完整版八个有趣模型搞定空间几何体地外接球与内切球教师版Word文件下载.docx

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结论1：

长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；

结论2：

若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，

则所得多面体与原长方体的外接球相同；

结论3：

长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之，

就是：

底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；

结论4：

圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；

结论5：

圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；

结论6：

直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；

结论7：

圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；

结论8：

圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；

结论9：

侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球

.

3．终极利器：

勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）；

三、内切球的有关知识与方法

1．若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直

.（与直线切圆的结论有一致性）.

2．内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等

.（类比：

与多边形

的内切圆）.

3．正多面体的内切球和外接球的球心重合.

4．正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.

5．基本方法：

（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；

（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）.

四、与台体相关的，此略.

文档大全

五、八大模型

第一讲柱体背景的模型

类型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）

图1-1

图1-2

图1-3

图1-4

方法：

找三条两两垂直的线段，直接用公式

（

2R）2

a2

b2

c2，即2R

c2，求出R

例1

（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为

4，体积为16，则这个球的表面积是（

）

A．16

．20

．

24

．32

解：

Va2h

16，a2，4R2

h2

441624，S24

，选C；

2

3

，则其外接球的表面积是

9

（）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为

4R2

333

9，S4R2

9；

（3）在正三棱锥

S

ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM

MN,若侧棱SA

3,则

正三棱锥SABC外接球的表面积是

.36

引理：

正三棱锥的对棱互相垂直.证明如下：

如图（

3）-1，

取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD，AE,CD交于H，连接SH，

则H是底面正三角形

ABC的中心，

SH

平面ABC，

AB，

AC

BC，AD

BD，

CD

AB，

AB平面SCD，

AB

SC，同理：

BCSA，AC

SB，即正三棱锥的对棱互垂直，

本题图如图（3）-2，

AM

MN

，SB//MN，

SB，

ACSB，

SB

平面SAC，

SA，SB

SC，SBSA，BC

SA，

AC

DHE

（3）题-1（引理）

SA平面SBC，SASC，

故三棱锥SABC的三棱条侧棱两两互相垂直，

（3）题-2（解答图）

（2R）2（23）2（23）2（23）236，即4R236，正三棱锥

SABC外接球的表面积是36.

（4）在四面体S

ABC中，SA

平面ABC，BAC

120,SA

2,AB

1,则该四面体的外接

球的表面积为（

D）

A.11

B.7

C.10

D.40

在

ABC中，BC2

AC2

AB2

2ABBC

cos120

7，BC

7，

ABC的外接球直径为

2r

BC

7

27

，

（2R）2

（2r）2

SA2

）2

4

40

，S

，选D

sinBAC

（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为

6

、

、3

，那么它的外接球的表面积是

由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为

a,b,c（a,b,cR），则

ab

12

bc

8

abc

24，

3，b

4，c

2，（2R）2

c2

29，S

4R2

29，

ac

（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为

1的等腰直角三角形和边长为

1的正方形，则该几

何体外接球的体积为

（2R）2

3，R2

3，R

V球

R3

33

（6）题图

（6）题直观图

类型二、对棱相等模型（补形为长方体）

题设：

三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ABCD，ADBC，ACBD）

第一步：

画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；

第二步：

设出长方体的长宽高分别为a,b,c，ADBCx，

x

y，ACBD

z，列方程组，

a2

b2

x2

y2

z2

y2

补充：

图2-1中，VABCD

1abc

1abc.

y

z

图2-1

第三步：

根据墙角模型，2Ra

2x2

x2

，R

求出R.

思考：

如何求棱长为a的正四面体体积，如何求其外接球体积？

例2

（1）如下图所示三棱锥

ABCD，其中ABCD

5,ACBD

6,AD

7,则该三棱锥外接

球的表面积为

对棱相等，补形为长方体，如图

2-1，设长宽高分别为

a,b,c，2（a2

c2）

253649110，

55，4R2

55，S55

BD

（1）题图

（2）在三棱锥

BCD中，AB

2，ADBC3，AC

BD

4，则三棱锥ABCD外接

29

如图2-1，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为

a,b,c，则a2

9，

4，c2

16

2（a2

c2）941629，2（a2

c2）941629，

29，4R2

29，S

（3）正四面体的各条棱长都为

2，则该正面体外接球的体积为

（3）解答题

正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，

2R3

，R

，V

（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三

角形（正四面体的截面）的面积是.

（4）题

（4）题解答图

如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO1，面积是2.

类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）

C1

A1

O2

B1

O1

图3-1图3-2图3-3

如图3-1，图3-2，图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）

确定球心

O的位置，O1是

ABC的外心，则OO1

平面

ABC；

算出小圆

O1的半径AO1

r，OO1

1AA1

1h（AA1

h也是圆柱的高）；

勾股定理：

OA2

O1A2

O1O2

R2

（h）2

r2

R

（h）2，解出R

例3

（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，

且该六棱柱的体积为9，底面周长为3，则这个球的体积为

1

设正六边形边长为a，正六棱柱的高为h，底面外接圆的半径为r，则a，

正六棱柱的底面积为

3

（1）2

，V柱Sh

3h

h

3，4

（3）2

也可R2

（1）2

1），R

1，球的体积为V球

；

（2）直三棱柱ABC

A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若

AA1

2,

BAC

120，则此

球的表面积等于

BC

23

4，r2，R

5，S20；

，2r

sin120

（3）已知

EAB所在的平面与矩形

ABCD所在的平面互相垂直，

r1

EAEB3,AD2,AEB60，则多面体E

ABCD的外接球

的表面积为

折叠型，

（3）题

法一：

EAB的外接圆半径为r1

，OO1

2；

法二：

O1M

，r2

O2D

13

，R2

4，R

2，S表

法三：

补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略

.换一种方式，通过算圆柱

的轴截面的对角线长来求球的直径：

（2

3）2

22

表

（4）在直三棱柱ABC

A1B1C1中，AB

4,AC

6,A

AA1

4，则直三棱柱ABC

A1B1C1的外接

160

BC2

36

24

28，BC2

7，2r

47

，r

（AA1）2

28

，S表

求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.

第二讲锥体背景的模型

类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通法）

图4-1

图4-2

图4-3

图4-4

1．如图4-1，平面PAC

平面ABC，且AB

BC（即AC为小圆的直径），且P的射影是

ABC的外

心

三棱锥P

ABC的三条侧棱相等

三棱P

ABC的底面

ABC在圆锥的底上，顶点

P点也是圆

锥的顶点.

解题步骤：

O的位置，取

ABC的外心O1，则P,O,O1三点共线；

先算出小圆

O1的半径

AO1r，再算出棱锥的高PO1

h（也是圆锥的高）；

（h

R）2

r2，解出R；

事实上，ACP的外接圆就是大圆，直接用

正弦定理也可求解出R.

2．如图4-2，平面PAC

BC（即AC为小圆的直径），且PA

AC，则

利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：

①

PA2

2R

PA2

（2r）2；

②R2

OO12

Rr2

3．如图4-3，平面PAC

BC（即AC为小圆的直径）

OC2

O1C2

O1O2

AC2R2

4．题设：

如图4-4，平面

PAC

易知球心

O必是

PAC的外心，即

PAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径

2r；

PAC中，可根据正弦定理

2R，求出

R.

sinB

sinC

sinA

例4

（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，

若该棱锥的高为1

，底面边长为2

3，则该球的表面积为.

由正弦定理（用大圆求外接球直径）

找球心联合勾股定理，

7，S

49

（2）正四棱锥S

ABCD的底面边长和各侧棱长都为

2，各顶点都在同一球面上，则此球体积为

方法一：

找球心的位置，易知r

1，h

1，h

r，故球心在正方形的中心

ABCD处，R

1，V