高考数学一轮复习之平面向量及其运用考点透析.doc
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高考数学二轮复习考点解析11:
平面向量及其运用考点透析
【考点聚焦】
考点1:
向量的概念、向量的加法和减法、实数与向量的积.
考点2:
向量的坐标运算、平面向量的数量积.
考点3:
向量的模与角的计算。
.
【考点小测】
1.(浙江卷)设向量满足,,则
(A)1(B)2(C)4(D)5
图1
2.(2003年天津高考题)O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足,,则P的轨迹一定通过△ABC的()
(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心
3.(广东卷)如图1所示,是的边上的中点,则向量
A.B.C.D.
4.(湖南卷)已知,且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是()A.[0,]B.C.D.
5.(全国卷I)已知向量满足,且,则与的夹角为
A.B.C.D.
6.(山东卷)设向量a=(1,-2),b=(-2,4),c=(-1,-2),若表示向量4a,4b-2c,2(a-c),d的有向线段首尾相接能构成四边形,则向量d为
(A)(2,6)(B)(-2,6)(C)(2,-6)(D)(-2,-6)
7.(上海卷)如图,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是()
A
B
C
D
(A)=;(B)+=;
(C)-=;(D)+=.
8.(北京卷)若三点共线,则的值等于_________.
9.(2005年全国卷Ⅱ)点P在平面上作匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位.设开始时点P的坐标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为(10,-5)
10.(湖南卷)已知直线ax+by+c=0与圆O:
x2+y2=1相交于A、B两点,且|AB|=,则 = .
【典型考例】
【考型1】向量的有关概念与运算
此类题经常出现在选择题与填空题中,在复习中要充分理解平面向量的相关概念,熟练掌握向量的坐标运算、数量积运算,掌握两向量共线、垂直的充要条件.
例1:
已知a是以点A(3,-1)为起点,且与向量b=(-3,4)平行的单位向量,则向量a的终点坐标是 .
思路分析:
与a平行的单位向量e=±
方法一:
设向量a的终点坐标是(x,y),则a=(x-3,y+1),则题意可知
,故填(,-)或(,-)
方法二 与向量b=(-3,4)平行的单位向量是±(-3,4),故可得a=±(-,),从而向量a的终点坐标是(x,y)=a-(3,-1),便可得结果.
点评:
向量的概念较多,且容易混淆,在学习中要分清、理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向量、同向向量、反向向量、单位向量等概念.
例2:
已知|a|=1,|b|=1,a与b的夹角为60°,x=2a-b,y=3b-a,则x与y的夹角的余弦是多少?
思路分析:
要计算x与y的夹角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.计算时要注意计算的准确性.
解:
由已知|a|=|b|=1,a与b的夹角α为60°,得a·b=|a||b|cosα=.
要计算x与y的夹角θ,需求出|x|,|y|,x·y的值.
∵|x|2=x2=(2a-b)2=4a2-4a·b+b2=4-4×+1=3,
|y|2=y2=(3b-a)2=9b2-6b·a+a2=9-6×+1=7.
x·y=(2a-b)·(3b-a)=6a·b-2a2-3b2+a·b
=7a·b-2a2-3b2=7×-2-3=-,
又∵x·y=|x||y|cosθ,即-=×cosθ,∴cosθ=-
点评:
①本题利用模的性质|a|2=a2,②在计算x,y的模时,还可以借助向量加法、减法的几何意义获得:
如图所示,设=b,=a,=2a,∠BAC=60°.由向量减法的几何意义,得=-=2a-b.由余弦定理易得||=,即|x|=,同理可得|y|=.
【考型2】向量共线与垂直条件的考查
例3.平面直角坐标系中,O为坐标原点,已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C满足,其中,∈R且+=1,求点C的轨迹方程。
.
解:
(法一)设C(x,y),则=(x,y),由=(x,y)=α(3,1)+β(-1,3)=(3α-β,α+3β)
∴,(可从中解出α、β)又∵α+β=1 消去α、β得x+2y-5=0
(法二)利用向量的几何运算,考虑定比分点公式的向量形式,结合条件知:
A,B,C三点共线,故点C的轨迹方程即为直线AB的方程x+2y-5=0,
例4.已知平面向量a=(,-1),b=(,).
(1)若存在实数k和t,便得x=a+(t2-3)b,y=-ka+tb,且x⊥y,试求函数的关系式k=f(t);
(2)根据
(1)的结论,确定k=f(t)的单调区间.
思路分析:
①欲求函数关系式k=f(t),只需找到k与t之间的等量关系,k与t之间的等量关系怎么得到?
②求函数单调区间有哪些方法?
(导数法、定义法)导数法是求单调区间的简捷有效的方法?
解:
(1)法一:
由题意知x=(,),
y=(t-k,t+k),又x⊥y
故x·y=×(t-k)+×(t+k)=0.
整理得:
t3-3t-4k=0,即k=t3-t.
法二:
∵a=(,-1),b=(,),∴.=2,=1且a⊥b
∵x⊥y,∴x·y=0,即-k2+t(t2-3)2=0,∴t3-3t-4k=0,即k=t3-t
(2)由
(1)知:
k=f(t)=t3-t∴kˊ=fˊ(t)=t3-,
令kˊ<0得-1<t<1;令kˊ>0得t<-1或t>1.
故k=f(t)的单调递减区间是(-1,1),单调递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞).
点评:
第
(1)问中两种解法是解决向量垂直的两种常见的方法:
一是先利用向量的坐标运算分别求得两个向量的坐标,再利用向量垂直的充要条件;二是直接利用向量垂直的充要条件,其过程要用到向量的数量积公式及求模公式,达到同样的求解目的(但运算过程大大简化,值得注意).第
(2)问中求函数的极值运用的是求导的方法,这是新旧知识交汇点处的综合运用.
例5:
已知平面向量=(,-1),=(,),若存在不为零的实数k和角α,使向量=+(sinα-3),=-k+(sinα),且⊥,试求实数k的取值范围.
解:
由条件可得:
k=(sinα-)2-,而-1≤sinα≤1,
∴当sinα=-1时,k取最大值1;sinα=1时,k取最小值-.
又∵k≠0∴k的取值范围为.
点拨与提示:
将例题中的t略加改动,旧题新掘,出现了意想不到的效果,很好地考查了向量与三角函数、不等式综合运用能力.
例6:
已知向量,若正数k和t使得向量
垂直,求k的最小值.
解:
∵,∴||=,||=
=-+,代入上式-3k+3
当且仅当t=,即t=1时,取“=”号,即k的最小值是2.
【考型3】向量的坐标运算与三角函数的考查
向量与三角函数结合,题目新颖而又精巧,既符合在知识的“交汇处”构题,又加强了对双基的考查.
例7.设函数f(x)=a·b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,sin2x),x∈R.
(1)若f(x)=1-且x∈[-,],求x;
(2)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)(﹤)平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.
思路分析:
本题主要考查平面向量的概念和计算、平移公式以及三角函数的恒等变换等基本技能,
解:
(1)依题设,f(x)=(2cosx,1)·(cosx,sin2x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+)
由1+2sin(2x+)=1-,得sin(2x+)=-.
∵-≤x≤,∴-≤2x+≤,∴2x+=-,即x=-.
(2)函数y=2sin2x的图象按向量c=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图象,即函数y=f(x)的图象.
由
(1)得f(x)=∵<,∴m=-,n=1.
点评:
①把函数的图像按向量平移,可以看成是C上任一点按向量平移,由这些点平移后的对应点所组成的图象是Cˊ,明确了以上点的平移与整体图象平移间的这种关系,也就找到了此问题的解题途径.②一般地,函数y=f(x)的图象按向量a=(h,k)平移后的函数解析式为y-k=f(x-h)
例8:
已知a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)(0<α<β<π),
(1)求证:
a+b与a-b互相垂直;
(2)若ka+b与a-kb的模大小相等(k∈R且k≠0),求β-α
解:
(1)证法一:
∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)
∴a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ),a-b=(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
∴(a+b)·(a-b)=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)·(cosα-cosβ,sinα-sinβ)
=cos2α-cos2β+sin2α-sin2β=0
∴(a+b)⊥(a-b)
证法二:
∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ) ∴|a|=1,|b|=1
∴(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0 ∴(a+b)⊥(a-b)
证法三:
∵a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ)∴|a|=1,|b|=1,
记=a,=b,则||=||=1,
又α≠β,∴O、A、B三点不共线.
由向量加、减法的几何意义,可知以OA、OB为邻边的平行四边形OACB是菱形,其中=a+b,=a-b,由菱形对角线互相垂直,知(a+b)⊥(a-b)
(2)解:
由已知得|ka+b|与|a-kb|,
又∵|ka+b|2=(kcosα+cosβ)2+(ksinα+sinβ)2=k2+1+2kcos(β-α),
|ka+b|2=(cosα-kcosβ)2+(sinα-ksinβ)2=k2+1-2kcos(β-α),
∴2kcos(β-α)=-2kcos(β-α)
又∵k≠0 ∴cos(β-α)=0
∵0<α<β<π ∴0<β-α<π,∴β-α=
注:
本题是以平面向量的知识为平台,考查了三角函数的有关运算,同时也体现了向量垂直问题的多种证明方法,常用的方法有三种,一是根据数量积的定义证明,二是利用数量积的坐标运算来证明,三是利用向量运算的几何意义来证明.
【考型4】向量运算的几何意义与解析几何
由于向量既能体现“形”的直观位置特征,又具有“数”的良好运算性质,是数形结合与转换的桥梁和纽带,文科应重视由向量运算的几何意义求圆的方程和椭圆方程。
例9:
设G、H分别为非等边三角形ABC的重心与外心,A(0,2),B(0,-2)且(λ∈R).(Ⅰ)求点C(x,y)的轨迹E的方程;(Ⅱ)过点(2,0)作直线L与曲线E交于点M、N两点,设,是否存在这样的直线L,使四边形OMPN是矩形?
若存在,求出直线的方程;若不存在,试说明理由.
思路分析:
(1)通过向量的共线关系得到坐标的等量关系.
(2)根据矩形应该