高考数学应用题.doc
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18．（本题满分16分）
如图所示：
一吊灯的下圆环直径为4m，圆心为O，通过细绳悬挂在天花板上，圆环呈水平状态，并且与天花板的距离为2m，在圆环上设置三个等分点A1，A2，A3。
点C为上一点（不包含端点O、B），同时点C与点A1，A2，A3，B均用细绳相连接，且细绳CA1，CA2，CA3的长度相等。
设细绳的总长为
（1）设∠CA1O=（rad），将y表示成θ的函数关系式；
（2）请你设计，当角θ正弦值的大小是多少时，细绳总长y最小，并指明此时BC应为多长。
B
A1
A2
C
O
A3
18.（Ⅰ）解：
在△COA1中，
，，………2分
=
（）……7分
（Ⅱ），
令，则………………12分
当时，；时，，
∵在上是增函数
∴当角满足时，y最小，最小为；此时BCm…16分
19．由一个小区历年市场行情调查得知，某一种蔬菜在一年12个月内每月销售量（单位：
吨）与上
市时间（单位：
月）的关系大致如图
（1）所示的折线表示，销售价格（单位：
元／千克）
与上市时间（单位：
月）的大致关系如图
（2）所示的抛物线段表示（为顶点）．
（1）请分别写出,关于的函数关系式，并求出在这一年内3到6月份的销售额最大的月份？
（2）图
（1）中由四条线段所在直线围成的平面区域为，动点在内（包括边界），求的最大值；
（3）由
（2），将动点所满足的条件及所求的最大值由加法运算类比到乘法运算（如类比为），试列出所满足的条件，并求出相应的最大值．
（图1）（图2）
19.解（Ⅰ）
．
（
在恒成立，所以函数在上递增
当t=6时，=34.5．∴6月份销售额最大为34500元．
（Ⅱ），z=x—5y．
令x—5y=A（x+y）+B（x—y），则，
∴z=x—5y=—2（x+y）+3（x—y）．由,，
∴,则（z）max=11．
（Ⅲ）类比到乘法有已知,求的最大值．由=（）A·（）B
．∴,
∴，则（z）max=．
18．（本题满分15分）
（图乙）
（图甲）
如图甲，一个正方体魔方由27个单位（长度为1个单位长度）小立方体组成，把魔方中间的一层转动，如图乙，设的对边长为．
（1）试用表示；
（2）求魔方增加的表面积的最大值．
18．命题立意：
本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：
（1）由题意得，
解得，（6分）
（2）魔方增加的表面积为，
由
（1）得，（10分）
令，
则（当且仅当即时等号成立），
答：
当时，魔方增加的表面积最大为．（15分）
17．（本题满分15分）请你为某养路处设计一个用于储藏食盐的仓库（供融化高速公路上的积雪之用）．它的上部是底面圆半径为5m的圆锥，下部是底面圆半径为5m的圆柱，且该仓库的总高度为5m．经过预算，制造该仓库的圆锥侧面、圆柱侧面用料的单价分别为400元/、100元/，问当圆锥的高度为多少时，该仓库的侧面总造价（单位：
元）最少？
17．命题立意：
本题主要考查数学建模和解决实际问题的能力，考查运算求解能力．
解：
（法一）设圆锥母线与底面所成角为，且，（2分）
则该仓库的侧面总造价
，（8分）
由得，即，（13分）
经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（15分）
（法二）设圆锥的高为m，且，（2分）
则该仓库的侧面总造价
，（8分）
由得，（13分）
经检验得，当时，侧面总造价最小，此时圆锥的高度为m．（15分）
3.在一个六角形体育馆的一角MAN内，用长为a的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线AM上的一点，C是墙角线AN上的一点．
（1）若BC=a=20,求储存区域面积的最大值；
（2）若AB=AC=10,在折线内选一点，使，求四边形储存区域DBAC的最大面积.
解：
（1）设
由，
得.
即
（2）由，知点在以，为焦点的椭圆上，
∵，∴要使四边形DBAC面积最大，只需的面积最大，此时点到的距离最大,即必为椭圆短轴顶点．由，得短半轴长面积的最大值为.
因此，四边形ACDB面积的最大值为．
3.某直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2m．
（1）过点的一条直线与走廊的外侧两边交于两点，且与走廊的一边的夹角为，将线段的长度表示为的函数；
（2）一根长度为5m的铁棒能否水平（铁棒与地面平行）通过该直角走廊？
请说明理由（铁棒的粗细忽略不计）．
解：
（1）根据图得
（2）铁棒能水平通过该直角直廊，理由如下：
令得，．
当时，为减函数；
当时，为增函数；
所以当时，有最小值，
因为，所以铁棒能水平通过该直角走廊．
19．（本小题满分16分）
如图一块长方形区域ABCD，AD＝2（），AB＝1（）．在边AD的中点O处，有一个可转动的探照灯，其照射角∠EOF始终为，设∠AOE＝α，探照灯O照射在长方形ABCD内部区域的面积为S．
（1）当0≤α＜时，写出S关于α的函数表达式；
（2）当0≤α≤时，求S的最大值．
G
a
F
E
D
C
B
A
O
（第19题）
（3）若探照灯每9分钟旋转“一个来回”（OE自OA转到OC，再回到OA，称“一个来回”，忽略OE在OA及OC反向旋转时所用时间），且转动的角速度大小一定，设AB边上有一点G，且∠AOG＝，求点G在“一个来回”中，被照到的时间．
H
G
a
F
E
D
C
B
A
O
图①
19．解：
（1）过O作OH⊥BC，H为垂足．
①当0≤α≤时，
E在边AB上，F在线段BH上（如图①），
此时，AE＝，FH＝，…2分
∴S＝S正方形OABH－S△OAE－S△OHF
＝．…………4分
②当＜α＜时，
E在线段BH上，F在线段CH上（如图②），
H
O
A
B
C
D
E
F
a
G
图②
此时，EH＝，FH＝，…6分
∴EF＝．
∴S＝S△OEF＝．
综上所述，…………8分
（2）当0≤α≤时，S＝，
即S．………………10分
∵0≤α≤，∴0≤≤1．即1≤1＋≤2．
∴≥2．
∴S≤2－．
当＝－1时，S取得最大值为2－．………………12分
（3）在“一个来回”中，OE共转了2×＝．
其中点G被照到时，共转了2×＝． ………………14分
则“一个来回”中，点G被照到的时间为（分钟）．……16分
17．（本小题满分14分）
第十八届省运会将于2014年9月在徐州市举办．为营造优美的环境，举办方决定在某“葫芦”形花
坛中建喷泉．如图，该花坛的边界是两个半径为10米的圆弧围成，两圆心、之间的距离为米．
（1）如图甲，在花坛中建矩形喷泉，四个顶点，，，均在圆弧上，于点．设，求矩形的宽为多少时，可使喷泉的面积最大；
（2）如图乙，在花坛中间铺设一条宽为2米的观赏长廊以作休闲之用，则矩形喷泉变为两个全等的等腰三角形，其中，米．若，求喷泉的面积的取值范围．
θ
O1
O2
M
B
A
C
D
观赏长廊
N
（第17题图乙）
M
B
A
C
D
θ
O1
（第17题图甲）
O2
、
17．
（1）在直角中，，，则，
所以矩形的面积，………4分
令，，
则，
令，得．设，且，列表如下：
0
↗
极大值
↘
所以当，即时，矩形的面积最大．………………10分
（2）由
（1）易得，喷泉的面积，
由知，，所以函数是单调增函数，
所以．………………………………13分
答：
（1）矩形的宽（米）时，可使喷泉的面积最大；
（2）喷泉的面积的取值范围是（单位：
平方米）．……14分
17.（本小题满分14分）
如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
（第17题）
（1）若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？
（2）已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？
17．解设米，米．
（1）则，的面积
．…………………………………………………………3分
∴S．
当且仅当时取“=”．…………………………………………………………6分
（注：
不写“＝”成立条件扣1分）
（2）由题意得，即．…………………8分
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以
（）………………………………………11分
当时，有最小值，此时．…………………………13分
答：
（1）当米时，三角形地块APQ的面积最大为平方米；
（2）当米米时，可使竹篱笆用料最省．………………………14分
18．（本小题满分14分）
因发生意外交通事故,一辆货车上的某种液体泄漏到一渔塘中.为了治污,根据环保部门的建议,现决定在渔塘中投放一种可与污染液体发生化学反应的药剂.已知每投放,且个单位的药剂,它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（天）变化的函数关系式近似为,其中.
若多次投放,则某一时刻水中的药剂浓度为每次投放的药剂在相应时刻所释放的浓度之和.根据经验,
当水中药剂的浓度不低于4（克/升）时,它才能起到有效治污的作用.
（1）若一次投放4个单位的药剂,则有效治污时间可达几天?
（2）若第一次投放2个单位的药剂,6天后再投放个单位的药剂,要使接下来的4天中能够持续有效治污,试求的最小值（精确到0.1,参考数据:
取1.4）.
18．解：
（1）因为,所以…………………………………………………1分
则当时,由,解得,所以此时……………………………………3分
当时,由,解得,所以此时………………………………………5分
综合,得,若一次投放4个单位的制剂,则有效治污时间可达8天…………………………6分
（2）当时,……………………………………………9分
==,因为,而,
所以,故当且仅当时,y有最小值为………………………12分
令,解得,所以的最小值为………………14分
17．（本小题满分14分）
已知A、B两地相距，以AB为直径作一个半圆，在半圆上取一点C，连接AC、BC，在三角形ABC内种草坪（如图），M、N分别为弧AC、弧BC的中点，在三角形AMC、三角形BNC上种花，其余是空地．设花坛的面积为，草坪的面
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