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1.3研究意义5
第二章文献综述6
2.1关于排列组合问题模型6
2.1.1选取模型6
2.1.2分配模型6
2.2课程中的排列组合知识及其要求6
2.2.1课程标准及考纲要求6
2.2.2教材要求7
2.3关于排列组合常见错误类型及其成因8
2.4关于排列组合教学9
第三章研究的设计和实施10
3.1研究对象10
3.2测试题的设计10
3.2.1按排列组合模型设计10
3.2.2测试题设计11
详细见附录12
第四章研究结论和建议13
4.1主要结论13
4.2教学建议14
第一章引言
1.1研究背景
我国《普通高中数学课程标准》中指出：
“计数问题是数学中的重要研究对象之一，分类加法计数原理、分步乘法计数原理是解决计数问题的最基本、最重要的方法，也称为基本计数原理，它们为解决很多实际问题提供了思想和工具”。
“计数原理”的教学要求是“通过实例，总结出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；
能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题”。
它要求教师“引导学生根据计数原理分析、处理问题，而不应机械地套用公式。
同时，在这部分教学中，应避免繁琐的、技巧性过高的计数问题。
”。
《上海市中小学数学课程标准》指出“计数问题，与中学所讨论的其他数学问题有不同的特点，要重视对具体问题的分析，重视数学思维品质的培养”。
“排列组合”的教学要求是“通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单”，“排列、组合问题中的限制条件不超过两个；
不讨论重复排列问题。
解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。
会利用计算器求排列数和组合数”。
以上是全国课程标准与上海课程标准对排列组合的课程教学要求，总的来说，既承认这部分内容对提高学生思维品质有帮助，又强调要严格控制课程难度。
“排列组合”是高中教材中相对独立的一个章节，很多学生（包括教师）觉得它和其他章节联系不大，在高考中所占分值很少，对其不重视。
其实，当今排列组合的应用已经超越了历史上的自然数计数范畴，与计算机算法结合，在计算机科学、编码和密码学等学科有着广泛的应用。
无论是从历史文化角度看，还是从对培养人们逻辑思维的影响看，它都有着重要的教育价值。
上海高三年级的《数学》教材中有介绍排列组合的历史，中国周代初期（公元前1035—公元前879）的《周易》中有“四象”和“八卦”，宋代科学家沈括在《梦溪笔谈》中讨论了围棋可能摆出的棋局数是“以一为基，三百六十一次三乘之”，意思是“用3连乘361次”，即3613（围棋每格可有白子、黑子或空格三种可能，棋盘共有361个位置），而他也提到计算数值太大，无法表达。
当今社会，排列组合也有其重要的应用。
在生产调度中，排列组合可用于计算各种可能的调度方案的数目；
在科学实验中，可用于计算各种配置方式的数目；
在交通问题中，可用于计算可能路径的数目。
而组合数学更是涉及计算机科学、生物学、化学、心理学以及基因工程等前沿学科中的最新应用，例如在基因工程中，每组基因密码都是从四个碱基：
腺嘌呤（A），乌漂呤（G）,胞嘧啶（C）和胸腺嘧啶（T）中可重复选取三个进行排列而成，而人类疾病的发生往往就是某些碱基的组合而形成的，所以碱基的组合研究在基因工程研究中是不能缺少的。
当今高中数学课程中的排列组合看似独立，其实，它涉及集合、函数、方程、数列、几何等多个领域，例如在数列中，对原数列每一项进行不同组合都会产生一个新的数列，产生新的性质；
在立体几何中，可以用排列组合方法来统计某些立体图形内的顶点数、边数、面数、异面直线对数、正交线面对数等等，比直接数数要便利，尤其是在很难画清图形的情况下；
排列组合也为概率统计学习如二项分布、古典概率计算等提供了必要的基础。
所以，排列组合的学习不应当是孤立的，在培养数学优秀生时应当重视其在思维训练中的重要价值。
排列组合问题内容抽象、类型繁多、解法灵活，所以历来是教师教学中比较困难的部分，也是广大学生极易犯错，却很难纠正的一个学习主题。
总结一下，最常被提到的有以下几个难点：
（1）从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；
（2）限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词（特别是逻辑关联词和量词）准确理解；
（3）计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；
（4）计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力，采用缩小数据和一题多解等方法加以检验。
基于此，在学完基本的原理与公式后，更需要学生自我探究与感悟，达到真正的理解。
同时，教师也要倾听学生的想法，以便及时了解和帮助学生学习。
由此看来，排列组合无论是其历史渊源、当今社会地位及高中数学教育中的作用都是不容小觑的，但教师难教、学生易错也确实是我们面临的难题，对排列组合学习中学生的错误及成因研究是很有必要的。
1.2研究问题
鉴于排列组合在高中数学及现实世界中的重要性，以及师生在这一章节的教与学均存在一定困难，所以我决定以高三学生对排列组合的认知错误为研究主题。
具体来说，主要采取问卷测试和访谈的方法，深入了解学生在解排列组合题时的常见错误及主要原因。
我主要关注以下两个方面：
1.高中学生在学习排列组合时有哪些常见错误？
2.导致高中生发生错误的主要原因有哪些？
1.3研究意义
解排列组合综合题常常需要学生具备良好的语言理解能力、扎实的数学知识功底、过硬的计算能力等，因为计数结果庞大，学生往往无法检查答案的正确性，思考时也容易出现错误，降低了学生做题的兴趣。
这不仅让很多学生惧怕排列组合题，也给教师的教学带来了很多阻碍。
排列组合问题对学生分析问题、解决问题能力有较高要求，同一个答案可以有多种思考途径到达，除了结论的对错外，很难有其他严格证明的方式去验证。
教师自己解答题目不一定有困难，但是要发现学生思考中的问题却是一个不小的挑战。
因此，对排列组合的教和学生的学进行深入研究并提出改进建议是很有必要的。
虽然中外文献中涉及排列组合知识和教学的为数不少，很多期刊论文也分析了学生常见的错误，但是国内文章很少是基于实证研究的。
本文希望能结合文献研究与对学生的测试调查来找出学生在求解排列组合问题中的常见错误表现，确认、修改和补充已有文献关于学生在排列组合学习中的主要困难，让我们更加了解学生的“数学现实”。
这是我想要了解的第一方面。
通过测试和访谈的方式了解学生的真实想法是什么？
到底是什么原因让学生出现这些错误？
学生希望教师做何教学改进？
这是我想要了解的第二方面。
最后，在上述研究的基础上，我将对本主题的教学提出具体的有针对性的建议，以促进教师改进教学。
第二章文献综述
本章主要从四个方面着手，第一个方面是“关于排列组合问题模型”；
第二个方面是“课程中的排列组合知识及其要求”；
第三个方面是“常见的错误类型及其成因”；
最后一个方面是“关于排列组合教学”。
2.1关于排列组合问题模型
由于排列组合问题常常是文字描述相近但却可能分属于完全不同的类型，因此教学中一般都采用分类讲模型的办法，所以，应该对文献中的问题归类作一个梳理。
指导求解排列组合问题的文章较多。
常见的排列组合题型归类主要有以下几种：
特殊元素与特殊位置问题、相邻问题、相离问题、定序问题、分组分配问题、配对问题、多排问题（对象站成多排进行排队）、环排问题、相同元素排列问题（参与排列的部分元素完全相同）等等，每种问题都有相应的解题策略。
这种教法因为问题之间缺乏联系，类型多而且要仔细地根据问题的特征来判断，不容易准确记忆，学生普遍感觉难学。
于是课程标准通过限制问题中最多只能出现两个约束条件和不讨论重复排列问题的办法降低课程难度，而上述归类中的多排问题、环排问题和相同元素排列问题都不在现行课标范围内。
根据参考的文献，我将排列组合问题分为两大类：
选取模型和分配模型，再将选取模型分为4个小类，分配模型分为4个小类，下面作具体介绍。
2.1.1选取模型
选取模型借用了抽样概念，它是指“从一个有m个元素的集合中选取n个元素”的问题。
在选取模型下，分别对应以四种可能性：
从m个元素中取n个元素的排列（不放回、元素有序）
从m个元素中有放回地取n个元素的排列（放回、元素有序）
从m个元素中取n个元素的组合（不放回、元素无序）
从m个元素中有放回地取n个元素的组合（放回、元素无序）
其中
是我们熟知的排列定义；
是我们熟知的组合定义；
是可重复选择的题型；
超出了高考要求，不要求掌握。
2.1.2分配模型
分配模型则是借用映射的概念，它是指“将n个元素分配进m个容器”。
在分配模型下，分别对应以下四种情况：
将n个不同的元素分配进m个不同的容器
将n个不同的元素分配进m个相同的容器
将n个相同的元素分配进m个不同的容器
将n个相同的元素分配进m个相同的容器
由于元素的个数及元素之间的顺序也是需要考察的重要指标，因此在原来的划分基础上，还需要根据元素是否平均分配再划分，再根据元素之间是否考虑顺序更细致的划分。
2.2课程中的排列组合知识及其要求
2.2.1课程标准及考纲要求
《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》和《2012年上海高考数学考纲》中对排列组合的要求总结如表2-2
表2-2课程标准和考纲要求
学习内容
考纲要求
课程标准要求
加法原理
掌握加法原理
学习内容考纲要求课程标准要求乘法原理掌握乘法原理通过实例分析，学习和掌握乘法原理和加法原理、排列和组合的概念及其计算，但所涉及的难题情境比较简单。
说明：
排列、组合问题中的限制条件不超过两个；
解排列和组合的问题，限用常见方法（包括枚举法）。
会利用计算器求排列数和组合数
乘法原理
掌握乘法原理
排列与排列数
掌握排列的概念及其计算。
会用常见方法（包括枚举法）解排列的问题。
会利用计算器求排列数
组合与组合数
掌握组合的概念及其计算。
会用常见方法（包括枚举法）解组合的问题。
会利用计算器求组合数
在上述课程标准和考纲中，都对两个原理和排列组合的概念提出了掌握的要求，都提出要求学生运用常见方法解题，如枚举法。
可见对于学生的要求是要掌握排列组合的基本原理和方法，不需要在问题情境和限制条件方面给学生增加太大难度。
2.2.2教材要求
在高中数学必修教材中，排列组合的知识结构框架如下：
教材主要介绍了排列和组合的基本概念和计算公式以及两个计数原理。
在排列中侧重以例题涵盖不相邻问题、相邻问题和特殊元素优先考虑等问题，之后的内容侧重在有一个限制条件的排列组合混合题上。
2.3关于排列组合常见错误类型及其成因
人的计数能力是在不断发展的，儿童时期的计数是具体化的，从最初的数数到借助一定方法有步骤地计数，再到使用排列组合数计数。
学生学习排列组合通常从直观的“枚举法”开始，“枚举”是分析解答数学题的一种方法，它是根据问题的要求，把不重复的、不遗漏的有限情况一一列举出来，达到解答问题的目的。
它适用于枚举数量不大的计数问题，但枚举过程要求有缜密的思维，否则容易遗漏或重复。
高中生学习了排列组合，计数能力会有更大提高，但是也会有很多主观与客观的因素影响他们答题的准确率。
根据市面上统计的资料发现，学生的错误类型有：
“对问题陈述的误解（改变了问题陈述中的数学模型、简单问题复杂化、动词意思理解错误）”、“分不清排列还是组合”、“分不清元素是否可重复使用”、“混淆对象异同性”、“相同元素只当做一个元素”、“列举无系统性”、“凭直觉的错误解答”、“公式错误”、“组合数性质错误”等。
但是他们并没有继续就这些错误的成因作具体分析，他们统计错误类型是为了确定影响排列组合问题难度的主要因素。
国内对于学生在排列组合学习中的错误及其成因的研究有很多，但基本是期刊上的短文章，一般会按问题类型，介绍正确的求解方法，或者罗列学生的典型错误，很少通过测试访谈等进行实证研究的。
我认为比较重要的论文有胡海霞的《影响高中生组合推理的因素》和徐娟的《高中排列组合的教学研究与实践》。
胡海霞（2006）基于Batanero的研究，对国内高中生作了类似的测试。
通过对867名学过和未学过排列组合知识的高中生的测试，她将学生排列组合常见错误类型归结为“与两个基本原理和概念有关的错误”、“文字或语义理解上的错误”、“重复和遗漏”、“关于公式和计算的错误”、“错误的直观解答（学生凭直觉直接作答）”等，但她也没有做详细的错因剖析。
徐娟（2006）在2006年对兰州市的326位高中生进行了测试，其中理科班159人，文科班167人。
设计了十道问卷调查题和三道测试题，问卷与测试内容囊括了学生学习目的、概念掌握、原理应用等方面。
其调查是在学生刚学完排列组合后两周，开始总复习时进行的，花时15分钟。
调查得到的主要错误类型有：
“对问题陈述的误解”、“顺序错误”、“重复错误”、“混淆对象类型（元素异同）”、“混淆单元类型（容器异同）”、“混淆题目类型”和“错误的直观解答”等。
比较她们两位对于错误类型的总结，她们都提到了“题意本身的理解错误”和“重复错误”，这两种也是相关的期刊论文常常提到的。
我认为，“题意本身的理解错误”其实是对于很多错误的一种涵盖，还需要进一步细化。
对于重复错误，刘明远（2009）的《排列组合中重复性错误的六种表现》、欧阳尚昭（2003）的《排列组合中几种常见的“重复性”错误》、应朝伟（1990）的《排列组合计算中的重复错误浅析》等都对其做了详细的剖析，这是学生在思考排列组合题时思维很容易出现的一个差错。
徐娟对于错误原因的解释比较笼统，但是也点出了学生的错误有客观原因，如问题书面陈述的复杂性，也有主观原因，如知识迁移的困难性等。
尤其是她提到的最后一点“学生不能很好地进行知识迁移、类比解题”（第18页），再次说明排列组合学习的困难性，学生不能靠记忆、套公式的方法解决新的问题，要靠自己的阅读理解和分析解答。
在对于学生产生问题的原因解释中，研究客观原因，即排列组合知识特点和13问题本身特点的研究较多，而对于学生认知方面的原因，即思考过程研究较少，这与学生难以用书面形式表达清楚自己的思维也有关。
2.4关于排列组合教学
徐娟（2006）在其论文中除了对学生的排列组合错误类型做出分析外，还专门针对教师的教学做了研究。
她对兰州市的60位高中教师做了调查问卷，问卷包含10道题，主要包括排列组合教学的现状、教学中存在的问题、教师教学的目的以及排列组合教学的思考等方面。
她的调查结果是“基本上所有的教师都认为排列组合知识是高中阶段的难点，有近40%的教师认为教学的主要任务是迎接高考的选拔”。
而在教师的教学实践中，有以下几个问题：
（1）两个原理与概念的讲解不透彻。
教师在讲解过程中往往认为两个原理的理解很容易，交代清楚后便进行习题训练，把重点放在解题方法上。
学生在利用原理时出现了不会分类或有重复或遗漏的情况。
在区分排列与组合问题时，学生也出现了问题。
（2）忽视了读懂题目，导致学生在求解问题时，不了解要解决的问题是什么或要达到什么目的，不知如何下手做题。
（3）忽视了教学过程中前后知识联系的重要性。
有些排列组合问题，如果直接从排列组合的角度着手，很难找到解题方向，可考虑引进集合，找到解题的突破口。
部分教师可能自身缺乏高水平运用知识的能力。
（4）教师对学生解决问题的实际操作过程了解和重视不够，导致教师不知道学生是怎么想的。
（5）题目的相似性与差异性困扰了学生，学生不能辨别清楚。
教师在教学中渗透思想方法教学的不多，知识零散，难以进一步迁移。
（6）教师教学研究不够，很多教师认为排列组合教学需要改革，但做过教学研究的教师很少。
这些问题的存在的确会影响教学效果，同时也影响着学生的思考方式，导致学生解题错误。
其他文章基本上都是凭教学经验总结得到的成果，采用实证方法研究教学的极少。
我归纳教师对于排列组合教学的主要策略有
1、讲清加法原理与乘法原理的联系与区别
加法原理与乘法原理是解排列组合应用题的基础，掌握它们有利于学生从原理的角度去思考问题。
要解决这一问题，关键是引导学生理解加法原理中的“分类”与乘法原理中的“分步”，尤其让学生明白乘法原理中的每一步都是相互独立的。
此外，应该把加法原理和乘法原理的教学贯穿于整个章节。
2、指导学生正确判断排列与组合问题
能判断一个问题是排列问题还是组合问题是解决排列组合复杂问题的基础。
要引导学生通过具体的实例，用比较直观的方法如框图与树状图对问题进行分析，相互对比，使学生切实把握排列与组合的概念以及他们的区别。
3、指导学生正确选择分析对象
对于一个具体的复杂问题，要先考虑题中哪些具体对象应看成“元素”，哪些作为“容器”，选对正确的分析角度。
4、重视解题模型的分析与训练
解决排列组合问题必须重视解法的分析和训练，提高学生的解题能力。
主要通过一般与特殊相结合、分析与判断相结合、将复杂问题简单化等方面来训练学生的思维。
5、重视教学中数学思想的渗透
主要是分类思想、特殊化思想、转化思想和对应思想的渗透，促使学生思想认识发生“飞跃”，达到不但“学会”，而且“会学”的效果。
第3章研究的设计和实施
本章主要介绍本研究的对象、测试题的设计以及试卷分析。
3.1研究对象
本研究的测试对象是我所带的高三学生，刚好高二结束，上完了排列组合章节，也完成了这个章节的复习，对排列组合有一定的认识。
为了更清楚地了解学生的解题过程，在分析完测试卷后，我就试卷中一些比较特殊的回答和我还不了解的想法向一些位学生作了个别访谈。
3.2测试题的设计
3.2.1按排列组合模型设计
在第二章中给出了排列组合的两个模型及分类，但是在具体的题目中，还会有附加的一些限制条件，为了降低难度，课程标准中指出最多只能有两个限制条件。
因此我把每个模型的具体分类及添加的条件作了一个综合的整理，然后配对上相应的测试题。
（1）选取模型和对应的测试题
注意：
选取模型是指“从一个有m个不同元素的集合中选取n个元素（m>
n）”的问题。
所有元素都不同，而且是部分元素参与。
具体分类与测试题对应关系见表3-1。
表3-1选取模型及相应的测试题号
模型
具体分类
无限制条件
一个限制条件
两个限制条件
选取
可重复无序
超纲
可重复有序
1
（2）
无重复无序
2
（1）
2（3）、7
无重复有序
2
（2）
2（4）
“选取模型”中的“可重复无序样本”解题过程中涉及到要先考虑“重复元素的排列”，然后除序，而“重复元素的排列”对于学生来说难度较高，已不属于高中课程标准中的内容，所以不予考查。
对应的具体练习：
1）可重复无序型：
超纲，不要求
2）可重复有序型：
例：
学校运动会中，五名学生报名参加四项体育比赛，若五名学生同时参加这四项比赛，
则获得冠军的可能有多少种？
3）无重复无序型：
从0,5,11,13中任意抽取两个数相加，问最终一共有多少种不同的和？
4）无重复有序型：
从0,5,11,13中任意抽取两个数相减，问最终一共有多少种不同的差？
（2）分配模型和对应的测试题
注意：
分配模型是指“将m个元素分配到n个容器中”。
此模型与选取模型的最大区别是元素全部元素参与以及参与分配的元素可以相同也可以不同，但每个元素仅被分配一次，所以不存在重复使用的问题。
由于在第二章中谈到分配模型的考察要素还有元素的个数及是否有顺序，因此我在原来的4个分类的基础上，增加了是否平均分配，而且被分配的元素同时还要考虑是否有序。
最终一共细分为11个小类。
（见表3-2）。
其中对于“元素在容器间平均分配”，我特别将“一一对应”模式单独列出，主要是其做法比较简单。
当元素不同，容器相同时，“一一对应”方式只有一种情况，故不再讨论。
当元素相同时，不存在顺序问题，且此时的平均分配都只有一种情况，故也不作讨论。
“分配模型”中“m个相同元素非平均分配到n个相同容器中”，只需考虑每个元素分堆时每堆数量的可能性，难度较低，也未考查。
对于分配到各个容器中元素的有序性问题在高中阶段的排列组合问题中很少碰到，所以只在E5模型中出一道题，而其他三种有序模型中不再出题。
具体分类与测试题对应关系见表3-2。
表3-2分配模型及相应的测试题号
元素与容器的异同
元素在容器间
的分配形式
容器内元素
是否有序
无条件限制
一个条件限制
两个条件限制
分
配
模
型
元素不同
容器不同
平均
分配
一个容器中只有一个元素
/
一个容器中有多个元素
无序
有序
非平均分配
容器相同
平均分配
元素相同
非平均分配
对应的具体练习：
1、元素不同、容器不同、平均分配且符合一一对应：
例：
将5个人分配到5个不同的工作岗位，问一共有多少种不同的分配方式？
2、元素不同、容器不同、平均分配、元素无序
将9个人分配到3所不同的学校，每个学校分配3人，问一共有多少种
不同的分配方式？
3、元素不同、容器不同、平均分配、元素有序
将9个人分配到3所不同的学校，每个学校分配3人，且被分配到学校
里的人需要从周一、周三、周五中选择一天值班，问共有多少种不同的情况？
4、元素不同、容器不同、
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