浙江专版高中数学第1章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教A版选修23.docx

1、浙江专版高中数学第1章计数原理132杨辉三角与二项式系数的性质学案新人教A版选修2313.2“杨辉三角”与二项式系数的性质预习课本P3236，思考并完成以下问题1杨辉三角具有哪些特点？ 2二项式系数的性质有哪些？ 1杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即CCC.2二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等(即CC)(2)增减性与最大值：当k时，二项式系数逐渐增大由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n

2、是奇数时，中间两项Cn，Cn相等，同时取得最大值(3)各二项式系数的和：CCCC2n，CCCCCC2n1.1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列()(2)二项式展开式的二项式系数和为CCC.()(3)二项式展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同()答案：(1)(2)(3)2已知(ax1)n的展开式中，二项式系数和为32，则n等于()A5 B6C7 D8答案：A3(1x)2n(nN*)的展开式中，系数最大的项是()A第1项 B第n项C第n1项 D第n项与第n1项答案：C4在(ab)n的展开式中，第2项与第6项的二项式系数相等，则n()

3、A6 B7C8 D9答案：A与杨辉三角有关的问题典例(1)杨辉三角如图所示，杨辉三角中的第5行除去两端数字1以外，均能被5整除，则具有类似性质的行是()A第6行 B第7行C第8行 D第9行(2)如图，在杨辉三角中，斜线AB上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1,2,3,3,6,4,10，记这个数列的前n项和为S(n)，则S(16)等于()A144 B146C164 D461解析(1)由题意，第6行为1 6 15 20 15 6 1，第7行为1 7 21 35 35 21 7 1，故第7行除去两端数字1以外，均能被7整除(2)由题干图知，数列中的首项是C，第2项是C，第3项是C，第4项是C，第

4、15项是C，第16项是C.所以S(16)CCCCCC(CCC)(CCC)(CCCCC)(CCC)CC1164.答案(1)B(2)C解决与杨辉三角有关的问题的一般思路(1)观察：对题目进行多角度观察，找出每一行的数与数之间，行与行之间的数的规律(2)表达：将发现的规律用数学式子表达(3)结论：由数学表达式得出结论活学活用如图， 在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第_行中从左到右第14与第15个数的比为23.解析：由杨辉三角知，第一行中的数是C，C；第2行中的数是C，C，C；第3行中的数是C，C，C，C，第n行中的数是C，C，C，C.设第n行中从左到右第14与第15个数的比为23，则CC23，解之

5、得n34.答案：34求展开式的系数和典例设(12x)2 016a0a1xa2x2a2 016x2 016(xR)(1)求a0a1a2a2 016的值(2)求a1a3a5a2 015的值(3)求|a0|a1|a2|a2 016|的值解(1)令x1，得a0a1a2a2 016(1)2 0161.(2)令x1，得a0a1a2a2 01632 016.得2(a1a3a2 015)132 016，a1a3a5a2 015.(3)Tr1C (2x)r(1)rC(2x)r，a2k10(kN*)，a2k0(kN*)|a0|a1|a2|a3|a2 016|a0a1a2a3a2 01632 016.二项展开式中系

6、数和的求法(1)对形如(axb)n, (ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.活学活用已知(12x)7a0a1xa2x2a7x7，求：(1)a1a2a7；(2)a1a3a5a7，a0a2a4a6.解：(1)(12x)7a0a1xa2x2a7x7，令x1，得a0a1a2a71，令x0，得a01，a1

7、a2a72.(2)令x1，得a0a1a2a3a6a7372 187，由，得a1a3a5a71 094，a0a2a4a61 093.求展开式中系数或二项式系数的最大项典例在8的展开式中，(1)求二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项是第几项？解Tr1C()8rr(1)rC2rx4.(1)二项式系数最大的项为中间项，即为第5项，故T5C24x41 120x6.(2)设第r1项系数的绝对值最大，则即整理得于是r5或6.故系数绝对值最大的项是第6项和第7项一题多变1变设问在本例条件下求系数最大的项与系数最小的项解：由本例(1)知， 展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大， 第6项的系数为负，

8、 第7项的系数为正故系数最大的项为T7C26x111 792x11.系数最小的项为T6(1)5C25x1 792x.2变条件，变设问在n的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式中常数项解：由题意知n8，通项为Tk1(1)kC8kx8k，令8k0，得k6，故常数项为第7项，且T7(1)62C7.二项式系数的最大项的求法求二项式系数的最大项，根据二项式系数的性质对(ab)n中的n进行讨论(1)当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大(2)当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大 层级一学业水平达标1关于(ab)10的说法，错误的是()A展开式中的二项式系数之和为1 024B展开式中第6项的二项

9、式系数最大C展开式中第5项或第7项的二项式系数最大D展开式中第6项的系数最小解析：选C根据二项式系数的性质进行判断，由二项式系数的性质知：二项式系数之和为2n，故A正确；当n为偶数时，二项式系数最大的项是中间一项，故B正确，C错误；D也是正确的，因为展开式中第6项的系数是负数，所以是系数中最小的2已知(ab)n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n等于()A11 B10C9 D8解析：选D只有第5项的二项式系数最大，15.n8.3设(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，当a0a1a2an254时，n等于()A5 B6C7 D8解析：选C令x1，则a0a1an222

10、232n，254，n7.4若对于任意实数x，有x3a0a1(x2)a2(x2)2a3(x2)3，则a2的值为()A3 B6 C9D12解析：选Bx32(x2)3，a2C26.5已知C2C22C2nC729，则CCC的值等于()A64 B32C63 D31解析：选BC2C22C2nC(12)n729.n6，CCC32.6设二项式n(nN*)展开式的二项式系数和与各项系数和分别为an，bn，则_.解析：由题意知an2n成等比数列，令x1则bnn也成等比数列，所以2n1.答案：2n17(2x1)10展开式中x的奇次幂项的系数之和为_解析：设(2x1)10a0a1xa2x2a10x10，令x1，得a0

11、a1a2a101，再令x1，得310a0a1a2a3a10，两式相减，可得a1a3a9.答案：8(1)n展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是_解析：因为8CCC32，即82n32.所以n4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T3C ()26x.答案：6x9若(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10.(1)求a1a2a10；(2)求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2.解：(1)令f(x)(x23x2)5a0a1xa2x2a10x10，a0f(0)2532，a0a1a2a10f(1)0，故a1a2a1032.(2)(a0a2a4a6a8a10)2(

12、a1a3a5a7a9)2(a0a1a2a10)(a0a1a2a10)f(1)f(1)0.10已知n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数解：CC2C，整理得n221n980，n7或n14，当n7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，T4的系数为C423；T5的系数为C32470；当n14时，展开式中二项式系数最大项是T8，T8的系数为C7273 432.层级二应试能力达标11(1x)(1x)2(1x)n的展开式的各项系数之和为()A2n1 B2n1C2n11 D2n解析：选C法一：令x1得，12222n2n11.法二：令n1，知各项系数和为3，排除A、B、D选项2在(1x)n(n为正整数)的二项展开式中奇数项的和为A，偶数项的和为B，则(1x2)n的值为()A0 BABCA2B2 DA2B2解析：选C(1x)nAB，(1x)nAB，所以(1x2)nA2B2.3若(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016(xR)，则