浙江专版高中数学第1章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教A版选修23.docx
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浙江专版高中数学第1章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教A版选修23
1．3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
预习课本P32～36，思考并完成以下问题
1．杨辉三角具有哪些特点？
2．二项式系数的性质有哪些？
1．杨辉三角的特点
（1）在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．
（2）在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C＝C＋C.
2．二项式系数的性质
（1）对称性：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（即C＝C）．
（2）增减性与最大值：
当k<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；
当n是奇数时，中间两项Cn，Cn相等，同时取得最大值．
（3）各二项式系数的和：
①C＋C＋C＋…＋C＝2n，
②C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
1．判断下列命题是否正确．（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．（ ）
（2）二项式展开式的二项式系数和为C＋C＋…＋C.（ ）
（3）二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．（ ）
答案：
（1）√
（2）× （3）×
2．已知（ax＋1）n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于（ ）
A．5 B．6
C．7D．8
答案：
A
3．（1＋x）2n（n∈N*）的展开式中，系数最大的项是（ ）
A．第＋1项B．第n项
C．第n＋1项D．第n项与第n＋1项
答案：
C
4．在（a＋b）n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n＝（ ）
A．6B．7
C．8D．9
答案：
A
与杨辉三角有关的问题
[典例]
（1）杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是（ ）
A．第6行 B．第7行
C．第8行D．第9行
（2）如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：
1,2,3,3,6,4,10，…，记这个数列的前n项和为S（n），则S（16）等于（ ）
A．144B．146
C．164D．461
[解析]
（1）由题意，第6行为1615201561，第7行为172135352171，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除．
（2）由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，…，第15项是C，第16项是C.所以S（16）＝C＋C＋C＋C＋…＋C＋C
＝（C＋C＋…＋C）＋（C＋C＋…＋C）
＝（C＋C＋C＋…＋C－C）＋（C＋C＋…＋C）
＝C＋C－1＝164.
[答案]
（1）B
（2）C
解决与杨辉三角有关的问题的一般思路
（1）观察：
对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律．
（2）表达：
将发现的规律用数学式子表达．
（3）结论：
由数学表达式得出结论．
[活学活用]
如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3.
解析：
由杨辉三角知，第一行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C，…，第n行中的数是C，C，C，…，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为2∶3，则C∶C＝2∶3，解之得n＝34.
答案：
34
求展开式的系数和
[典例] 设（1－2x）2016＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2016·x2016（x∈R）．
（1）求a0＋a1＋a2＋…＋a2016的值．
（2）求a1＋a3＋a5＋…＋a2015的值．
（3）求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2016|的值．
[解]
（1）令x＝1，得
a0＋a1＋a2＋…＋a2016＝（－1）2016＝1.①
（2）令x＝－1，得a0－a1＋a2－…＋a2016＝32016.②
①－②得
2（a1＋a3＋…＋a2015）＝1－32016，
∴a1＋a3＋a5＋…＋a2015＝.
（3）∵Tr＋1＝C（－2x）r＝（－1）r·C·（2x）r，
∴a2k－1＜0（k∈N*），a2k＞0（k∈N*）．
∴|a0|＋|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a2016|
＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2016＝32016.
二项展开式中系数和的求法
（1）对形如（ax＋b）n,（ax2＋bx＋c）m（a，b，c∈R，m，n∈N*）的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对（ax＋by）n（a，b∈R，n∈N*）的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．
（2）一般地，若f（x）＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f（x）展开式中各项系数之和为f
（1），
奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，
偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝.
[活学活用]
已知（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：
（1）a1＋a2＋…＋a7；
（2）a1＋a3＋a5＋a7，a0＋a2＋a4＋a6.
解：
（1）∵（1－2x）7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a7＝－1，①
令x＝0，得a0＝1，
∴a1＋a2＋…＋a7＝－2.
（2）令x＝－1，得
a0－a1＋a2－a3＋…＋a6－a7＝37＝2187，②
由①，②得
a1＋a3＋a5＋a7＝－1094，
a0＋a2＋a4＋a6＝1093.
求展开式中系数或二项式系数的最大项
[典例] 在8的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项；
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
[解] Tr＋1＝C·（）8－r·r＝（－1）r·C·2r·x4－.
（1）二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，
故T5＝C·24·x4－＝1120x－6.
（2）设第r＋1项系数的绝对值最大，
则即
整理得于是r＝5或6.
故系数绝对值最大的项是第6项和第7项．
[一题多变]
1．[变设问]在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项．
解：
由本例
（1）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的系数为负，第7项的系数为正．
故系数最大的项为T7＝C·26·x－11＝1792x－11.
系数最小的项为T6＝（－1）5C·25x－＝－1792x－.
2．[变条件，变设问]在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项．
解：
由题意知n＝8，通项为Tk＋1＝（－1）k·C·8－k·x8－k，令8－k＝0，得k＝6，故常数项为第7项，且T7＝（－1）6·2·C＝7.
二项式系数的最大项的求法
求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对（a＋b）n中的n进行讨论．
（1）当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大．
（2）当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大．
层级一 学业水平达标
1．关于（a－b）10的说法，错误的是（ ）
A．展开式中的二项式系数之和为1024
B．展开式中第6项的二项式系数最大
C．展开式中第5项或第7项的二项式系数最大
D．展开式中第6项的系数最小
解析：
选C 根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：
二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的．
2．已知（a＋b）n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于（ ）
A．11 B．10
C．9D．8
解析：
选D ∵只有第5项的二项式系数最大，
∴＋1＝5.∴n＝8.
3．设（1＋x）＋（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，当a0＋a1＋a2＋…＋an＝254时，n等于（ ）
A．5B．6
C．7D．8
解析：
选C 令x＝1，则a0＋a1＋…＋an＝2＋22＋23＋…＋2n，∴＝254，∴n＝7.
4．若对于任意实数x，有x3＝a0＋a1（x－2）＋a2（x－2）2＋a3（x－2）3，则a2的值为（ ）
A．3 B．6C．9 D．12
解析：
选B x3＝[2＋（x－2）]3，a2＝C·2＝6.
5．已知C＋2C＋22C＋…＋2nC＝729，则C＋C＋C的值等于（ ）
A．64B．32
C．63D．31
解析：
选B C＋2C＋22C＋…＋2nC＝（1＋2）n＝729.
∴n＝6，∴C＋C＋C＝32.
6．设二项式n（n∈N*）展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则＝________.
解析：
由题意知an＝2n成等比数列，令x＝1则bn＝n也成等比数列，所以＝2n＋1.
答案：
2n＋1
7．（2x－1）10展开式中x的奇次幂项的系数之和为________．
解析：
设（2x－1）10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝1，再令x＝－1，得
310＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a10，
两式相减，可得a1＋a3＋…＋a9＝.
答案：
8．（1＋）n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．
解析：
因为8所以n＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3＝C（）2＝6x.
答案：
6x
9．若（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10.
（1）求a1＋a2＋…＋a10；
（2）求（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2.
解：
（1）令f（x）＝（x2－3x＋2）5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，
a0＝f（0）＝25＝32，a0＋a1＋a2＋…＋a10＝f
（1）＝0，
故a1＋a2＋…＋a10＝－32.
（2）（a0＋a2＋a4＋a6＋a8＋a10）2－（a1＋a3＋a5＋a7＋a9）2
＝（a0＋a1＋a2＋…＋a10）（a0－a1＋a2－…＋a10）＝f
（1）·f（－1）＝0.
10．已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数．
解：
∵C＋C＝2C，整理得n2－21n＋98＝0，
∴n＝7或n＝14，
当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
T4的系数为C423＝；T5的系数为C324＝70；当n＝14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C727＝3432.
层级二 应试能力达标
1．1＋（1＋x）＋（1＋x）2＋…＋（1＋x）n的展开式的各项系数之和为（ ）
A．2n－1 B．2n－1
C．2n＋1－1D．2n
解析：
选C 法一：
令x＝1得，1＋2＋22＋…＋2n＝＝2n＋1－1.
法二：
令n＝1，知各项系数和为3，排除A、B、D选项．
2．在（1＋x）n（n为正整数）的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则（1－x2）n的值为（ ）
A．0B．AB
C．A2－B2D．A2＋B2
解析：
选C （1＋x）n＝A＋B，（1－x）n＝A－B，所以（1－x2）n＝A2－B2.
3．若（1－2x）2016＝a0＋a1x＋…＋a2016x2016（x∈R），则＋＋…＋
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