直角三角形的性质与判定 省优精品教案文档格式.docx
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(2)如果∠A是钝角,如图②,
(1)中的结论是否还成立?
(1)根据垂直的定义可得△ABD和△BCE都是直角三角形,再根据直角三角形两锐角互余可得∠1+∠B=90°
,∠2+∠B=90°
,从而得解;
(2)根据垂直的定义可得∠D=∠E=90°
,然后求出∠1+∠4=90°
,∠2+∠3=90°
,再根据∠3、∠4是对顶角解答即可.
解:
(1)∠1=∠2.∵AD⊥BC,CE⊥AB,∴△ABD和△BCE都是直角三角形,∴∠1+∠B=90°
,∴∠1=∠2;
(2)结论仍然成立.理由如下:
∵BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠D=∠E=90°
,∴∠1+∠4=90°
,∵∠3=∠4(对顶角相等),∴∠1=∠2.
本题考查了直角三角形的性质,主要利用了直角三角形两锐角互余,同角或等角的余角相等的性质,熟记性质是解题的关键.
探究点二:
勾股定理
【类型一】直接运用勾股定理
已知:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°
,AB=13cm,BC=5cm,CD⊥AB于D.求:
(1)AC的长;
(2)S△ABC;
(3)CD的长.
(1)由于在△ABC中,∠ACB=90°
,AB=13cm,BC=5cm,根据勾股定理即可求出AC的长;
(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC;
(3)根据CD·
AB=BC·
AC即可求出CD.
(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°
,AB=13cm,BC=5cm,∴AC=
=12cm;
(2)S△ABC=
CB·
AC=30cm2;
(3)∵S△ABC=
AC·
BC=
CD·
AB,∴CD=
=
cm.
解答此类问题,一般是先利用勾股定理求出第三边,利用两种方法表示出同一个直角三角形的面积,然后根据面积相等得出一个方程,再解这个方程即可.
【类型二】分类讨论思想在勾股定理中的应用
在△ABC中,AB=15,AC=13,BC边上的高AD=12,试求△ABC周长.
本题应分两种情况进行讨论:
(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相加即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出;
(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD和Rt△ACD中,运用勾股定理可将BD和CD的长求出,两者相减即为BC的长,从而可将△ABC的周长求出.
此题应分两种情况进行讨论:
(1)当△ABC为锐角三角形时,在Rt△ABD中,BD=
=9,在Rt△ACD中,CD=
=5,∴BC=BD+CD=5+9=14,∴△ABC的周长为15+13+14=42;
(2)当△ABC为钝角三角形时,在Rt△ABD中,BD=
=9.在Rt△ACD中,CD=
=5,∴BC=9-5=4,∴△ABC的周长为15+13+4=32.
∴当△ABC为锐角三角形时,△ABC的周长为42;
当△ABC为钝角三角形时,△ABC的周长为32.
在题目未给出具体图形时,应考虑三角形是锐角三角形还是钝角三角形,凡符合题设的情况都要考虑,体现了分类讨论思想,这是解无图几何问题的常用方法.
探究点三:
勾股定理的逆定理
【类型一】判断三角形的形状
如图,正方形网格中有△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为( )
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.以上答案都不对
∵正方形小方格边长为1,∴BC=
=2
,AC=
,AB=
.在△ABC中,∵BC2+AC2=52+13=65,AB2=65,∴BC2+AC2=AB2,∴△ABC是直角三角形.故选A.
要判断一个角是不是直角,先要构造出三角形,然后知道三条边的大小,用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较,如果相等,则三角形为直角三角形;
否则不是.
【类型二】利用勾股定理的逆定理证明垂直关系
如图,在正方形ABCD中,AE=EB,AF=
AD,求证:
CE⊥EF.
证明:
连接CF,设正方形的边长为4.∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC=CD=DA=4.∵点E为AB中点,AF=
AD,∴AE=BE=2,AF=1,DF=3.由勾股定理得EF2=12+22=5,EC2=22+42=20,FC2=42+32=25.∵EF2+EC2=FC2,∴△CFE是直角三角形,∴∠FEC=90°
,即EF⊥CE.
利用勾股定理的逆定理可以判断一个三角形是否为直角三角形,所以此定理也是判定垂直关系的一个主要方法.
【类型三】运用勾股定理的逆定理解决面积问题
如图,在四边形ABCD中,∠B=90°
,AB=8,BC=6,CD=24,AD=26,求四边形ABCD的面积.
连接AC,根据已知条件运用勾股定理的逆定理可证△ACD为直角三角形,然后代入三角形面积公式将△ABC和△ACD这两个直角三角形的面积求出,两者面积相加即为四边形ABCD的面积.
连接AC,∵∠B=90°
,∴△ABC为直角三角形.∵AC2=AB2+BC2=82+62=102,∴AC=10.在△ACD中,∵AC2+CD2=100+576=676,AD2=262=676,∴AC2+CD2=AD2,∴△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°
,∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
×
6×
8+
10×
24=144.
此题将求四边形面积的问题转化为求两个直角三角形面积和的问题,既考查了对勾股定理逆定理的掌握情况,又体现了转化思想在解题时的应用.
探究点四:
互逆命题与互逆定理
写出下列各命题的逆命题,并判断其逆命题是真命题还是假命题.
(1)两直线平行,同旁内角互补;
(2)垂直于同一条直线的两直线平行;
(3)相等的角是内错角;
(4)有一个角是60°
的三角形是等边三角形.
分别找出各命题的题设和结论将其互换即可.
(1)同旁内角互补,两直线平行.真命题;
(2)如果两条直线平行,那么这两条直线垂直于同一条直线(在同一平面内).真命题;
(3)内错角相等.假命题;
(4)等边三角形有一个角是60°
.真命题.
一个定理不一定有逆定理,只有当它的逆命题为真命题时,它才有逆定理.
三、板书设计
1.直角三角形的性质与判定
直角三角的两个锐角互余;
有两个角互余的三角形是直角三角形.
2.勾股定理及勾股定理的逆定理
直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方;
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.
本节课充分发挥了学生动手操作能力、分类讨论能力、交流能力和空间想象能力,让学生充分体验到了数学思考的魅力和知识创新的乐趣,突显教学过程中的师生互动,使学生真正成为主动学习者.
3.1 图形的平移
第1课时 平移的认识
1.理解并掌握平移的定义及性质;
(重点)
2.能够根据平移的性质进行简单的平移作图.
观察下列图片,你能发现图中描绘的运动的共同点吗?
平移的定义
下列各组图形可以通过平移互相得到的是( )
A.
B.
C.
D.
根据平移不改变图形的形状和大小,将题中所示的图案通过平移后可以得到的图案是C,故选C.
本题考查了图形的平移,图形的平移只改变图形的位置,而不改变图形的形状和大小.
平移的性质
【类型一】利用平移的性质进行计算
如图,将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1,若BC=3
,△ABC与△A1B1C1重叠部分面积为2,则BB1等于( )
A.1B.
C.
D.2
设B1C=2x,根据等腰直角三角形和平移的性质可知,重叠部分为等腰直角三角形,则B1C边上的高为x,∴
x×
2x=2,解得x=2(舍去负值),∴B1C=2
,∴BB1=BC-B1C=
.故选B.
本题考查了等腰直角三角形的性质和平移的性质.关键是判断重叠部分图形为等腰直角三角形,利用等腰直角三角形的性质和重叠部分面积列出方程,求重叠部分的长.
【类型二】平移性质的综合应用
如图,原来是重叠的两个直角三角形,将其中一个三角形沿着BC方向平移线段BE的距离,就得到此图形,下列结论正确的有( )
①AC∥DF;
②HE=5;
③CF=5;
④阴影部分面积为
A.1个B.2个C.3个D.4个
根据平移的性质得出对应点所连的线段平行且相等,对应角相等,对应线段平行且相等,阴影部分和三角形面积之间的关系,结合图形与所给的结论即可得出答案.①对应线段平行可得AC∥DF,正确;
②对应线段相等可得AB=DE=8,则HE=DE-DH=8-3=5,正确;
③平移的距离CF=BE=5,正确;
④S四边形HDFC=S梯形ABEH=
(AB+EH)·
BE=
(8+5)×
5=
,错误.故选C.
本题考查平移的基本性质:
①平移不改变图形的形状和大小;
②对应点所连的线段平行且相等,对应线段平行且相等,对应角相等.本题关键要找到平移的对应点.
简单的平移作图
将如图方格中的图形向右平移4格,再向上平移2格,在方格中画出平移后的图形.
按照题目要求:
向右平移4格,再向上平移2格,先作各个关键点的对应点,再连接即可.
作平移图形时,找关键点的对应点是关键的一步.平移作图的一般步骤为:
①确定平移的方向和距离,先确定一组对应点;
②确定图形中的关键点;
③利用第一组对应点和平移的性质确定图中所有关键点的对应点;
④按原图形顺序依次连接对应点,所得到的图形即为平移后的图形.
1.平移的定义
在平面内,将一个图形沿某个方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.
2.平移的性质
一个图形和它经过平移所得的图形中,对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且相等,对应线段平行(或在一条直线上)且相等,对应角相等.
3.简单的平移作图
教学过程中,强调学生自主探索和合作交流,学生经历将实际问题抽象成图形问题,培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力,使得学生能将所学知识灵活运用到生活中.
第2课时 一元一次不等式的应用
1.会在实际问题中寻找数量关系列一元一次不等式并求解;
2.能够列一元一次不等式解决实际问题.(重点,难点)
如果你要分别购买40元、80元、140元、160元的商品,应该去哪家商店更优惠?
探究点:
一元一次不等式的应用
【类型一】商品销售问题
某商品的进价是120元,标价为180元,但销量较小.为了促销,商场决定打折销售,为了保证利润率不低于20%,那么最多可以打几折出售此商品?
由题意可知,利润率为20%时,获得的利润为120×
20%=24元;
若打x折该商品获得的利润=该商品的标价×
-进价,即该商品获得的利润=180×
-120,列出不等式,解得x的值即可.
设可以打x折出售此商品,由题意得:
180×
-120≥120×
20%,
解得x≥8.
答:
最多可以打8折出售此商品.
商品销售问题的基本关系是:
售价-进价=利润.读懂题意列出不等式求解是解题关键.
【类型二】竞赛积分问题
某次知识竞赛共有25道题,答对一道得4分,答错或不答都扣2分.小明得分要超过80分,他至少要答对多少道题?
设小明答对x道题,则答错或不答的题目为(25-x)道,根据得分要超过80分,列出不等关系求解即可.
设小明答对x道题,则他答错或不答的题目为(25-x)道.根据他的得分要超过80分,得:
4x-2(25-x)>80,
解得x>21
因为x应是整数而且不能超过25,所以小明至少要答对22道题.
小明至少要答对22道题.
竞赛积分问题的基本关系是:
得分-扣分=最后得分.本题涉及到不等式的整数解,取整数解时要注意关键词如“至多”“至少”等.
【类型三】安全问题
采石场爆破时,点燃导火线后工人要在爆破前转移到400米外的安全区域.导火线燃烧速度是每秒1厘米,工人转移的速度是每秒5米,导火线至少要多少米?
根据时间列不等式,导火线燃烧时间>工人要在爆破前转移到400米外的安全区域时间.
设导火线的长度需要x米,1厘米/秒=0.01米/秒,由题意得
>
,解得x>0.8.
导火线至少要0.8米.
【类型四】分段计费问题
小明家每月水费都不少于15元,自来水公司的收费标准如下:
若每户每月用水不超过5立方米,则每立方米收费1.8元;
若每户每月用水超过5立方米,则超出部分每立方米收费2元,小明家每月用水量至少是多少?
当每月用水5立方米时,花费5×
1.8=9元,则可知小明家每月用水超过5立方米.设每月用水x立方米,则超出(x-5)立方米,根据题意超出部分每立方米收费2元,列一元一次不等式求解即可.
设小明家每月用水x立方米.
∵5×
1.8=9<15,
∴小明家每月用水超过5立方米.
则超出(x-5)立方米,按每立方米2元收费,
列出不等式为5×
1.8+(x-5)×
2≥15,
解不等式得x≥8.
小明家每月用水量至少是8立方米.
分段计费问题中的费用一般包括两个部分:
基本部分的费用和超出部分的费用.根据费用之间的关系建立不等式求解即可.
【类型五】调配问题
有10名菜农,每人可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩,已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元,乙种蔬菜每亩可收入0.8万元,要使总收入不低于15.6万元,则最多只能安排多少人种甲种蔬菜?
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.甲种蔬菜有3x亩,乙种蔬菜有2(10-x)亩.再列出不等式求解即可.
设安排x人种甲种蔬菜,则种乙种蔬菜为(10-x)人.
根据题意得0.5×
3x+0.8×
2(10-x)≥15.6,
解得x≤4.
最多只能安排4人种甲种蔬菜.
调配问题中,各项工作的人数之和等于总人数.
【类型六】方案决策问题
为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、B两种型号的设备,其中每台的价格、月处理污水量及年消耗费如下表.经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.
A型
B型
价格(万元/台)
12
10
处理污水量(吨/月)
240
200
年消耗费(万元/台)
1
(1)请你设计该企业有几种购买方案;
(2)若企业每月产生的污水量为2040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案.
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台,列出不等式求解即可,x的值取整数;
(2)如图表列出不等式求解,再根据x的值选出最佳方案.
(1)设购买污水处理设备A型x台,则B型为(10-x)台.
12x+10(10-x)≤105,解得x≤2.5,∵x取非负整数,∴x可取0,1,2,
有三种购买方案:
购A型0台,B型10台;
A型1台,B型9台;
A型2台,B型8台;
(2)240x+200(10-x)≥2040,解得x≥1,
∴x为1或2.
当x=1时,购买资金为12×
1+10×
9=102(万元);
当x=2时,购买资金为12×
2+10×
8=104(万元).
为了节约资金,应选购A型1台,B型9台.
此题将现实生活中的事件与数学思想联系起来,属于最优化问题,在确定最优方案时,应把几种情况进行比较.
应用一元一次不等式解决实际问题的步骤:
―→
本节课通过实例引入,激发学生的学习兴趣,让学生积极参与,讲练结合,引导学生找不等关系列不等式.在教学过程中,可通过类比列一元一次方程解决实际问题的方法来学习,让学生认识到列方程与列不等式的区别与联系.