高中数学第三章统计案例31感悟非线性回归问题素材北师大版2-3!.doc

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3.1感悟非线性回归问题

两个变量不呈线性关系，不能直接利用线性回归方程建立两个变量的关系，可以通过变换的方法转化为线性回归模型。

一般地，建立回归模型的基本步骤为：

1．确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个变量是预报变量；

2．画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（如是否存在线性关系等）；

3．由经验确定回归方程的类型（如观察到的数据呈线性关系，则选用线性回归方程）；

4．按一定规则估计回归方程中的参数（如最小二乘法）；

5．得出结果后分析残差图是否有异常（个别数据对应残差过大，或残差呈现不随机的规律性等等），若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等。

例1在彩色显影中，由经验可知：

形成染料光学密度与析出银的光学密度由公式表示，现测得试验数据如下：

0．05

0．06

0．25

0．31

0．07

0．10

0．38

0．43

0．14

0．20

0．47

0．10

0．14

1．00

1．12

0．23

0．37

1．19

1．25

0．59

0．79

1．29

试求对的回归方程。

分析：

该例是一个非线性回归分析问题，由于题目中已给定了要求的曲线为类型，我们只要通过所给的11对样本数据，求出和即可确定与的相关关系的曲线方程。

解析：

由题意可知，对于给定的公式两边取自然对数，得。

与线性回归方程对照可以看出，只要取，，就有，这是的线性回归直线方程，对此我们再套用相关性检验，求回归系数和。

题目中所给数据由变量置换，变为如下所示的数据：

20．000

16．667

4．000

3．226

14．286

10．000

-2．303

-1．966

0．000

0．113

-1．470

-0．994

2.632

2.326

7.143

5.000

2.128

0.174

0.223

-0.528

-0.236

0.255

可以求得。

由于，可知与具有很强的线性相关关系。

再求得，

∴，把和置换回来可得，

∴，

∴回归曲线方程为。

评注：

解决本题的思路是通过适当的变量置换把非线性回归方程转化为线性回归方程，然后再套用线性回归分析的解题步骤。

例2某种书每册的成本费（元）与印刷册数（千册）有关，经统计得到数据如下：

1

2

3

5

10

20

30

50

100

200

10.15

5.52

4.08

2.85

2.11

1.62

1.41

1.30

1.21

1.15

检验每册书的成本费与与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系，如有，求出对的回归方程。

分析：

非线性回归问题有时并不给出经验公式，此时我们可以由已知的数据画出散点图，并把散点图与已经学过的各种函数（如幂函数、指数函数、对数函数、二次函数等）作比较，挑选出跟这些散点拟合最好的函数，然后再采用变量置换，把问题转化为线性回归分析问题。

解析：

把置换为，则有，从而与的数据为

1

0.5

0.333

0.2

0.1

0.05

0.033

0.02

0.01

0.005

10.15

5.52

4.08

2.85

2.11

1.62

1.41

1.30

1.21

1.15

可以求得。

∴，∴对具有很强的线性相关关系。

∴。

∴所求的与的回归方程为。

又，∴。

评注：

在没有回归曲线模型的问题中，应注意利用散点图合理拟合相应的样本点的类型，并与有关的已知函数图象相比较，寻找最佳的拟合效果。

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