高考数学一轮复习专题平面向量的概念及其线性运算教学案文.doc

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专题24平面向量的概念及其线性运算

1.了解向量的实际背景．　

2.理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义．　

3.理解向量的几何表示．　

4.掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．　

5.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．　

6.了解向量线性运算的性质及其几何意义．

1．向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为零的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量

0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定　义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

（1）交换律：

a＋b＝b＋a.

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的

相反向量

－b的和的

运算叫做

a与b的差

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

（1）|λa|＝|λ||a|；

（2）当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝λμa；

（λ＋μ）a＝λa＋μa；

λ（a＋b）＝λa＋λb

3.共线向量定理

向量a（a≠0）与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa．

高频考点一　平面向量的概念

例1、下列命题中，不正确的是________（填序号）.

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②若A，B，C，D是不共线的四点，则“＝”是“四边形ABCD为平行四边形”的充要条件；

③若a＝b，b＝c，则a＝c.

解析　①不正确.两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同.

②正确.∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共线的四点，∴四边形ABCD为平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则||＝||，

∥且，方向相同，因此＝.

③正确.∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，∴a，c的长度相等且方向相同，故a＝c.

答案　①

【方法规律】

（1）相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.

（2）共线向量即为平行向量，它们均与起点无关.

（3）向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时，不要把它与函数图象的移动混为一谈.

（4）非零向量a与的关系：

是与a同方向的单位向量.

【变式探究】下列命题中，正确的是________（填序号）.

①有向线段就是向量，向量就是有向线段；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小.

答案　③

高频考点二　平面向量的线性运算

例2、

（1）在△ABC中，P，Q分别是AB，BC的三等分点，且AP＝AB，BQ＝BC.若＝a，＝b，则＝（　　）

A.a＋b B.－a＋b

C.a－b D.－a－b

（2）在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝________；y＝________.

解析　

（1）＝＋＝＋＝＋

（－）＝＋＝a＋b，故选A.

（2）由题中条件得，＝＋＝＋＝＋（－）＝－＝x＋y，所以x＝，y＝－.

答案　

（1）A　

（2）　－

【方法规律】

（1）解题的关键在于熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.

（2）用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：

①观察各向量的位置；②寻找相应的三角形或多边形；③运用法则找关系；④化简结果.

【变式探究】

（1）如图，正方形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个靠近B点的三等分点，那么等于（　　）

A.－ B.＋

C.＋ D.－

（2）在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，O为AD的中点，若＝λ＋μ，则λ＋μ等于（　　）

A.1B. C. D.

（2）∵＝＋＝＋，

∴2＝＋，即＝＋.

故λ＋μ＝＋＝.

答案　

（1）D　

（2）D

【感悟提升】平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略

（1）向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．

（2）求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．

（3）求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．

【变式探究】如图，一直线EF与平行四边形ABCD的两边AB，AD分别交于E，F两点，且交对角线AC于K，其中，＝，＝，＝λ，则λ的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

高频考点三　共线定理的应用

例3、设两个非零向量a与b不共线.

（1）若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.求证：

A，B，D三点共线；

（2）试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线.

（1）证明　∵＝a＋b，＝2a＋8b，＝3（a－b）.

∴＝＋＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5.∴，共线，

又它们有公共点B，

∴A，B，D三点共线.

（2）解　∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，

使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，

∴（k－λ）a＝（λk－1）b.

∵a，b是不共线的两个非零向量，

∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.

【方法规律】

（1）证明三点共线问题，可用向量共线解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

（2）向量a，b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立.

【变式探究】

（1）已知向量＝a＋3b，＝5a＋3b，＝－3a＋3b，则（　　）

A.A，B，C三点共线 B.A，B，D三点共线

C.A，C，D三点共线 D.B，C，D三点共线

（2）已知A，B，C是直线l上不同的三个点，点O不在直线l上，则使等式x2＋x＋＝0成立的实数x的取值集合为（　　）

A.{0} B.∅ C.{－1} D.{0，－1}

答案　

（1）B　

（2）D

高频考点四、方程思想在平面向量线性运算中的应用

例4、如图所示，在△ABO中，＝，＝，AD与BC相交于点M，设＝a，＝b.试用a和b表示向量.

解　设＝ma＋nb，

则＝－＝ma＋nb－a＝（m－1）a＋nb.

＝－＝－＝－a＋b.[3分]

又∵A、M、D三点共线，∴与共线．

∴存在实数t，使得＝t，

即（m－1）a＋nb＝t.[5分]

∴（m－1）a＋nb＝－ta＋tb.

∴a＋nb＝t1，

∴

消去t1得，4m＋n＝1.②

由①②得m＝，n＝，∴＝a＋b.

【感悟提升】

（1）本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度．

（2）易错点是找不到问题的切入口，想不到利用待定系数法求解．（3）数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析、判断、求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧．如本题易忽视A、M、D三点共线和B、M、C三点共线这个几何特征．（4）方程思想是解决本题的关键，要注意体会．

【方法技巧】

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

2．证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．

3．对于三点共线有以下结论：

对于平面上的任一点O，，不共线，满足＝x＋y（x，y∈R），则P，A，B共线⇔x＋y＝1.

【易错提醒】

1．解决向量的概念问题要注意两点：

一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误．

1.【2016高考新课标2理数】已知向量，且，则（）

（A）－8（B）－6（C）6（D）8

【答案】D

2.【2016高考江苏卷】如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，，，则的值是▲.

【答案】

【解析】因为，

，

因此，

【2015高考新课标1，理7】设为所在平面内一点，则（）

（A）（B）

（C）（D）

【答案】A

【解析】由题知=，故选A.

1．（2014·辽宁卷）设a，b，c是非零向量，已知命题p：

若a·b＝0，b·c＝0，则a·c＝0，命题q：

若a∥b，b∥c，则a∥c，则下列命题中真命题是（　　）

A．p∨qB．p∧q

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨（綈q）

【答案】A　

【解析】由向量数量积的几何意义可知，命题p为假命题；命题q中，当b≠0时，a，c一定共线，故命题q是真命题．故p∨q为真命题．

2．（2014·新课标全国卷Ⅰ]已知A，B，C为圆O上的三点，若＝（＋），则与的夹角为________．

【答案】90°　

3．（2014·四川卷）平面向量a＝（1，2），b＝（4，2），c＝ma＋b（m∈R），且c与a的夹角等于c与b的夹角，则m＝（　　）

A．－2B．－1

C．1D．2

【答案】2　

【解析】c＝ma＋b＝（m＋4，2m＋2），由题意知＝，即＝，即5m＋8＝，解得m＝2.

4．（2013·江苏卷）设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2（λ1，λ2为实数），则λ1＋λ2的值为________．

【答案】　

【解析】如图所示，＝－＝－＝（－）＋＝＋，

又＝λ1＋λ2，且与不共线，

所以λ1＝－，λ2＝，

即λ1＋λ2＝.

5．（2013·陕西卷）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】C　

6．（2013·四川卷）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－.

（1）求cosA的值；

（2）若a＝4，b＝5，求向量在方向上的投影．

【解析】

（1）由2cos2cosB－sin（A－B）sinB＋cos（A＋C）＝－，得

[cos（A－B）＋1]cosB－sin（A－B）sinB－cosB＝－，

即cos（A－B）cosB－sin（A－B）sinB＝－，

则cos（A－B＋B）＝－，即cosA＝－.

（2）由cosA＝－，0

由正弦定理，有＝，所以sinB＝＝.

由题意知a>b，则A>B，故B＝.

根据余弦定理，有（4）2＝52＋c2－2×5c×，

解得c＝1或c＝－7（舍去），

故向量在方向上的投影为||cosB＝.

7．（2