高中数学联赛江苏初赛模拟试题.doc
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2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二先做后对答案
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二
（时间：
120分钟满分：
150）
姓名_______________
一、填空题：
本大题共10小题，每小题7分，共70分．
1．设，则的值为______________
2．若，则的取值范围是______________
3．设，，，，在这些函数中，
周期函数的个数是_____________
4．已知、是两个相互垂直的单位向量，而，，；则对于任意实数，
的最小值是______________
5．设有两个集合：
，，
则______________
6．已知数列，满足，且，则______________
7．设函数，则______________
8．设命题：
和命题：
对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值
范围是______________
9．在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列，使都是等边三角形，其中是
坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是______________
10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：
先从原点沿正东偏北（）方向行走
一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为每分钟
10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是______________
二、解答题：
本大题共4小题，每小题20分，共80分．
11．设双曲线的左、右焦点分别为、，若的顶点在第一象限的双曲线上移
动，求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹．
12．设，定义：
；
（1）求的最小值；
（2）在条件下，求的最小值；
（3）在条件下，求的最小值，并加以证明．
13．设、分别为锐角的外心和垂心，在上截取，在上截取；
求证：
等于外接圆半径．
14．在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位．为了试验5种不同新式武器，
打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5
个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新
式武器的方案？
2014年高中数学联赛江苏初赛模拟试题二答案
一、填空题：
1．设，则的值为______________
解：
令，得；
（1）令，得；
（2）
令，得；（3）
（2）＋（3）得，
故，再由
（1）得．
2．若，则的取值范围是______________
解：
设，；
又由，故；
因此有，即；
由于，所以有，即．
3．设，，，，在这些函数中，
周期函数的个数是_____________
解：
是以任何正实数为周期的周期函数；
不是周期函数；因为是以为周期的周期函数，
是以为周期的周期函数，而与之比不是有理数，故不是周期函数．
不是周期函数；因为是以为周期的周期函数，
是以为周期的周期函数，而，故是周期函数．
不是周期函数；因此共有2个周期函数．
4．已知、是两个相互垂直的单位向量，而，，；则对于任意实数，
的最小值是______________
解：
；
当时，，所以所求的最小值为12．
5．设有两个集合：
，，
则______________
解：
由已知可以解出，，故．
6．已知数列，满足，且，则______________
解：
由，推出；
因此有：
即有；从而可得：
．
7．设函数，则______________
解：
令，得；把改为得：
（1）
（2）
联合
（1）
（2）消去，可得．
8．设命题：
和命题：
对任何，有且仅有一个成立，则实数的取值
范围是______________
解：
命题成立，可得：
；命题成立，可得：
；
因此，要使命题和命题有且仅有一个成立，实数的取值范围是．
9．在轴的正方向上，从左向右依次取点列，以及在第一象限内的抛物线
上从左向右依次取点列，使都是等边三角形，其中是
坐标原点，则第2014个等边三角形的边长是______________
解：
设第个等边三角形的边长为；则第个等边三角形的在抛物线上的顶点的坐标为：
，再从第个等边三角形上，又可得的
纵坐标为：
；从而有：
，
即有；由此可得：
（1）
以及：
（2）
（1）－
（2）即得：
，变形可得，
由于，所以；在
（1）式中取，可得，而，故；
因此第2014个等边三角形的边长为．
10．根据指令，机器人在平面上能完成下列动作：
先从原点沿正东偏北（）方向行走
一段时间后，再向正北方向行走一段时间，但何时改变方向不定．假定机器人行走速度为每分钟
10米，则行走2分钟时，机器人所在位置的可能范围的面积是______________
x
y
A
P（x，y）
O
解：
如图，设机器人行走2分钟时的位置为；
设机器人改变方向的点为，，；
则由已知条件有：
，
以及，
所以有：
；
即所求平面图形为弓形，其面积为平方米．
二、解答题
11．设双曲线的左、右焦点分别为、，若的顶点在第一象限的双曲线上移
O
P
y
x
A
B
G
H
K
动，求的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边上的切点轨迹．
解：
如图，记双曲线在轴上的两顶点为，
；为的内切圆在边上的
切点，为的内切圆在边上的切点，
为的内切圆在边上的切点；则有
5分
由双曲线的定义知，必在双曲线上，
于是与重合，是定点．
而；根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等，所以的内切圆在边上的切点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧．-------10分
因为是在第一象限的曲线上移动，当沿双曲线趋于无穷时，与轴正向的交角的正切的极限是；
即：
；故点的轨迹方程为（极坐标形式）
，（）--------------15分
也可以用直角坐标形式．由于与重合，是定点，
故该内切圆圆心的轨迹是直线段，方程为：
（）-----20分
12．设，定义：
；
（1）求的最小值；
（2）在条件下，求的最小值；
（3）在条件下，求的最小值，并加以证明．
解：
（1）--------5分（当时，取到最小值）
（2）；
（当时，取到最小值）--------------10分
（3）因为
所以；
（当时，取到最小值）------20分
每小题指出什么时候取到，5分．
13．设、分别为锐角的外心和垂心，在上截取，在上截取；
求证：
等于外接圆半径．
证明：
设的外接圆的半径为，易知：
；
由余弦定理：
故等于外接圆半径．
14．在一次实战军事演习中，红方的一条直线防线上设有20个岗位．为了试验5种不同新式武器，打算安排5个岗位配备这些新式武器，要求第一个和最后一个岗位不配备新式武器，且每相邻5个岗位至少有一个岗位配备新式武器，相邻两个岗位不同时配备新式武器，问共有多少种配备新式武器的方案？
解：
设20个岗位按先后排序为1，2，，…，20，且设第种新式武器设置的序号为：
；令，，，，，
，则有（*）
其中，--------------------------------------5分
作代换：
，，
从而有，（**）
其中．-----------10分
以下求解问题（**）:
方法一：
设为的正整数解的全体，为中满足的解的
全体；则；
上式成立的原因是，
因为没有同时满足，，的的正整数组．
所以，--------------15分
因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，
所以配备新式武器的方案数等于．-----------------------------------20分
方法二：
问题（**）的解数等于展开式中的系数；
而，
故只须求展开式中的系数．
因此的系数为6×15＋20×20＋6×15＝580------------------------------------15分
因为5种新式武器各不相同，互换位置得到不同的排列数，
所以配备新式武器的方案数等于．-----------------------------------20分
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