河北省武邑中学届高三下学期二模考试理数试题.docx
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河北省武邑中学届高三下学期二模考试理数试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合
，
，
，则
（）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
，所以
，故选C.
2.已知
是虚数单位，则
（）
A.1B.
C.
D.2
【答案】D
3.某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】看见黄灯的概率是
，则看不见黄灯的概率是
，故选A.
4.已知等比数列
的各项均为正数，且
，则
（）
A.
B.
C.20D.40
【答案】B
【解析】
，即
，又根据
，所以
，故选B.
5.已知正方形
的边长为6，
在边
上且
，
为
的中点，则
（）
A.
B.12C.6D.
【答案】A
【解析】如图，建立平面直角坐标系，
，
，
，所以
，故选A.
6.给出下列四个命题：
①若
则
或
；
②
，都有
；
③若
是实数，则
是
的充分不必要条件；
④“
”的否定是“
”.
其中真命题的个数是（）
A.1B.2C.3D.4
【答案】A
7.已知等比数列
的公比
，
，则
的前4项和
（）
A.
B.
C.15D.30
【答案】D
8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体
积是（）
A.50B.75C.25.5D.37.5
【答案】D
【解析】由题意得，根据给定的三视图可知，原几何体是在直三棱柱的基础上，截去一个四棱锥
，所得的几何体，所以截去后剩余的几何体的体积为
，故选D.
9.已知函数
，其中
.若函数
的最大值记为
，则
的最小值为（）
A.
B.1C.
D.
【答案】D
10.已知
是双曲线
的右焦点，
分别为
的左、右顶点.
为坐标原点，
为
上一点，
轴.过点
的直线
与线段
交于点
，与
轴交于点
，直线
与
轴交于点
，若
，则双曲线
的离心率为（）
A.3B.4C.5D.6
【答案】C
【解析】设
，
，直线
的斜率为
，直线
的方程为
，当
时，
，即
，直线
的斜率时
，直线
的方程为
，当
时，
，即
，那么
，根据题意可得
，整理为：
，故选C.
11.如图，已知椭圆
，曲线
与
轴的交点为
，过坐标原点
的直线
与
相交于
两点，直线
分别与
相交于
两点，则
的值是（）
A.正数B.0C.负数D.皆有可能
【答案】B
点睛：
本题考查了直线与椭圆，和抛物线的位置关系，以及化归与转化能力的考查，首先结合图象分析，
，这样就将两个曲线和多条直线相交转化为直线
和抛物线相交，转化为传统的直线方程与曲线方程联立，得到根与系数的关系，从而代入求定值.
12.已知函数
，
若方程
有4个实根，则
的取值范围是（）
A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】当
时，
，当
时，
，当
时，
，所以设
，当
时，函数单调递减，
当
时，
，函数单调递减，
，当
时，
，单调递增，
，如图，画出函数
的图象，此时
，若
有四个不同的交点，需满足
，故选D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.函数
的部分图象如图所示，则
__________．
【答案】
【解析】由图中条件求得
，
，则
，再代入点
可得
，
故
学%
点睛：
已知函数
的图象求解析式
（1）
.
（2）由函数的周期
求
（3）利用“五点法”中相对应的特殊点求
.
14.过定点
的直线：
与圆：
相切于点
，则
__________．
【答案】4
15.在梯形
中，
，
，
与
相交于点
，
则
__________．
【答案】
【解析】因为
与
的夹角为钝角，
所以
在
方向上的投影为
，在直角
中
，所以
，所以
16.设公差不为0的等差数列
的前
项和为
，若
成等比数列，且
，则
的值是__________．
【答案】9
【解析】
，
整理得
，
，可得
，化简得
，即
，因为
，所以
，所以
，故填：
9.
点睛：
本题考查了等差等比数列的基本量的计算问题，对公式的使用，以及公式的变形，化简能力要求比较高，本题的一个难点出现在当化简为
时，如何求
，需注意条件
，通过代值求得结果，否则会走弯路.
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在
中，
分别是内角
的对边，且
.
（1）求角
的大小；
（2）若
，且
，求
的面积.
【答案】
（1）
;
（2）
.
【解析】
试题分析：
（1）余弦定理
，结合已知条件求
的大小，得到角
，
（2）根据两角差的正弦公式以及
化简等式，得到
，结合
（1）的结果再计算面积.
试题解析：
（1）把
整理得，
，
由余弦定理有
，
∴
.
由正弦定理可知，
，
代入
整理可得
，解得
，进而
，
此时
的面积为
.
∴综上所述，
的面积为
.
18.当今，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，人们常常把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，手机已经严重影响了人们的生活，一媒体为调查市民对低头族的认识，从某社区的500名市民中，随机抽取
名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如图：
（1）求出表中的
的值，并补全频率分布直方图；
（2）媒体记者为了做好调查工作，决定从所随机抽取的市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名接受采访，再从抽出的这20名中年龄在
的选取2名担任主要发言人．记这2名主要发言人年龄在
的人数为
，求
的分布列及数学期望．
【答案】
（1）见解析;
（2）见解析.
【解析】
补全频率分布直方图，如图所示．
的分布列为：
∴
点睛：
求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：
第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；
第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；
第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；
第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布
），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（
）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.
19.己知矩形
和菱形
所在平面互相垂直，如图，其中
，
，点
是线段
的中点.
（1）试问在线段
上是否存在点
，使得直线
平面
?
若存在，请证明
平面
，并求出
的值；若不存在，请说明理由；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】
（1）见解析;
（2）
.
【解析】
∵
是
的中点，
是
的中点，
∴
，
又
平面
，
平面
，
∴直线
平面
.
∵
，
∴
，
∴
.
（2）由
（1）知
，
又面
面
，面
面
，
面
，
所以
面
.
故
.
则
，
设二面角
的平面角为
，则
，
∴二面角
的正弦值为
.
20.已知点
分别为椭圆
的左，右顶点，点
，直线
交
于点
，
且
是等腰直角三角形.
（1）求椭圆
的方程；
（2）设过点
的动直线
与
相交于
两点，当坐标原点
位于以
为直径的圆外时，求直线
斜率的取值范围.
【答案】
（1）
；
（2）
【解析】
试题分析:
（1）由
为等腰直角三角形得
，由
可得
坐标，代入椭圆方程得
，进而得
的方程；
（2）可设直线
的方程，联立
，由根与系数的关系可得
的值，因为
在
外
，可得参数
的取值范围。
（Ⅰ）由
是等腰直角三角形，得
，，
设
，则由
，得
，
代入椭圆方程得
，
所以
的方程为
，
综上可得
，则
或
.
则满足条件的斜率的取值范围为
.
21.函数
，
.
（1）若
，设
，试证明
存在唯一零点
，并求
的最大值；
（2）若关于
的不等式
的解集中有且只有两个整数，求实数
的取值范围.
【答案】
（1）见解析;
（2）
.
【解析】
试题分析：
（1）根据零点存在性定理，首先证明函数的单调性，再证明存在区间
使
即证明；求函数的最大值，先求函数的导数求导函数的零点，并判断零点两侧的
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