习题，强化学生题感。

通过学生有可能出现的问题设计了相关的代表性的习题，让学生总结出用因式分解法解一元二次方程的解题思路：

大致常见的有三种类型，提公因式法、公式法（平方差，完全平方公式）、老师给予适时补充引导，通过见到什么题，就考虑用哪种方法，提高了解题速度，优化了解题方法，增强了学生解题感觉。

3．体现了“教教材”为“用教材教”的课程理念，不囿于教材。

这节课的内容教材上给的特别简单，如果不做补充，学生的思维得不到训练，知识得不到拓展，能力得不到提高，所以通过查阅中考资料等，精心设计习题，同时教学关注的焦点没有只停留在教会学生上，而是引导学生如何去学，授之以渔，由学会到会学，以便终身受益。

不足之处：

1．在课堂中有时处理问题过于急躁，过分关注学生的学习结果，而忽略了过程，处理有些知识点时，给学生留有思考的时间太少，这样使的部分学生不清楚，所以在后继学习中部分学生对于公因式为多项式的提公因式、平方差公式中的第一项和第二项均为多项式的题，部分学生模糊出错。

2．在习题的处理上，由于害怕时间比较紧，有时叫了举手的学生上黑板做题，这样表面上看一节课比较顺畅，而掩盖了那些做错学生的错误，这样教师得不到第一手的真实资料来了解课堂的实效性。

3．在授课的语言上语速过快，这样有时容易产生滑过现象，影响了教学的效果。

4．由于在前面贪多，在总结检测环节时间比较紧，有部分学生没有完成。

再教设计：

1．要给学生充分的时间来思考、合作、交流，让生生互动，关注学生的过程学习。

2．因为教学本身就是一个动态生成的过程，在解题过程中，尽量让有典型问题的学生上黑板解答，这样虽然出现了这样或那样的问题，也许是教师也始料不及的，这样正好是教师的第一手资料，以使教学能更有效进行，同时也使教师能真正了解学生的学情，同时对于学生出现的问题为了及时的加以强化，可以再出类似的让学生解决，更有效的体现课堂教学的实效性。

课标分析

理解因式分解法解数字系数的一元二次方程，对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。