高中数学竞赛(07-11)试题之立体几何教师版.doc

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高中数学竞赛（07-11年）试题分类汇总——立体几何

一、选择题

1.（07全国）正四棱锥P−ABCD中，∠APC=60°，则二面角A−PB−C平面角余弦值为（B）

A. B. C. D.

解：

如图，在侧面PAB内，作AM⊥PB，垂足为M。

连结CM、AC，则∠AMC为二面角A−PB−C的平面角。

不妨设AB=2，则，斜高为，故，由此得。

在△AMC中，由余弦定理得。

2.（08全国）若三个棱长均为整数（单位：

cm）的正方体的表面积之和为564cm2，则这三个正方体的体积之和为（A）

A.764cm3或586cm3B.764cm3　

C.586cm3或564cm3D.586cm3

[解]设这三个正方体的棱长分别为，则有，，不妨设，从而，．故．只能取9，8，7，6．若，则，易知，，得一组解．

若，则，．但，，从而或5．若，则无解，若，则无解．此时无解．

若，则，有唯一解，．

若，则，此时，．故，但，故，此时无解．综上，共有两组解或

体积为cm3或cm3．

3.（08江苏）设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“，，且”的平面，答：

[D]

A.不存在B.有且只有一对C.有且只有两对D.有无数对

解任作a的平面，可以作无数个.在b上任取一点M，过M作的垂线.b与垂线确定的平面垂直于.选D.

4.（08湖南）连结球面上两点的线段称为球的弦.半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于和，、分别为、的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：

①弦、可能相交于点②弦、可能相交于点

③的最大值为5④的最小值为1

其中真命题为（）

A.①③④B.①②③C.①②④D.②③④

解答：

假设、相交于点，则、共面，所以、、、四点共圆，而过圆的弦的中点的弦的长度显然有，所以②是错的．容易证明，当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心两侧时，最大为５，故③对．当以为直径的圆面与以为直径的圆面平行且在球心同侧时，最小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．

5.（08江西）四面体的六条棱长分别为，且知，则.

　、　；、　；、　；　、．

答案：

.

解：

四面体中，除外，其余的棱皆与相邻接，若长的棱与相邻，不妨设，据构成三角形条件，可知，，

，于是中，两边之和小于第三边，矛盾。

6.（08浙江）圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内（包括圆周）。

若AM⊥MP，则P点形成的轨迹的长度为（B）

A.B.C.3D.

7.（10浙江）在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=BB1，则CA1与C1B所成的角的大小是（C）

A．60°B．75°C．90°D．105°

解答：

C。

建立空间直角坐标系，以所在的直线为轴，在平面上垂直于的直线为轴，所在的直线为轴。

则

，。

8.（11浙江）设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（A）

2

2

3

1

2

2

1

2

2

正视图侧视图俯视图（圆和正方形）

A.4+B.4+C.4+D.4+

解答：

该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（），所以该几何体的体积为。

正确答案为A。

二、填空题

1.（07全国）已知正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为1，以顶点A为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于___。

解：

如图，球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：

一类在顶点A所在的三个面上，即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D和面A1B1C1D1上。

在面AA1B1B上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，AA1=1，则。

同理，所以，故弧EF的长为，而这样的弧共有三条。

在面BB1C1C上，交线为弧FG且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为B，半径为，，所以弧FG的长为。

这样的弧也有三条。

于是，所得的曲线长为。

2.（08全国）一个半径为1的小球在一个内壁棱长为的正四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是．

[解]如答12图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为，作平面//平面，与小球相切于点，则小球球心为正四面体的中心，，垂足为的中心．

因

答12图1

，

故，从而．

记此时小球与面的切点为，连接，则

．

考虑小球与正四面体的一个面（不妨取为）相切时的情况，易知小球在面上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，记为，如答12图2．记正四面体

的棱长为，过作于．

答12图2

因，有，故小三角形的边长．

小球与面不能接触到的部分的面积为（如答12图2中阴影部分）

．　　　　　　　　　

又，，所以

．

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为．

3.（09湖北）已知正方体的棱长为1，O为底面ABCD的中心，M，N分别是棱A1D1和CC1的中点．则四面体的体积为．

4.（10全国）正三棱柱的9条棱长都相等，是的中点，二面角,则.

解：

如图，.

设与交于点则

.

从而平面.

过在平面上作,垂足为.

连结,则为二面角的平面角.

设,则易求得

.

在直角中，,

即.

又.

.

5.（08河北）在三棱锥中，，，，，，．则三棱锥体积的最大值为．

答案：

.

解：

设，根据余弦定理有，

故，．由于棱锥的高不超过它的侧棱长，所以.事实上，取，且时，可以验证满足已知条件，此时，棱锥体积可以达到最大．

6.（08江西）四面体中，面与面成的二面角，顶点在面上的射影是的垂心，是的重心，若，，则．

答案：

．

解：

设面交于，则因，故在上，且，

，于是，，，在三角形中，由余弦定理得

7．（11浙江）直三棱柱，底面是正三角形，P，E分别为，上的动点（含端点），D为BC边上的中点，且。

则直线的夹角为__。

解答：

因为平面ABC⊥平面，AD⊥BC，所以AD⊥平面，所以

AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。

即夹角为。

8.（11模拟）如图，有一个半径为20的实心球，以某条直径为中心轴挖去一个半径为12的圆形的洞，再将余下部分融铸成一个新的实心球，那么新球的半径是16。

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