|x|>a
（2）|ax＋b|≤c（c>0）和|ax＋b|≥c（c>0）型不等式的解法
①|ax＋b|≤c⇔______________；
②|ax＋b|≥c⇔______________.
（3）|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
5．基本不等式
（1）定理：
如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．
（2）定理（基本不等式）：
如果a，b>0，那么________，当且仅当________时，等号成立．也可以表述为：
两个________的算术平均________________它们的几何平均．
（3）利用基本不等式求最值
对两个正实数x，y，
①如果它们的和S是定值，则当且仅当________时，它们的积P取得最________值；
②如果它们的积P是定值，则当且仅当________时，它们的和S取得最________值．
6．三个正数的算术—几何平均不等式
（1）定理 如果a，b，c均为正数，那么________，当且仅当________时，等号成立．
即三个正数的算术平均____________它们的几何平均．
（2）基本不等式的推广
对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均__________它们的几何平均，即________，
当且仅当________________时，等号成立．
7．柯西不等式
（1）设a，b，c，d均为实数，则（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
（2）设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则（a＋a＋…＋a）（b＋b＋…＋b）≥（a1b1＋a2b2＋…＋anbn）2，当且仅当bi＝0（i＝1,2，…，n）或存在一个数k，使得ai＝kbi（i＝1,2，…，n）时，等号成立．
（3）柯西不等式的向量形式：
设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．
8．证明不等式的方法
（1）比较法
①求差比较法
知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明________即可，这种方法称为求差比较法．
②求商比较法
由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明________即可，这种方法称为求商比较法．
（2）分析法
从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的____________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式（已知条件、定理等）．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．
（3）综合法
从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．
（4）反证法的证明步骤
第一步：
作出与所证不等式________的假设；
第二步：
从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．
（5）放缩法
所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地________________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立．
（6）数学归纳法
设{Pn}是一个与自然数相关的命题集合，如果：
（1）证明起始命题P1（或P0）成立；
（2）在假设Pk成立的前提下，推出Pk＋1也成立，那么可以断定{Pn}对一切自然数成立．
[考点题型剖析]
题型一 含绝对值的不等式的解法
【典型例题】
例1-1解不等式|x＋1|＋|x－1|≥3.
思维启迪 本题不等式为|x－a|＋|x－b|≥c型不等式，解此类不等式有三种方法：
几何法、分区间（分类）讨论法和图象法．
规范解答
解 方法一 如图所示，设数轴上与－1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.
[4分]
∴－1－x＋1－x＝3，得x＝－.
同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，∴x－1＋x－（－1）＝3.∴x＝.
从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右边的任何点到A，B的距离之和都大于3.[8分]
所以原不等式的解集是∪.[10分]
方法二 当x≤－1时，原不等式可化为
－（x＋1）－（x－1）≥3，解得：
x≤－.[3分]
当－1x＋1－（x－1）≥3，即2≥3.不成立，无解．[6分]
当x≥1时，原不等式可以化为
x＋1＋x－1≥3.所以x≥.[9分]
综上，可知原不等式的解集为.[10分]
方法三 将原不等式转化为|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
构造函数y＝|x＋1|＋|x－1|－3，
即y＝[3分]
作出函数的图象，如图所示：
函数的零点是－，.
从图象可知，当x≤－或x≥时，y≥0，[8分]
即|x＋1|＋|x－1|－3≥0.
所以原不等式的解集为∪.[10分]
温馨提醒 这三种方法是解|x＋a|＋|x＋b|≥c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.
例1-2（2012·课标全国）已知函数f（x）＝|x＋a|＋|x－2|.
（1）当a＝－3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x－4|的解集包含[1,2]，求a的取值范围．
解
（1）当a＝－3时，f（x）＝
当x≤2时，由f（x）≥3得－2x＋5≥3，解得x≤1；
当2当x≥3时，由f（x）≥3得2x－5≥3，解得x≥4.
所以f（x）≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}．
（2）f（x）≤|x－4|⇔|x－4|－|x－2|≥|x＋a|.
当x∈[1,2]时，|x－4|－|x－2|≥|x＋a|
⇔4－x－（2－x）≥|x＋a|⇔－2－a≤x≤2－a.
由条件得－2－a≤1且2－a≥2，即－3≤a≤0.
故满足条件的a的取值范围为[－3,0]．
思维升华 解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
例1-3 （2013·课标全国Ⅰ）已知函数f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|，g（x）＝x＋3.
（1）当a＝－2时，求不等式f（x）（2）设a>－1，且当x∈时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．
审题破题
（1）可以通过分段讨论去绝对值；
（2）在x∈时去绝对值，利用函数最值求a的范围．
解
（1）当a＝－2时，不等式f（x）设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，
则y＝
其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x∈（0,2）时，y<0，所以原不等式的解集是
{x|0（2）∵a>－1，则－<，
∴f（x）＝|2x－1|＋|2x＋a|
当x∈时，f（x）＝a＋1，
即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．
∴a＋1≤－＋3，即a≤，
∴a的取值范围为.
【变式训练】
1．（2013·重庆）若关于实数x的不等式|x－5|＋|x＋3|答案 （－∞，8]
解析 ∵|x－5|＋|x＋3|＝|5－x|＋|x＋3|
≥|5－x＋x＋3|＝8，
∴（|x－5|＋|x＋3|）min＝8，
要使|x－5|＋|x＋3|2．（2013·江西）在实数范围内，不等式||x－2|－1|≤1的解集为________．
答案 [0,4]
解析 由||x－2|－1|≤1得－1≤|x－2|－1≤1，
解得0≤x≤4.
∴不等式的解集为[0,4]．
3．（2012·山东）若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________.
答案 2
解析 ∵|kx－4|≤2，∴－2≤kx－4≤2，∴2≤kx≤6.
∵不等式的解集为{x|1≤x≤3}，∴k＝2.
4[2014·江西卷]x，y∈R，若|x|＋|y|＋|x－1|＋|y－1|≤2，则x＋y的取值范围为________．
答案 [0，2]
5.不等式≥1的实数解为__________．
答案 .
解析 ∵≥1，∴|x＋1|≥|x＋2|.
∴x2＋2x＋1≥x2＋4x＋4，∴2x＋3≤0.
∴x≤－且x≠－2.
6.已知函数f（x）＝|x＋1|＋|x－2|－m.
（1）当m＝5时，求f（x）>0的解集；
（2）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R，求m的取值范围．
解
（1）由题设知|x＋1|＋|x－2|>5，
不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：
或或
解得函数f（x）的定
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