高考文科数学复习选修不等式选讲解析版.doc

1、选修45不等式选讲考纲要求(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：|ax+b|a|+|b|.|a-b|a-c|+|c-b|.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax+b|c;|ax+b|c;|x-a|+|x-b|c.(2)了解下列柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明。柯西不等式的向量形式： 0 0 0(此不等式通常称为平面三角不等式。)(3)会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形： 0(4)会用向量递归方法讨论排序不等式。(5)了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题。(6)会用数学归纳法证明贝努利不等式

2、0(x-1，x0，n为大于1的正整数)，了解当n为大于1的实数时贝努利不等式也成立。(7)会用上述不等式证明一些简单问题，能够利用平均值不等式,柯西不等式求一些特定函数的极值。(8)了解证明不等式的基本方法：比较法,综合法,分析法,反证法,放缩法。知识点梳理1两个实数大小关系的基本事实ab_；ab_；ab，那么_；如果_，那么ab.即ab_.(2)传递性：如果ab，bc，那么_(3)可加性：如果ab，那么_(4)可乘性：如果ab，c0，那么_；如果ab，cb0，那么an_bn(nN，n1)(6)开方：如果ab0，那么_(nN，n1)3绝对值三角不等式(1)性质1：|ab|_.(2)性质2：|a

3、|b|_.性质3：_|ab|_.4绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|c_；|axb|c_.(3)|xa|xb|c和|xa|xb|c型不等式的解法利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想5基本不等式(1)定理：如果a，bR，那么a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立(2)定理(基本不等式)：如果a，b0，那么_，当且仅当_时，等号成立也可以表述为：两个_的算术

4、平均_它们的几何平均(3)利用基本不等式求最值对两个正实数x，y，如果它们的和S是定值，则当且仅当_时，它们的积P取得最_值；如果它们的积P是定值，则当且仅当_时，它们的和S取得最_值6三个正数的算术几何平均不等式(1)定理如果a，b，c均为正数，那么_，当且仅当_时，等号成立即三个正数的算术平均_它们的几何平均(2)基本不等式的推广对于n个正数a1，a2，an，它们的算术平均_它们的几何平均，即_，当且仅当_时，等号成立7柯西不等式(1)设a，b，c，d均为实数，则(a2b2)(c2d2)(acbd)2，当且仅当adbc时等号成立(2)设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，

5、则(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1,2，n)时，等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设，是两个向量，则|，当且仅当是零向量，或存在实数k，使k时，等号成立8证明不等式的方法(1)比较法求差比较法知道abab0，ababb，只要证明_即可，这种方法称为求差比较法求商比较法由ab01且a0，b0，因此当a0，b0时要证明ab，只要证明_即可，这种方法称为求商比较法(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的_，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明

6、方法(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式_的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地_，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得到欲证不等式成立(6)数学归纳法设Pn是一个与自然数相关的命题集合，如果：(1)证明起始命题P1(或P0)成立；(2)在假设Pk成立的前提下，推出Pk1也成立，那么可以断定Pn对一切

7、自然数成立考点题型剖析题型一含绝对值的不等式的解法【典型例题】例1-1解不等式|x1|x1|3.思维启迪本题不等式为|xa|xb|c型不等式，解此类不等式有三种方法：几何法、分区间(分类)讨论法和图象法规范解答解方法一如图所示，设数轴上与1,1对应的点分别为A，B，那么A，B两点的距离和为2，因此区间1,1上的数都不是不等式的解设在A点左侧有一点A1，到A，B两点的距离和为3，A1对应数轴上的x.4分1x1x3，得x.同理设B点右侧有一点B1到A，B两点距离之和为3，B1对应数轴上的x，x1x(1)3.x.从数轴上可看到，点A1，B1之间的点到A，B的距离之和都大于3；点A1的左边或点B1的右

8、边的任何点到A，B的距离之和都大于3.8分所以原不等式的解集是.10分方法二当x1时，原不等式可化为(x1)(x1)3，解得：x.3分当1x1时，原不等式可以化为x1(x1)3，即23.不成立，无解6分当x1时，原不等式可以化为x1x13.所以x.9分综上，可知原不等式的解集为.10分方法三将原不等式转化为|x1|x1|30.构造函数y|x1|x1|3，即y3分作出函数的图象，如图所示：函数的零点是，.从图象可知，当x或x时，y0，8分即|x1|x1|30.所以原不等式的解集为.10分温馨提醒这三种方法是解|xa|xb|c型不等式常用的方法，方法一中关键是找到特殊点，方法二中的分类讨论要遵循“

9、不重不漏”的原则，方法三则要准确画出函数图象，并准确找出零点.例1-2(2012课标全国)已知函数f(x)|xa|x2|.(1)当a3时，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范围解(1)当a3时，f(x)当x2时，由f(x)3得2x53，解得x1；当2x3时，f(x)3无解；当x3时，由f(x)3得2x53，解得x4.所以f(x)3的解集为x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.当x1,2时，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由条件得2a1且2a2，即3a0.故满足条件的a的取值范围为3,0思维升华解绝对值不等式的基本

10、方法：(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(2)当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解例1-3(2013课标全国)已知函数f(x)|2x1|2xa|，g(x)x3.(1)当a2时，求不等式f(x)1，且当x时，f(x)g(x)，求a的取值范围审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)在x时去绝对值，利用函数最值求a的范围解(1)当a2时，不等式f(x)g(x)化为|2x1|2x2|x30.设函数y|2x1|2x2|x3，则y其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0，所以原不等式的解集是x|0x1，则，f(x)|2x1|2xa|当x时，f(x)a1，即a1x3在x上恒成立a13，即a，a的取值范围为.【变式训练】1 (2013重庆)若关于实数x的不等式|x5|x3|a无解，则实数a的取值范围是_答案(，8解析|x5|x3|5x|x3|5xx3|8，(|x5|x3|)min8，要使|x5|x3|0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)2的解集是R，求m的取值范围解(1)由题设知|x1|x2|5，不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：或或解得函数f(x)的定