《离散数学》试题及答案详解Word格式.docx
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x<
R}_____,
A∩B=___{x|0≤x≤1,xÎ
R}_______________________,.
5.13.设集合A＝{2,3,4,5,6}，R是A上的整除，则R以集合形式（列举法）记为__{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}_____________________________.
6.14.设一阶逻辑公式G="
xP（x）®
$xQ（x），则G的前束范式是__$x（Ø
P（x）∨Q（x））_.
15.设G是具有8个顶点的树，则G中增加__21_______条边才能把G变成完全图。
16.设谓词的定义域为{a,b},将表达式"
xR（x）→$xS（x）中量词消除，写成与之对应的命题公式是____（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））_______________________.
17.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的二元关系R＝{（1,1）,（1,2）,（2,3）},S＝{（1,3）,（2,3）,（3,2）}。
则RS＝_{（1,3）,（2,2）}_____________________________,
R2＝___{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.______________________.
二、选择题
1设集合A={2,{a},3,4}，B={{a},3,4,1}，E为全集，则下列命题正确的是（C）。
（A）{2}Î
A（B）{a}Í
A（C）Æ
Í
{{a}}Í
BÍ
E（D）{{a},1,3,4}Ì
B.
2设集合A={1,2,3},A上的关系R＝{（1,1）,（2,2）,（2,3）,（3,2）,（3,3）}，则R不具备（D）.
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）反对称性
3设半序集（A,≤）关系≤的哈斯图如下所示，若A的子集B={2,3,4,5},则元素6为B的（B）。
（A）下界（B）上界（C）最小上界（D）以上答案都不对
4下列语句中，（B）是命题。
（A）请把门关上（B）地球外的星球上也有人
（C）x+5>
6（D）下午有会吗？
5设I是如下一个解释：
D＝{a,b},
则在解释I下取真值为1的公式是（D）.
（A）$x"
yP（x,y）（B）"
x"
yP（x,y）（C）"
xP（x,x）（D）"
x$yP（x,y）.
6.若供选择答案中的数值表示一个简单图中各个顶点的度，能画出图的是（C）.
（A）（1,2,2,3,4,5）（B）（1,2,3,4,5,5）（C）（1,1,1,2,3）（D）（2,3,3,4,5,6）.
7.设G、H是一阶逻辑公式，P是一个谓词，G＝$xP（x）,H＝"
xP（x）,则一阶逻辑公式G®
H是（C）.
（A）恒真的（B）恒假的（C）可满足的（D）前束范式.
8设命题公式G＝Ø
Q），H＝P®
（Q®
Ø
P），则G与H的关系是（A）。
（A）GÞ
H（B）HÞ
G（C）G＝H（D）以上都不是.
9设A,B为集合，当（D）时A－B＝B.
（A）A＝B（B）AÍ
B（C）BÍ
A（D）A＝B＝Æ
.
10设集合A={1,2,3,4},A上的关系R＝{（1,1）,（2,3）,（2,4）,（3,4）},则R具有（B）。
（A）自反性（B）传递性（C）对称性（D）以上答案都不对
11下列关于集合的表示中正确的为（B）。
（A）{a}Î
{a,b,c}（B）{a}Í
{a,b,c}（C）Æ
Î
{a,b,c}（D）{a,b}Î
{a,b,c}
12命题"
xG（x）取真值1的充分必要条件是（）.
（A）对任意x，G（x）都取真值1.（B）有一个x0，使G（x0）取真值1.
（C）有某些x，使G（x0）取真值1.（D）以上答案都不对.
13.设G是连通平面图，有5个顶点，6个面，则G的边数是（A）.
（A）9条（B）5条（C）6条（D）11条.
14.设G是5个顶点的完全图，则从G中删去（A）条边可以得到树.
（A）6（B）5（C）10（D）4.
15.设图G的相邻矩阵为
，则G的顶点数与边数分别为（D）.
（A）4,5（B）5,6（C）4,10（D）5,8.
三、计算证明题
1.设集合A＝{1,2,3,4,6,8,9,12}，R为整除关系。
（1）画出半序集（A,R）的哈斯图；
（2）写出A的子集B={3,6,9,12}的上界，下界，最小上界，最大下界；
（3）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元。
（1）
（2）B无上界，也无最小上界。
下界1,3;
最大下界是3.
（3）A无最大元，最小元是1，极大元8,12,90+;
极小元是1.
2.设集合A＝{1,2,3,4}，A上的关系R＝{（x,y）|x,yÎ
A且x³
y},求
（1）画出R的关系图；
（2）写出R的关系矩阵.
R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.
（2）
3.设R是实数集合，,,是R上的三个映射，（x）=x+3,（x）=2x,（x）＝x/4,试求复合映射•，•,•,•，••.
（1）•＝（（x））＝（x）+3＝2x+3＝2x+3.
（2）•＝（（x））＝（x）+3＝（x+3）+3＝x+6,
（3）•＝（（x））＝（x）+3＝x/4+3,
（4）•＝（（x））＝（x）/4＝2x/4=x/2,
（5）••＝•（•）＝•+3＝2x/4+3＝x/2+3.
4.设I是如下一个解释：
D={2,3},
a
b
f
（2）
f（3）
P（2,2）
P（2,3）
P（3,2）
P（3,3）
3
2
1
试求
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））;
（2）"
x$yP（y,x）.
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f
（2））
=P（3,2）∧P（2,3）
=1∧0
=0.
（2）"
x$yP（y,x）="
x（P（2,x）∨P（3,x））
=（P（2,2）∨P（3,2））∧（P（2,3）∨P（3,3））
=（0∨1）∧（0∨1）
=1∧1
=1.
5.设集合A＝{1,2,4,6,8,12}，R为A上整除关系。
（2）写出A的最大元，最小元，极大元，极小元；
（3）写出A的子集B={4,6,8,12}的上界，下界，最小上界，最大下界.
1）
（2）无最大元，最小元1，极大元8,12;
（3）B无上界，无最小上界。
下界1,2;
最大下界2.
6.设命题公式G=Ø
（P→Q）∨（Q∧（Ø
P→R））,求G的主析取范式。
G=Ø
P→R））
=Ø
（Ø
P∨Q）∨（Q∧（P∨R））
=（P∧Ø
Q）∨（Q∧（P∨R））
Q）∨（Q∧P）∨（Q∧R）
Q∧R）∨（P∧Ø
Q∧Ø
R）∨（P∧Q∧R）∨（P∧Q∧Ø
R）∨（P∧Q∧R）∨（Ø
P∧Q∧R）
R）∨（Ø
=m3∨m4∨m5∨m6∨m7=S（3,4,5,6,7）.
7.（9分）设一阶逻辑公式：
G=（"
xP（x）∨$yQ（y））→"
xR（x），把G化成前束范式.
xR（x）
（"
xP（x）∨$yQ（y））∨"
=（Ø
"
xP（x）∧Ø
$yQ（y））∨"
=（$xØ
P（x）∧"
yØ
Q（y））∨"
zR（z）
=$x"
y"
z（（Ø
P（x）∧Ø
Q（y））∨R（z））
9.设R是集合A={a,b,c,d}.R是A上的二元关系,R={（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）},
（1）求出r（R）,s（R）,t（R）；
（2）画出r（R）,s（R）,t（R）的关系图.
（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},
s（R）＝R∪R－1＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,b）（c,d）,（d,c）},
t（R）＝R∪R2∪R3∪R4＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（a,d）,（b,a）,（b,b）,（b,c）,（b,d）,（c,d）}；
（2）关系图:
11.通过求主析取范式判断下列命题公式是否等价：
（1）G=（P∧Q）∨（Ø
P∧Q∧R）
（2）H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（Ø
P∧R））
G＝（P∧Q）∨（Ø
＝（P∧Q∧Ø
＝m6∨m7∨m3
＝å
（3,6,7）
H=（P∨（Q∧R））∧（Q∨（Ø
＝（P∧Q）∨（Q∧R））∨（Ø
P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）∨（Ø
P∧Q∧R）∨（P∧Q∧R）
＝m6∨m3∨m7
G,H的主析取范式相同，所以G=H.
13.设R和S是集合A＝{a,b,c,d}上的关系，其中R＝{（a,a）,（a,c）,（b,c）,（c,d）},S＝{（a,b）,（b,c）,（b,d）,（d,d）}.
（1）试写出R和S的关系矩阵；
（2）计算R•S,R∪S,R－1,S－1•R－1.
（1）
（2）R•S＝{（a,b）,（c,d）},
R∪S＝{（a,a）,（a,b）,（a,c）,（b,c）,（b,d）,（c,d）,（d,d）},
R－1＝{（a,a）,（c,a）,（c,b）,（d,c）},
S－1•R－1＝{（b,a）,（d,c）}.
四、证明题
1.利用形式演绎法证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S。
证明：
{P→Q,R→S,P∨R}蕴涵Q∨S
（1）P∨RP
（2）Ø
R→PQ
（1）
（3）P→QP
（4）Ø
R→QQ
（2）（3）
（5）Ø
Q→RQ（4）
（6）R→SP
（7）Ø
Q→SQ（5）（6）
（8）Q∨SQ（7）
2.设A,B为任意集合，证明：
（A-B）-C=A-（B∪C）.
（A-B）-C=（A∩~B）∩~C
=A∩（~B∩~C）
=A∩~（B∪C）
=A-（B∪C）
3.（本题10分）利用形式演绎法证明：
{Ø
A∨B,Ø
C→Ø
B,C→D}蕴涵A→D。
B,C→D}蕴涵A→D
（1）AD（附加）
A∨BP
（3）BQ
（1）
（2）
BP
（5）B→CQ（4）
（6）CQ（3）（5）
（7）C→DP
（8）DQ（6）（7）
（9）A→DD
（1）（8）
所以{Ø
B,C→D}蕴涵A→D.
4.（本题10分）A,B为两个任意集合，求证：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
4.证明：
A－（A∩B）
=A∩~（A∩B）
＝A∩（~A∪~B）
＝（A∩~A）∪（A∩~B）
＝Æ
∪（A∩~B）
＝（A∩~B）
＝A－B
而（A∪B）－B
=（A∪B）∩~B
=（A∩~B）∪（B∩~B）
=（A∩~B）∪Æ
=A－B
所以：
A－（A∩B）=（A∪B）－B.
参考答案
1.{3};
{{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}}.
2.
7.a1={（a,1）,（b,1）},a2={（a,2）,（b,2）},a3={（a,1）,（b,2）},a4={（a,2）,（b,1）};
a3,a4.
8.（P∧Ø
Q∧R）.
9.12,3.
10.{4},{1,2,3,4},{1,2}.
11.自反性；
传递性.
12.（1,0,0）,（1,0,1）,（1,1,0）.
13.{（1,3）,（2,2）,（3,1）};
{（2,4）,（3,3）,（4,2）};
{（2,2）,（3,3）}.
14.2mn.
15.{x|-1≤x<
R};
{x|1<
{x|0≤x≤1,xÎ
R}.
16.12;
6.
17.{（2,2）,（2,4）,（2,6）,（3,3）,（3,6）,（4,4）,（5,5）,（6,6）}.
18.$x（Ø
P（x）∨Q（x））.
19.21.
20.（R（a）∧R（b））→（S（a）∨S（b））.
21.{（1,3）,（2,2）};
{（1,1）,（1,2）,（1,3）}.
1.C.2.D.3.B.4.B.
5.D.6.C.7.C.
8.A.9.D.10.B.11.B.
13.A.14.A.15.D
1.
2.R={（1,1）,（2,1）,（2,2）,（3,1）,（3,2）,（3,3）,（4,1）,（4,2）,（4,3）,（4,4）}.
3.
（1）•＝（（x））＝（x）+3＝2x+3＝2x+3.
4.
（1）P（a,f（a））∧P（b,f（b））=P（3,f（3））∧P（2,f
（2））
5.
（1）
6.G=Ø
7.G=（"
9.
（1）r（R）＝R∪IA＝{（a,b）,（b,a）,（b,c）,（c,d）,（a,a）,（b,b）,（c,c）,（d,d）},
11.G＝（P∧Q）∨（Ø
13.
（1）
四证明题
1.证明：
2.证明：
3.证明：
5.证明：
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