高考数学一轮复习之平面向量及其运用考点透析.doc

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高考数学二轮复习考点解析11：

平面向量及其运用考点透析

【考点聚焦】

考点1：

向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.

考点2：

向量的坐标运算、平面向量的数量积.

考点3：

向量的模与角的计算。

.

【考点小测】

1．（浙江卷）设向量满足,,则

（A）1（B）2（C）4（D）5

图1

2．（2003年天津高考题）O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，，则P的轨迹一定通过△ABC的（）

（A）外心（B）内心（C）重心（D）垂心

3．（广东卷）如图1所示，是的边上的中点，则向量

A.B.C.D.

4．（湖南卷）已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是（）A.[0,]B.C.D.

5．（全国卷I）已知向量满足，且，则与的夹角为

A．B．C．D．

6．（山东卷）设向量a=（1,－2）,b=（－2,4）,c=（－1,－2），若表示向量4a,4b－2c,2（a－c）,d的有向线段首尾相接能构成四边形，则向量d为

（A）（2,6）（B）（－2,6）（C）（2,－6）（D）（－2,－6）

7．（上海卷）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是（）

A

B

C

D

（A）＝；（B）＋＝；

（C）－＝；（D）＋＝．

8．（北京卷）若三点共线，则的值等于_________.

9．（2005年全国卷Ⅱ）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量v=（4，－3）（即点P的运动方向与v相同，且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为（－10，10），则5秒后点P的坐标为（10，－5）

10．（湖南卷）已知直线ax＋by＋c＝0与圆O：

x2＋y2＝1相交于A、B两点，且|AB|＝，则　＝　　　.

【典型考例】

【考型1】向量的有关概念与运算

此类题经常出现在选择题与填空题中，在复习中要充分理解平面向量的相关概念，熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算，掌握两向量共线、垂直的充要条件.

例1：

已知a是以点A（3,－1）为起点，且与向量b=（－3,4）平行的单位向量，则向量a的终点坐标是　　　　　　　.

思路分析：

与a平行的单位向量e=±

方法一：

设向量a的终点坐标是（x,y）,则a=（x-3,y+1），则题意可知

，故填（,-）或（,-）

方法二　与向量b=（-3,4）平行的单位向量是±（-3,4），故可得a＝±（-,），从而向量a的终点坐标是（x,y）=a－（3,－1）,便可得结果.

点评：

向量的概念较多，且容易混淆，在学习中要分清、理解各概念的实质，注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.

例2：

已知|a|=1,|b|=1，a与b的夹角为60°,x=2a－b，y=3b－a,则x与y的夹角的余弦是多少？

思路分析：

要计算x与y的夹角θ，需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.

解：

由已知|a|=|b|=1，a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.

要计算x与y的夹角θ，需求出|x|，|y|，x·y的值.

∵|x|2=x2=（2a－b）2=4a2－4a·b+b2=4－4×+1=3，

|y|2=y2=（3b－a）2=9b2－6b·a+a2=9－6×+1=7.

x·y=（2a－b）·（3b－a）=6a·b－2a2－3b2+a·b

=7a·b－2a2－3b2=7×－2－3=－，

又∵x·y=|x||y|cosθ，即－=×cosθ，∴cosθ=－

点评：

①本题利用模的性质|a|2=a2，②在计算x,y的模时，还可以借助向量加法、减法的几何意义获得：

如图所示，设=b,=a,=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义，得=－=2a－b.由余弦定理易得||=，即|x|=，同理可得|y|=.

【考型2】向量共线与垂直条件的考查

例3．平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（3,1），B（－1,3），若点C满足，其中，∈R且+=1，求点C的轨迹方程。

.

解：

（法一）设C（x,y），则=（x,y），由=（x,y）=α（3,1）+β（-1,3）=（3α-β,α+3β）

∴,（可从中解出α、β）又∵α+β＝1　消去α、β得x+2y-5=0

（法二）利用向量的几何运算，考虑定比分点公式的向量形式，结合条件知：

A，B，C三点共线，故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x＋2y－5=0，

例4．已知平面向量a＝（，－1），b＝（,）.

（1）若存在实数k和t，便得x＝a＋（t2－3）b,y＝－ka＋tb，且x⊥y，试求函数的关系式k＝f（t）；

（2）根据

（1）的结论，确定k＝f（t）的单调区间.

思路分析：

①欲求函数关系式k=f（t），只需找到k与t之间的等量关系，k与t之间的等量关系怎么得到？

②求函数单调区间有哪些方法？

（导数法、定义法）导数法是求单调区间的简捷有效的方法？

解：

（1）法一：

由题意知x＝（,）,

y＝（t－k，t＋k），又x⊥y

故x·y＝×（t－k）＋×（t＋k）＝0.

整理得：

t3－3t－4k＝0，即k＝t3－t.

法二：

∵a＝（，－1），b＝（,）,∴.＝2，＝1且a⊥b

∵x⊥y，∴x·y＝0，即－k2＋t（t2－3）2＝0，∴t3－3t－4k＝0,即k＝t3－t

（2）由

（1）知：

k＝f（t）＝t3－t∴kˊ＝fˊ（t）＝t3－,

令kˊ＜0得－1＜t＜1；令kˊ＞0得t＜－1或t＞1.

故k＝f（t）的单调递减区间是（－1,1），单调递增区间是（－∞，－1）和（1，＋∞）.

点评：

第

（1）问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法：

一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标，再利用向量垂直的充要条件；二是直接利用向量垂直的充要条件，其过程要用到向量的数量积公式及求模公式，达到同样的求解目的（但运算过程大大简化，值得注意）.第

（2）问中求函数的极值运用的是求导的方法，这是新旧知识交汇点处的综合运用.

例5：

已知平面向量＝（，－1），＝（，），若存在不为零的实数k和角α，使向量＝＋（sinα－3）,＝－k＋（sinα）,且⊥，试求实数k的取值范围.

解：

由条件可得：

k＝（sinα－）2－,而－1≤sinα≤1,

∴当sinα＝－1时，k取最大值1；sinα＝1时，k取最小值－.

又∵k≠0∴k的取值范围为.

点拨与提示：

将例题中的t略加改动，旧题新掘，出现了意想不到的效果，很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.

例6：

已知向量，若正数k和t使得向量

垂直，求k的最小值.

解：

∵，∴||=，||=

＝－＋，代入上式－3k＋3

当且仅当t=，即t=1时，取“＝”号，即k的最小值是2.

【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查

向量与三角函数结合，题目新颖而又精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查.

例7．设函数f（x）＝a·b，其中向量a＝（2cosx,1）,b＝（cosx,sin2x）,x∈R.

（1）若f（x）＝1－且x∈[－，]，求x；

（2）若函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m,n）（﹤）平移后得到函数y＝f（x）的图象，求实数m、n的值.

思路分析：

本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能，

解：

（1）依题设，f（x）＝（2cosx，1）·（cosx,sin2x）＝2cos2x＋sin2x＝1＋2sin（2x＋）

由1＋2sin（2x＋）=1－，得sin（2x＋）＝－.

∵－≤x≤,∴－≤2x＋≤,∴2x＋=－,即x＝－.

（2）函数y＝2sin2x的图象按向量c＝（m,n）平移后得到函数y＝2sin2（x－m）+n的图象，即函数y＝f（x）的图象.

由

（1）得f（x）＝∵＜，∴m＝－，n＝1.

点评：

①把函数的图像按向量平移，可以看成是C上任一点按向量平移，由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ，明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系，也就找到了此问题的解题途径.②一般地，函数y＝f（x）的图象按向量a＝（h,k）平移后的函数解析式为y－k＝f（x－h）

例8：

已知a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）（0<α<β<π），

（1）求证：

a+b与a-b互相垂直；

（2）若ka+b与a-kb的模大小相等（k∈R且k≠0），求β－α

解：

（1）证法一：

∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）

∴a+b＝（cosα+cosβ，sinα+sinβ）,a-b＝（cosα-cosβ，sinα-sinβ）

∴（a+b）·（a-b）=（cosα+cosβ，sinα+sinβ）·（cosα-cosβ，sinα-sinβ）

=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0

∴（a+b）⊥（a-b）

证法二：

∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）　　　∴|a|＝1，|b|＝1

∴（a+b）·（a-b）=a2-b2=|a|2-|b|2=0　　　　　　　　　　∴（a+b）⊥（a-b）

证法三：

∵a=（cosα，sinα）,b=（cosβ,sinβ）∴|a|＝1，|b|＝1,

记＝a，＝b，则||＝||=1,

又α≠β，∴O、A、B三点不共线.

由向量加、减法的几何意义，可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形，其中＝a+b，＝a-b，由菱形对角线互相垂直，知（a+b）⊥（a-b）

（2）解：

由已知得|ka+b|与|a-kb|,

又∵|ka+b|2＝（kcosα+cosβ）2+（ksinα+sinβ）2=k2+1+2kcos（β－α）,

|ka+b|2＝（cosα-kcosβ）2+（sinα-ksinβ）2=k2+1-2kcos（β－α）,

∴2kcos（β－α）=-2kcos（β－α）

又∵k≠0　　　∴cos（β－α）＝0

∵0<α<β<π　　∴0<β－α<π,∴β－α=

注：

本题是以平面向量的知识为平台，考查了三角函数的有关运算，同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法，常用的方法有三种，一是根据数量积的定义证明，二是利用数量积的坐标运算来证明，三是利用向量运算的几何意义来证明.

【考型4】向量运算的几何意义与解析几何

由于向量既能体现“形”的直观位置特征，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带，文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。

例9：

设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心，A（0，2），B（0，－2）且（λ∈R）.（Ⅰ）求点C（x，y）的轨迹E的方程；（Ⅱ）过点（2，0）作直线L与曲线E交于点M、N两点，设，是否存在这样的直线L，使四边形OMPN是矩形？

若存在，求出直线的方程；若不存在，试说明理由.

思路分析：

（1）通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.

（2）根据矩形应该