八年级数学勾股定理教材分析Word文档格式.docx
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隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾)的长是3,长的直
角边(股)的长是4,那幺斜边(弦)的长是5。
再画一个两直角边为5和12的直角△ABC,用刻度尺量AB的长。
你是否发现32+42与52的关系,52+122和132的关系,即
32+42=52,52+122=132,那幺就有勾2+股2=弦2。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗?
五、例习题分析
例1(补充)已知:
在△ABC中,∠C=90°
,∠A、∠B、∠C的对边
为a、b、c。
求证:
a2+b2=c2。
分析:
⑴让学生准备多个三角形模型,最好是有颜色的吹塑纸,让学生拼
摆不同的形状,利用面积相等进行证明。
⑵拼成如图所示,其等量关系为:
4S△+S小正=S大正
4×
ab+(b-a)2=c2,化简可证。
⑶发挥学生的想象能力拼出不同的图形,进行证明。
⑷勾股定理的证明方法,达300余种。
这个古老的精彩的证法,出自我国
古代无名数学家之手。
例2已知:
,∠A、∠B、∠C的对边为a、b、
c。
左右两边的正方形边长相等,则两个正方形的面积相等。
左边S=4×
ab+c2
右边S=(a+b)2
左边和右边面积相等,即
ab+c2=(a+b)2
化简可证。
六、课堂练习
1.勾股定理的具体内容
是:
。
2.如图,直角△ABC的主要性质是:
∠C=90°
,(用几何语言表示)
⑴两锐角之间的关系:
;
⑵若D为斜边中点,则斜边中线;
⑶若∠B=30°
,则∠B的对边和斜边:
⑷三边之间的关系:
3.△ABC的三边
a、b、c,若满足b2=a2+c2,则=90°
;
若满足b2>c2+a2,则∠
B是角;
若满足b2<c2+a2,则∠B是角。
4.根据如图所示,利用面积法证明勾股定理。
七、课后练习
1.已知在Rt△ABC中,∠B=90°
,a、b、c是△ABC的三边,则
⑴c=。
(已知a、b,求c)
⑵a=。
(已知b、c,求a)
⑶b=。
(已知a、c,求b)
2.如下表,表中所给的每行的三个数a、b、c,有a<b<c,试根据表
中已有数的规律,写出当a=19时,b,c的值,并把b、c用含a的代数式表
示出来。
3、4、532+42=52
5、12、1352+122=1327、24、2572+242=2529、40、
4192+402=412............19,b、c192+b2=c2 3.在△ABC中,∠BAC=120°
,
AB=AC=cm,一动点P从B向C以每秒2cm的速度移动,问当P点移动多
少秒时,PA与腰垂直。
4.已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,D在CB的延长线上。
求证:
⑴AD2-AB2=BD・CD
⑵若D在CB上,结论如何,试证明你的结论。
八、参考答案
课堂练习
1.略;
2.⑴∠A+∠B=90°
⑵CD=AB;
⑶AC=AB;
⑷AC2+BC2=AB2。
3.∠B,钝角,锐角;
4.提示:
因为S梯形ABCD=S△ABE+S△BCE+S△EDA,又因为S
梯形ACDG=(a+b)2,
S△BCE=S△EDA=ab,S△ABE=c2,(a+b)2=2×
ab+c2。
课后练习
1.⑴c=;
⑵a=;
⑶b=
2.;
则b=,c=;
当a=19时,b=180,c=181。
3.5秒或10秒。
过A作AE⊥BC于E。
18.1勾股定理
(二)
1.会用勾股定理进行简单的计算。
2.树立数形结合的思想、分类讨论思想。
1.重点:
勾股定理的简单计算。
2.难点:
勾股定理的灵活运用。
3.难点的突破方法:
⑴数形结合,让学生每做一道题都画图形,并写出应用公式的过程或公
式的推倒过程,在做题过程中熟记公式,灵活运用。
⑵分类讨论,让学生画好图后标图,从不同角度考虑条件和图形,考虑
问题要全面,在讨论的过程中提高学生的灵活应用能力
⑶作辅助线,勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此要注意直角
三角形的条件,要创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线
做法,在做辅助线的过程中,提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练,在不条件、不同环境中反复运用定理,使学生达到熟练使
用,灵活运用的程度。
例1(补充)使学生熟悉定理的使用,刚开始使用定理,让学生画好
图形,并标好图形,理清边之间的关系。
让学生明确在直角三角形中,已知
任意两边都可以求出第三边。
并学会利用不同的条件转化为已知两边求第三
边。
例2(补充)让学生注意所给条件的不确定性,知道考虑问题要全
面,体会分类讨论思想。
例3(补充)勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要创
造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法。
让学生把前面
学过的知识和新知识综合运用,提高综合能力。
复习勾股定理的文字叙述;
勾股定理的符号语言及变形。
学习勾股定
理重在应用。
例1(补充)在Rt△ABC,∠C=90°
⑴已知a=b=5,求c。
⑵已知a=1,c=2,求b。
⑶已知c=17,b=8,求a。
⑷已知a:
b=1:
2,c=5,求a。
⑸已知b=15,∠A=30°
,求a,c。
分析:
刚开始使用定理,让学生画好图形,并标好图形,理清边之间
的关系。
⑴已知两直角边,求斜边直接用勾股定理。
⑵⑶已知斜边和一直角
边,求另一直角边,用勾股定理的便形式。
⑷⑸已知一边和两边比,求未知
通过前三题让学生明确在直角三角形中,已知任意两边都可以求出第三
后两题让学生明确已知一边和两边关系,也可以求出未知边,学会见比
设参的数学方法,体会由角转化为边的关系的转化思想。
例2(补充)已知直角三角形的两边长分别为5和12,求第三边。
已知两边中较大边12可能是直角边,也可能是斜边,因此应分两种
情况分别进形计算。
让学生知道考虑问题要全面,体会分类讨论思想。
例3(补充)已知:
如图,等边△ABC的边长是6cm。
⑴求等边△ABC的高。
⑵求S△ABC。
勾股定理的使用范围是在直角三角形中,因此注意要
创造直角三角形,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做
法。
欲求高CD,可将其置身于Rt△ADC或Rt△BDC中,
但只有一边已知,根据等腰三角形三线合一性质,可求
AD=CD=AB=3cm,则此题可解。
1.填空题
⑴在Rt△ABC,∠C=90°
,a=8,b=15,则c=。
⑵在Rt△ABC,∠B=90°
,a=3,b=4,则c=。
⑶在Rt△ABC,∠C=90°
,c=10,a:
b=3:
4,则a=,
b=。
⑷一个直角三角形的三边为三个连续偶数,则它的三边长分别
为。
⑸已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm,,则第三边长
⑹已知等边三角形的边长为2cm,则它的高为,面积
2.已知:
如图,在△ABC中,∠C=60°
,AB=,AC=4,AD是BC边上
的高,求BC的长。
3.已知等腰三角形腰长是10,底边长是16,求这个等腰三角形的面
积。
在Rt△ABC,∠C=90°
⑴如果a=7,c=25,则b=。
⑵如果∠A=30°
,a=4,则b=。
⑶如果∠A=45°
,a=3,则c=。
⑷如果c=10,a-b=2,则b=。
⑸如果a、b、c是连续整数,则a+b+c=。
⑹如果b=8,a:
c=3:
5,则c=。
如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD⊥DC,
AB⊥AC,∠B=60°
,CD=1cm,求BC的长。
课堂练习
1.17;
6,8;
6,8,10;
4或;
,;
2.8;
3.48。
1.24;
4;
3;
6;
12;
10;
2.
18.1勾股定理(三)
1.会用勾股定理解决简单的实际问题。
2.树立数形结合的思想。
勾股定理的应用。
实际问题向数学问题的转化。
数形结合,从实际问题中抽象出几何图形,让学生画好图后标图;
在
实际问题向数学问题的转化过程中,注意勾股定理的使用条件,教师要向学
生交代清楚,解释明白;
优化训练,在不条件、不同环境中反复运用定理,
使学生达到熟练使用,灵活运用的程度;
让学生深入探讨,积极参与到课堂
中,发挥学生的积极性和主动性。
例1(教材P74页探究1)明确如何将实际问题转化为数学问题,注意
条件的转化;
学会如何利用数学知识、思想、方法解决实际问题。
例2(教材P75页探究2)使学生进一步熟练使用勾股定理,探究直角
三角形三边的关系:
保证一边不变,其它两边的变化。
勾股定理在实际的生产生活当中有着广泛的应用。
勾股定理的发现和
使用解决了许多生活中的问题,今天我们就来运用勾股定理解决一些问题,
你可以吗?
试一试。
例1(教材P74页探究1)
⑴在实际问题向数学问题的转化过程中,注意勾股定理的使用条
件,即门框为长方形,四个角都是直角。
⑵让学生深入探讨图中有几个直角
三角形?
图中标字母的线段哪条最长?
⑶指出薄木板在数学问题中忽略厚
度,只记长度,探讨以何种方式通过?
⑷转化为勾股定理的计算,采用多种
方法。
⑸注意给学生小结深化数学建模思想,激发数学兴趣。
例2(教材P75页探究2)
⑴在△AOB中,已知AB=3,AO=2.5,利用勾股定理计算OB。
⑵在△COD中,已知CD=3,CO=2,利用勾股定理计算OD。
则BD=OD-OB,通过计算可知BD≠AC。
⑶进一步让学生探究AC和BD的关系,给AC不同的值,计算
BD。
1.小明和爸爸妈妈十一登香山,他们沿着45度的坡路走了500米,看
到了一棵红叶树,这棵红叶树的离地面的高度是米。
2.如图,山坡上两株树木之间的坡面距离是4米,则这两株树之间的垂
直距离是
米,水平距离是米。
2题图3题图
4题图
3.如图,一根12米高的电线杆两侧各用15米的铁丝固定,两个固定点
之间的距离是。
4.如图,原计划从A地经C地到B地修建一条高速公路,后因技术攻
关,可以打隧道由A地到B地直接修建,已知高速公路一公里造价为300万
元,隧道总长为2公里,隧道造价为500万元,AC=80公里,BC=60公里,
则改建后可省工程费用是多少?
1.如图,欲测量松花江的宽度,沿江岸取B、C两点,在江对岸取一点
A,使AC垂直江岸,测得BC=50米,
∠B=60°
,则江面的宽度为。
2.有一个边长为1米正方形的洞口,想用一个圆形盖去盖住这个洞口,
则圆形盖半径至少为米。
3.一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P、Q两点,PQ=16
厘米,且RP⊥PQ,则RQ=厘米。
4.如图,钢索斜拉大桥为等腰三角形,支柱高24米,∠B=∠C=30°
E、F分别为BD、CD中点,试求B、C两点之间的距离,钢索AB和AE的
长度。
(精确到1米)
八、参考答案:
课堂练习:
1.;
2.6,;
3.18米;
4.11600;
1.米;
2.;
3.20;
4.83米,48米,32
米;
18.1勾股定理(四)
1.会用勾股定理解决较综合的问题。
勾股定理的综合应用。
⑴数形结合,正确标图,将条件反应到图形中,充分利用图形的功能
和性质。
⑵分类讨论,从不同角度考虑条件和图形,考虑问题要全面,在讨论
的过程中提高学生的灵活应用能力。
⑶作辅助线,作高是常用的创造直角三角形的辅助线做法,在做辅助
线的过程中,提高学生的综合应用能力。
⑷优化训练,在不条件、不同环境中反复运用定理,使学生达到熟练
使用,灵活运用的程度。
例1(补充)”双垂图”是中考重要的考点,熟练掌握”双垂图”的图形结
构和图形性质,通过讨论、计算等使学生能够灵活应用。
目前”双垂图”需要
掌握的知识点有:
3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-
AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°
或45°
特殊角的特殊性质等。
例2(补充)让学生注意所求结论的开放性,根据已知条件,作适当
辅助线求出三角形中的边和角。
让学生掌握解一般三角形的问题常常通过作
高转化为直角三角形的问题。
使学生清楚作辅助线不能破坏已知角。
例3(补充)让学生掌握不规则图形的面积,可转化为特殊图形求
解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形
面积之差。
在转化的过程中注意条件的合理运用。
让学生把前面学过的知识
和新知识综合运用,提高解题的综合能力。
例4(教材P76页探究3)让学生利用尺规作图和勾股定理画出数轴上
的无理数点,进一步体会数轴上的点与实数一一对应的理论。
复习勾股定理的内容。
本节课探究勾股定理的综合应用。
例1(补充)1.已知:
在Rt△ABC中,∠C=90°
,CD⊥BC于D,∠
A=60°
,CD=,
求线段AB的长。
本题是”双垂图”的计算题,”双垂图”是中考重要的考点,所以要求
学生对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。
目前”双垂图”需要掌握的
知识点有:
3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,
两对相等锐角,四对互余角,及30°
要求学生能够自己画图,并正确标图。
引导学生分析:
欲求AB,可由
AB=BD+CD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD=3和
AD=1。
或欲求AB,可由,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求
出AC=2和BC=6。
例2(补充)已知:
如图,△ABC中,AC=4,∠B=45°
,∠A=60°
,根
据题设可知什幺?
由于本题中的△ABC不是直角三角形,所以根据题设只能直接求得
∠ACB=75°
。
在学生充分思考和讨论后,发现添置AB边上的高这条辅助
线,就可以求得AD,CD,BD,AB,BC及S△ABC。
让学生充分讨论还可
以作其它辅助线吗?
为什幺?
小结:
可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问
题。
并指出如何作辅助线?
解略。
例3(补充)已知:
如图,∠B=∠
D=90°
,AB=4,CD=2。
求:
四边形ABCD的面积。
如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、
DC交于F,或延长AD、BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步
根据本题给定的边选第三种较为简单。
教学中要逐层展示给学生,让学生深
入体会。
解:
延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°
,∠B=90°
,∴∠E=30°
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE==。
∵DE2=CE2-CD2=42-22=12,∴DE==。
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=AB・BE-CD・DE=
不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形
转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。
例4(教材P76页探究3)
利用尺规作图和勾股定理画出数轴上的无理数点,进一步体会数轴
上的点与实数一一对应的理论。
变式训练:
在数轴上画出表示的点。
1.△ABC中,AB=AC=25cm,高AD=20cm,则BC=,
S△ABC=。
2.△ABC中,若∠A=2∠B=3∠C,AC=cm,则∠A=度,∠
B=度,∠C=度,BC=,S△ABC=。
3.△ABC中,∠C=90°
,AB=4,BC=,CD⊥AB于D,则
AC=,CD=,BD=,
AD=,S△ABC=。
如图,△ABC中,AB=26,BC=25,AC=17,
求S△ABC。
1.在Rt△ABC中,∠C=90°
,CD⊥BC于D,∠A=60°
AB=。
2.在Rt△ABC中,∠C=90°
,S△ABC=30,c=13,且a<b,则
a=,b=。
3.已知:
如图,在△ABC中,∠B=30°
,∠C=45°
,AC=,
求
(1)AB的长;
(2)S△ABC。
4.在数轴上画出表示-的点。
1.30cm,300cm2;
2.90,60,30,4,;
3.2,,3,1,;
4.作BD⊥AC于D,设AD=x,则CD=17-x,252-x2=262-(17-x)2,
x=7,BD=24,
S△ABC=AC・BD=254;
课后练习:
1.4;
2.5,12;
3.提示:
作AD⊥BC于D,AD=CD=2,AB=4,BD=,BC=2+,
S△ABC==2+;
4.略。
18.2勾股定理的逆定理
(一)
1.体会勾股定理的逆定理得出过程,掌握勾股定理的逆定理。
2.探究勾股定理的逆定理的证明方法。
3.理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
掌握勾股定理的逆定理及证明。
勾股定理的逆定理的证明。
先让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察能否重合,激发学
生的兴趣和求知欲,再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手
操作能力,由实践到理论学生更容易接受。
为学生搭好台阶,扫清障碍。
⑴如何判断一个三角形是直角三角形,现在只知道若有一个角是直角
的三角形是直角三角形,从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑵利用已知条件作一个直角三角形,再证明和原三角形全等,使问题
得以解决。
⑶先做直角,再截取两直角边相等,利用勾股定理计算斜边
A1B1=c,则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
例1(补充)使学生了解命题,逆命题,逆定理的概念,及它们之间
例2(P82探究)通过让学生动手操作,画好图形后剪下放到一起观察
能否重合,激发学生的兴趣和求知欲,锻炼学生的动手操作能力,再通过探
究理论证明方法,使实践上升到理论,提高学生的理性思维。
例3(补充)使学生明确运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否
是直角三角形的一般步骤:
①先判断那条边最大。
②分别用代数方法计算出
a2+b2和c2的值。
③判断a2+b2和c2是否相等,若相等,则是直角三角
形;
若不相等,则不是直角三角形。
创设情境:
⑴怎样判定一个三角形是等腰三角形?
⑵怎样判定一个三角形是直角三角形?
和等腰三角形的判定进行对比,
从勾股定理的逆命题进行猜想。
例1(补充)说出下列命题的逆命题,这些命题的逆命题成立吗?
⑴同旁内角互补,两条直线平行。
⑵如果两个实数的平方相等,那幺两个实数平方相等。