广东省高考数学圆锥曲线的反思与探索.doc
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一、求轨迹方程的常见方法
1、直接法：
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
例1.已知点、动点满足，则点的轨迹为（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
2、定义法：
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
C
B
y
x
O
A
例2.已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
y
Q
O
x
N
P
3、代入法：
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例3.如图，从双曲线上一点引直线
的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.
4、几何法：
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4.已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.
5、参数法：
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5.过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.
x
A1
A2
O
y
N
M
P
6、交轨法:
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6.如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
二、圆锥曲线的最值问题
方法1：
定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
例1、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为（1,4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
方法2：
数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：
①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．
例2、求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
方法3：
参数法（函数法）
①选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值.
例3、在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
方法4：
基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．
例4、求椭圆＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．
三、圆锥曲线的范围问题
方法1：
曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
例1、已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中的取值范围是________．
方法2：
判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零，再结合曲线性质求解．
例2、在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,）且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？
如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
五、圆锥曲线的定值、定点问题
方法1：
特殊到一般法：
根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题
①根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
方法2：
引进参数法：
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点（或值）即是定点（或定值）.
①引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点
例、已知双曲线C：
x2－＝1，过圆O：
x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲线于A，B两点，证明：
∠AOB的大小为定值．
答案：
一、求轨迹方程的常见方法
1、直接法：
当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
例1.已知点、动点满足，则点的轨迹为（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
解：
，.
由条件，，整理得，此即点的轨迹方程，所以的轨迹为抛物线，选D.
2、定义法：
定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
C
B
y
x
O
A
例2.已知中，、、的对边分别为、、，若依次构成等差数列，且，，求顶点的轨迹方程.
解：
如右图，以直线为轴，线段的中点为原点建立直角坐标系.
由题意，构成等差数列，，即，
又，的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，，，故的轨迹方程为.
y
Q
O
x
N
P
3、代入法：
当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点的坐标来表示，再代入到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点的轨迹方程，称之代入法，也称相关点法、转移法.
例3.如图，从双曲线上一点引直线
的垂线，垂足为，求线段的中点的轨迹方程.
解：
设，则.在直线上，
①又得即.②
联解①②得.又点在双曲线上，，化简整理得：
，此即动点的轨迹方程.
4、几何法：
几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4.已知点、，过、作两条互相垂直的直线和，求和的交点的轨迹方程.
解：
由平面几何知识可知，当为直角三角形时，点的轨迹是以为直径的圆.此圆的圆心即为的中点，半径为，方程为.故的轨迹方程为.
5、参数法：
参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得到间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5.过抛物线（）的顶点作两条互相垂直的弦、，求弦的中点的轨迹方程.
解：
设，直线的斜率为，则直线的斜率为.直线OA的方程为，由解得，即，同理可得.由中点坐标公式，得，消去，得，此即点的轨迹方程.
x
A1
A2
O
y
N
M
P
6、交轨法:
求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6.如右图，垂直于轴的直线交双曲线于、两点，为双曲线的左、右顶点，求直线与的交点的轨迹方程，并指出轨迹的形状.
解：
设及，又，可得：
直线的方程为①；直线的方程为②.
①②得③.
又，代入③得，化简得，
此即点的轨迹方程.当时，点的轨迹是以原点为圆心、为半径的圆；当时，点的轨迹是椭圆
二、圆锥曲线的最值问题
方法1：
定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化为距离问题求解．
例1、已知点F是双曲线－＝1的左焦点，定点A的坐标为（1,4），P是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．
解析：
如图所示，根据双曲线定义|PF|－|PF′|＝4，即|PF|－4＝|PF′|.又|PA|＋|PF′|≥|AF′|＝5，将|PF|－4＝|PF′|代入，得|PA|＋|PF|－4≥5，即|PA|＋|PF|≥9，等号当且仅当A，P，F′三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|＋|PA|的最小值为9.
方法2：
数形结合（切线法）
当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离的最值时：
①求与直线平行的圆锥曲线的切线；②求出两平行线的距离即为所求的最值．
例2、求椭圆＋y2＝1上的点到直线y＝x＋2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标．
解：
设椭圆的切线方程为y＝x＋b，代入椭圆方程，得3x2＋4bx＋2b2－2＝0.
由Δ＝（4b）2－4×3×（2b2－2）＝0，得b＝±.
当b＝时，直线y＝x＋与y＝x＋2的距离d1＝，
将b＝代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝－，此时y＝，
即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最小，最小值是；
当b＝－时，直线y＝x－到直线y＝x＋2的距离d2＝，
将b＝－代入方程3x2＋4bx＋2b2－2＝0，解得x＝，此时y＝－，
即椭圆上的点到直线y＝x＋2的距离最大，最大值是.
方法3：
参数法（函数法）
②选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解关于这个参数的函数最值.
例3、在平面直角坐标系xOy中，点P（x，y）是椭圆＋y2＝1上的一个动点，则S＝x＋y的最大值为________．
解析：
因为椭圆＋y2＝1的参数方程为（φ为参数）．故可设动点P的坐标为（cosφ，sinφ），其中0≤φ＜2π.因此S＝x＋y＝cosφ＋sinφ＝2＝2sin，所以，当φ＝时，S取最大值2.
方法4：
基本不等式法①将最值用变量表示．②利用基本不等式求得表达式的最值．
例4、求椭圆＋y2＝1内接矩形ABCD面积的最大值．答案：
矩形ABCD面积的最大值为2.
三、圆锥曲线的范围问题
方法1：
曲线几何性质法①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解．
例1、已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线中的取值范围是________．答案：
方法2：
判别式法
当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程的判别式大于零、等于零、小于零，再结合曲线性质求解．
例2、在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,）且斜率为k的直线l与椭圆＋y2＝1有两个不同的交点P和Q.
（1）求k的取值范围；
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A，B，是否存在常数m，使得向量＋与共线？
如果存在，求m值；如果不存在，请说明理由．
解
（1）由已知条件，知直线l的方程为y＝kx＋，
代入椭圆方程，得＋（kx＋）2＝1，整理得x2＋2kx＋1＝0.①
由直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q，得Δ＝8k2－4＝4k2－2＞0，
解得k＜－或k＞，即k的取值范围为∪.
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则＋＝（x1＋x2，y1＋y2）．
由方程①，知x1＋x2＝－.②又y1＋y2＝k（x1＋x2）＋2＝.③
由A（，0），B（0,1），得＝（－，1）．所以＋与共线等价于x1＋x2＝－（y1＋y2），
将②③代入，解得k＝.由
（1）知k＜－或k＞，
五、圆锥曲线的定值、定点问题
方法1：
特殊到一般法：
根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题
②根据特殊情况确定出定值或定点；②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明．
方法2：
引进参数法：
定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关系的点（或值）即是定点（或定值）.
②引进参数表示变化量；②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点
例、已知双曲线C：
x2－＝1，过圆O：
x2＋y2＝2上任意一点作圆的切线l，若l交双曲
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