平面几何练习题.docx
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平面几何选讲练习题
１．如图所示，已知⊙O1与⊙O2相交于A，B两点，过点A作⊙O1的切线交⊙O2于点C，过点B作两圆的割线，分别交⊙O1，⊙O2于点D，E，DE与AC相交于点P.
（1）求证:
AD∥EC;
（2）若AD是⊙O2的切线,且PA=6,PC=2,BD=9,求AD的长;
B
E
D
O1
O2
A
P
C
2．如图：
已知AD为⊙O的直径，直线BA与⊙O相切于点A，直线OB与弦AC垂直并相
交于点G，连接DC.
求证：
BA·DC=GC·AD.
3．
已知：
如图，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE=AC，BD=AB，点F在BC上，且CF=BC。
求证：
（1）EF⊥BC；
（2）∠ADE=∠EBC。
４．如图，在△中，是的中点，是的中点，的延长线交于.
（1）求的值；
（2）若△的面积为，四边形的面
积为，求的值．
O
A
B
C
D
E
F
５．已知C点在圆O直径BE的延长线上，CA切圆O于A点，DC是的平分线交AE于点F，交AB于D点.
（1）求的度数；
（2）若AB=AC，求AC:
BC
.
６．自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B,C两点．
求证:
∠MCP=∠MPB．
7．如图，是⊙的直径，AB是⊙O于点M、N，直线交的延长线于点C，，，求的长和⊙的半径.
8．如图，AB是⊙O的直径，C，F为⊙O上的点，CA是∠BAF的角平分线，过点C作
CD⊥AF交AF的延长线于D点，CM⊥AB，垂足为点M.
（1）求证：
DC是⊙O的切线；
（2）求证：
AM·MB=DF·DA.
A
B
M
C
O
P
9．如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在的内部，点M是BC的中点.
（Ⅰ）证明A，P，O，M四点共圆；
（Ⅱ）求∠OAM＋∠APM的大小.
10．如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点A，过A点作直线AP垂直直线OM，
垂足为P.
（Ⅰ）证明：
OM·OP=OA2；
（Ⅱ）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点，过B点的切线交直线ON于K.证明：
∠OKM=90°
11．如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.
求证：
AB∥CD.
12．已知ABC中，AB=AC,D是ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），延长BD至E。
（1）求证：
AD的延长线平分CDE；
（2）若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。
13．如图，已知的两条角平分线和相交于H，，F在上，且。
（I）证明：
B,D,H,E四点共圆：
（II）证明：
平分。
A
B
C
E
D
14．已知:
如右图,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,AB＝DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于点E．求证：
（1）△ABC≌△DCB
（2）DE·DC＝AE·BD．
15．在圆O的直径CB的延长线上取一点A，AP与圆O切于点P，且∠APB＝30°，
AP＝，则CP＝（ ）
A.B．2C．2－1D．2＋1
16．已知AB是圆O的直径，弦AD、BC相交于点P，那么CD∶AB等于∠BPD的（ ）
A．正弦B．余弦C．正切D．余切
17．如图所示，已知D是△ABC中AB边上一点，DE∥BC且交AC
于E，EF∥AB且交BC于F，且S△ADE＝1，S△EFC＝4，则四边
形BFED的面积等于（ ）
A．2B．3
C．4D．5
18．AD、AE和BC分别切⊙O于D、E、F，如果AD＝20，
则△ABC的周长为（ ）
A．20 B．30C．40 D．35
5．如图所示，AB是半圆的直径，弦AD、BC相交于P，已知∠DPB
＝60°，D是弧BC的中点，则tan∠ADC＝________.
19．如图所示，圆O上一点C在直径AB上的射影为D，CD＝4，
BD＝8，则圆O的半径长为________．
20．如图，AB是半圆O的直径，∠BAC＝30°，
BC为半圆的切线，且BC＝4，则点O到
AC的距离OD＝________.
平面几何选讲练习题答案
１．
（1）证明：
连接AB，∵AC是⊙O1的切线，∴∠BAC=∠D，
又∵∠BAC=∠E，∴∠D=∠E。
∴AD∥EC（4分）
（2）设BP=x，PE=y，∵PA=6，PC=2，∴xy=12，①
∵AD∥EC，∴②，
由①②可得，或（舍去）∴DE=9+x+y=16，
∵AD是⊙O2的切线，
∴AD2=DBDE=9×16，
∴AD=12。
（6分）
2．证法一：
∵，∴，
又是⊙Ｏ的直径，∴，
又∵（弦切角等于同弧对圆周角）………4分
∴ △∽△…………………………………5分
∴，又∵∴…………………………7分
∴…………………………………………………9分
即BA•DC=GC•AD………………………………………10分
证法二：
∵与⊙Ｏ相切于
∴
又于，
∴
∴△∽△…………………………3分
∵………………………………………①…5分
∵，∴为的中点
又∵为直径的中点，
∴，………………………7分
∴∴BA•DC=GC•AD……………………………10分
3．证明：
设AB=AC=3a，则AE=BD=a，CF=
（1）
又∠C公共，故△BAC∽△EFC，由∠BAC=90°，
∴∠EFC=90°，∴EF⊥BC…………4分
（2）由
（1）得
…………6分
∴∠DAE=∠BFE=90°∴△ADE∽△FBE， …………8分
∴∠ADE=∠EBC。
…………10分
４．证明：
（1）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，-------------------------2分
∵E是BD的中点，∴BE=DE，又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，
∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：
FC=DG：
FC，
又∵D是AC的中点，则DG：
FC=1：
2，
则BF：
FC=1：
2；----------------------------------------------4分
（2）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，
则由
（1）知BF：
BC=1：
3，
又由BE：
BD=1：
2可知：
=1：
2，其中、
分别为△BEF和△BDC的高，则，
则=1：
5．-----------------------8分
５．AC为圆O的切线,∴
又知,DC是的平分线,
∴∴
即又因为BE为圆O的直径,∴
∴
（2）,,∴∽∴
又AB=AC,∴,
∴在RT⊿ABE中,……10分
６．证明：
∵与圆相切于，
∴，………………2分
∵为中点，∴，………………3分
∴，∴．………5分
∵，………………6分
∴△∽△，………………8分
∴．………………10分
7．证明：
是⊙的直径，是⊙的切线，直线是⊙的割线，
，.
…4分
，，.
⊙的半径为………………………………………8分
8．解：
（I）连结OC，∴∠OAC=∠OCA，又∵CA是∠BAF的角平分线，
∴∠OAC=∠FAC，∴∠FAC=∠ACO，∴OC∥AD.………………3分
∵CD⊥AF，∴CD⊥OC，即DC是⊙O的切线.…………5分
（Ⅱ）连结BC，在Rt△ACB中，
A
B
M
C
O
P
CM⊥AB，∴CM2=AM·MB.又∵DC是⊙O的切线，∴DC2=DF·DA.
易知△AMC≌△ADC，∴DC=CM，∴AM·MB=DF·DA…………10分
19．（Ⅰ）证明：
连结OP，OM.
因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.
于是∠OPA＋∠OMA=180°，由圆心O在的内部，
可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆…6分
（Ⅱ）解：
由（Ⅰ）得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM=∠OPM.
由（Ⅰ）得OP⊥AP.
由圆心O在的内部，可知∠OPM＋∠APM=90°.
所以∠OAM＋∠APM=90°.……10分
10．（Ⅰ）证明：
因为MA是圆O的切线，所以OA⊥AM
又因为AP⊥OM，在Rt△OAM中，由射影定理知，
（Ⅱ）证明：
因为BK是圆O的切线，BN⊥OK，
同（Ⅰ），有OB2=ON·OK，又OB=OA，
所以OP·OM=ON·OK，即
又∠NOP=∠MOK，所以△ONP∽△OMK，故∠OKM=∠OPN=90°
11．证明：
由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。
再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。
因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。
12．解：
（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点
∵A，B，C，D四点共圆，∴∠CDF=∠ABC
又AB=AC∴∠ABC=∠ACB,且∠ADB=∠ACB,∴∠ADB=∠CDF,
对顶角∠EDF=∠ADB,
故∠EDF=∠CDF,即AD的延长线平分∠CDE.
（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC.
连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150,∠ACB=750,∴∠OCH=600.
设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。
13．解：
（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°，
所以∠BAC+∠BCA=120°.
因为AD，CE是角平分线，所以∠HAC+∠HCA=60°，
故∠AHC=120°.
于是∠EHD=∠AHC=120°.
因为∠EBD+∠EHD=180°，所以B,D,H,E四点共圆.
（Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30°
由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，所以∠CED=∠HBD=30°.
又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD，可得∠CEF=30
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