高考理科数学江西卷.doc

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2012年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）

数学（理科）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，第I卷第1至2页，第II卷第3至第4页。

满分150分，考试时间120分钟。

考生注意：

1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写答题卡上。

考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。

2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

第II卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答题无效。

3.考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。

参考公式：

锥体体积公式V=Sh，其中S为底面积，h为高。

第I卷

一．选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若集合A={-1,1},B={0,2},则集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为

A.5 B.4 C.3 D.2

2.下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为

A.y= B.y= C.y=xex D.y=

3.若函数f（x）=则f（f（10））=

A.lg101 B.2 C.1 D.0

4.若tanθ+=4,则sin2θ=

A. B. C. D.

5.下列命题中,假命题为

A.存在四边相等的四边形不是正方形

B.z1,z2∈C,z1+z2为实数的充分必要条件是z1,z2互为共轭复数

C.若x,y∈R,且x+y>2,则x,y至少有一个大于1

D.对于任意n∈N+,++…+都是偶数

6.观察下列各式:

a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4,a4+b4=7,a5+b5=11,…,则a10+b10=

A.28 B.76 C.123 D.199

7.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB的中点,点P为线段CD的中点,则=

A.2 B.4 C.5 D.10

8.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50亩,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

年产量/亩

年种植成本/亩

每吨售价

黄瓜

4吨

1.2万元

0.55万元

韭菜

6吨

0.9万元

0.3万元

为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位:

亩）分别为

A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50

9.样本（x1,x2,…,xn）的平均数为,样本（y1,y2,…,ym）的平均数为（）.若样本（x1,x2,…,xn,y1,y2,…,ym）的平均数=α+（1-α）,其中0<α<,则n,m的大小关系为

A.nm C.n=m D.不能确定

10.如右图,已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点,过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x（0

第Ⅱ卷

注：

Ⅱ卷共2页，须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答。

若在试题卷上作答，答案无效。

二.填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分。

11.计算定积分（x2+sinx）dx=　　　　　. 

12.设数列{an},{bn}都是等差数列,若a1+b1=7,a3+b3=21,则a5+b5=　　　　　. 

13.椭圆+=1（a>b>0）的左、右顶点分别是A,B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为　　　　　. 

14.下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是　　　　　. 

三、选做题：

请在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按第一题评阅计分.本题共5分.

15.

（1）（坐标系与参数方程选做题）曲线C的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线C的极坐标方程为　　　　　. 

（2）（不等式选做题）在实数范围内,不等式|2x-1|+|2x+1|≤6的解集为　　　　　. 

四．解答题：

本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16.已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+kn（其中k∈N+）,且Sn的最大值为8.

（1）确定常数k,并求an;

（2）求数列的前n项和Tn.

17.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知A=,bsin-csin=a.

（1）求证:

B-C=;

（2）若a=,求△ABC的面积.

18.如图,从A1（1,0,0）,A2（2,0,0）,B1（0,1,0）,B2（0,2,0）,C1（0,0,1）,C2（0,0,2）这6个点中随机选取3个点,将这3个点及原点O两两相连构成一个“立体”,记该“立体”的体积为随机变量V（如果选取的3个点与原点在同一个平面内,此时“立体”的体积V=0）.

（1）求V=0的概率;

（2）求V的分布列及数学期望EV.

19.在三棱柱ABC-A1B1C1中,已知AB=AC=AA1=,BC=4,点A1在底面ABC的投影是线段BC的中点O.

（1）证明在侧棱AA1上存在一点E,使得OE⊥平面BB1C1C,并求出AE的长;

（2）求平面A1B1C与平面BB1C1C夹角的余弦值.

20.已知三点O（0,0）,A（-2,1）,B（2,1）,曲线C上任意一点M（x,y）满足|+|=·（+）+2.

（1）求曲线C的方程;

（2）动点Q（x0,y0）（-2

是否存在定点P（0,t）（t<0）,使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?

若存在,求t的值;若不存在,说明理由.

21.若函数h（x）满足

①h（0）=1,h

（1）=0;②对任意a∈[0,1],有h（h（a））=a;③在（0,1）上单调递减.

则称h（x）为补函数.已知函数h（x）=（λ>-1,p>0）.

（1）判断函数h（x）是否为补函数,并证明你的结论;

（2）若存在m∈[0,1],使h（m）=m,称m是函数h（x）的中介元.记p=（n∈N+）时h（x）的中介元为xn,且Sn=xi,若对任意的n∈N+,都有Sn<,求λ的取值范围;

（3）当λ=0,x∈（0,1）时,函数y=h（x）的图像总在直线y=1-x的上方,求p的取值范围.

答案参考解析

1.C　由已知,得{z|z=x+y,x∈A,y∈B}={-1,1,3},

所以集合{z|z=x+y,x∈A,y∈B}中的元素的个数为3.

2.D　因为y=的定义域为{x|x≠0},

而y=的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z},y=的定义域为{x|x>0},y=xex的定义域为R,y=的定义域为{x|x≠0},故D项正确.

3.B　∵f（10）=lg10=1,

∴f（f（10））=f

（1）=12+1=2.

4.D　∵tanθ+=4,

∴+=4.

∴=4,即=4.

∴sin2θ=.

5.B　选项A中,四边相等的空间四边形显然不是正方形,故选项A为真命题;选项B中,z1,z2∈C,“z1+z2为实数”⇐“z1,z2互为共轭复数”,但“z1+z2为实数”“z1,z2互为共轭复数”,故选项B为假命题;选项C中,假设x,y均小于等于1,则x+y≤2,这与x+y>2相矛盾,故选项C为真命题;选项D中,+++…+=2n,显然2n是偶数,故选项D为真命题.

6.C　利用归纳法:

a+b=1,a2+b2=3,a3+b3=4=3+1,a4+b4=4+3=7,a5+b5=7+4=11,a6+b6=11+7=18,a7+b7=18+11=29,a8+b8=29+18=47,a9+b9=47+29=76,a10+b10=76+47=123.

规律为从第三组开始,其结果为前两组结果的和.

7.D　（用向量法）将△ABC的各边均赋予向量,

则=

=

=

=

=

=-6=42-6=10.

8.B　设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x亩、y亩,总利润为z万元,

则z关于x,y的关系式为z=4x×0.55-1.2x+6y×0.3-0.9y=x+0.9y,且x,y满足约束条件为

画可行域,如图所示:

设l0:

y=-x,将l0上下平移可知,

当直线z=x+0.9y过点A（30,20）（注:

可联立方程组解得点A的坐标）时,z取最大值,因此当总利润z最大时,x=30,y=20,即黄瓜的种植面积为30亩,韭菜的种植面积为20亩.

9.A　由已知,得x1+x2+…+xn=n,y1+y2+…+ym=m,

===α+（1-α）,

整理,得（-）[αm+（α-1）n]=0,

∵,

∴αm+（α-1）n=0,即=.

又0<α<,∴0<<1,∴0<<1.

又n,m∈N+,∴n

10.A　设截面与SB,SD,AD,AB分别交于点M,N,P,F,取SC的中点Q,连结BQ,DQ,

如图,过M作MT∥AB,VS-ABCD=,

由相似性知,VS-EMN=x3,

VS-TNM=x3,

V棱柱TNM-APF=x2-2x3.

（1）当0

Vx'=x（3x-2）,图象如图.

由Vx'的图象可知,当0

（2）当≤x<1时,Vx=（1-x）3,Vx'=-（1-x）2,图象如图.

由Vx'的图象可知,当≤x<1时,Vx减小的速度先快后慢,综合

（1）,

（2）知选A.

11.　（x2+sinx）dx=x3-cosx=.

12.35　∵{an},{bn}均是等差数列,根据等差数列的性质a1+a5=2a3,b1+b5=2b3,即a5=2a3-a1,b5=2b3-b1,

∴a5+b5=2（a3+b3）-（a1+b1）=2×21-7=35.

13.　因为A,B为左、右顶点,F1,F2为左、右焦点,

所以|AF1|=a-c,|F1F2|=2c,|BF1|=a+c.

又因为|AF1|,|F1F2|,|BF1|成等比数列,

所以（a-c）（a+c）=4c2,即a2=5c2,

所以离心率e==.

14.

3　当T=0,k=1时,sin>sin,所以a=1,T=1,k=2;

当T=1,k=2时,sin

当T=1,k=3时,sin

当T=1,k=4时,sin>sin,所以a=1,T=2,k=5;

当T=2,k=5时,sin>sin,所以a=1,T=3,k=6.

此时k≥6,所以输出T=3.

15.

（1）ρ=2cosθ　

（2）

16.解:

（1）当n=k∈N+时,Sn=-n2+kn取最大值,即8=Sk=-k2+k2=k2,

故k2=16,因此k=4,

从而an=Sn-Sn-1=-n（n≥2）.

又a1=S1=,所以an=-n.

（2）因为bn==,

Tn=b1+b2+…+bn=1+++…++,

所以Tn=2Tn-Tn=2+1++…+-=4--=4-.

17.

（1）证明:

由bsin-csin=a,

应用正弦定理,得

sinBsin-sinCsin=sinA,

sinB-

sinC=,

整理得sinBcosC-cosBsinC=1,

即