（2）、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：
①临界条件：
由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度
v临界=0.
②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是
当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；
当0N>0.
当v=时，N=0；
当v>时，杆对小球有指向圆心的拉力，其大小随速度的增大而增大.
③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是
当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.
当0N>0.
当v=时，N=0.
当v>时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力，其大小随速度的增大而增大.
④图（c）的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的v临界=.当v>时，小球将脱离轨道做平抛运动.
在竖直平面内作圆周运动的临界问题
⑴如图1、图2所示，没有物体支承的小球，在竖直平面作圆周运动过最高点的情况
R 绳
图 1
v0
v
R
图 2
v
O
R 杆
图 3
①临界条件：
绳子或轨道对小球没有力的作用
v临界＝
②能过最高点的条件：
v≥，当v＞时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力。
③不能过最高点的条件：
v＜v临界（实际上球没到最高点时就脱离了轨道）。
⑵如图3所示情形，小球与轻质杆相连。
杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg
②当0＜v＜时，N为支持力，有0＜N＜mg，且N随v的增大而减小
③当v＝时，N＝0
④当v＞，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增大
例题:
轻杆长为2L，水平转轴装在中点O，两端分别固定着小球A和B。
A球质量为m，B球质量为2m，在竖直平面内做圆周运动。
⑴当杆绕O转动到某一速度时，A球在最高点，如图所示，此时杆A点恰不受力，求此时O轴的受力大小和方向；
⑵保持⑴问中的速度，当B球运动到最高点时，求O轴的受力大小和方向；
⑶在杆的转速逐渐变化的过程中，能否出现O轴不受力的情况？
请计算说明。
解析：
⑴A端恰好不受力，则，B球：
由牛顿第三定律，B球对O轴的拉力，竖直向下。
⑵杆对B球无作用力，对A球由牛顿第三定律，A球对O轴的拉力，竖直向下。
⑶若B球在上端A球在下端，对B球：
，对A球：
，联系得。
若A球在上端，B球在下端，对A球：
，对B球：
，联系得显然不成立，所以能出现O轴不受力的情况，此时。
2，水平面内：
30°
45°
A
B
C
图 6
在水平面上做圆周运动的物体，当角速度ω变化时，物体有远离或向着圆心运动的（半径有变化）趋势。
这时，要根据物体的受力情况，判断物体受某个力是否存在以及这个力存在时方向朝哪（特别是一些接触力，如静摩擦力、绳的拉力等）。
说明：
一般求解“在什么范围内……”这一类的问题就是要分析
两个临界状态。
小结
1、解圆周运动的问题时，一定要注意找准圆心，
绳子的悬点不一定是圆心。
2、把临界状态下的某物理量的特征抓住是关键。
如速度的值是多大、某个力恰好存在还是不存在以及这个力的方向如何。
（1）拉力：
①假设法：
假设两绳均受拉力作用，所得值为正，证明绳子拉紧；所得值为负，证明绳子松弛。
例题:
如右下图所示，直角架ABC的AB边为竖直杆，BC边为水平杆，B点和C点各系一细绳，共同吊着一个质量为1kg的小球于D点，且BD⊥CD，∠ABD=30º,BD=40cm,当直角架以AB为轴，以10rad/s的角速度转动时，求细绳BD、CD所受拉力各为多少？
（g=9.8m/s2）
如图所示，直角架ABC和AB连在竖直方向上，B点和C点各系一细绳，两绳共吊着一个质量1千克的小球于D点，且BD^CD，ÐABD=300，BD=40厘米，当直角架以AB为轴，以10弧度/秒的角速度匀速转动时，绳BD的张力为_______牛，绳CD的张力为_______牛。
解析1：
（假设法）
∴
∴CD绳已松弛，
解析2：
（分析法）
临界条件：
∴CD绳已松弛
②极限法：
分别求出一绳拉紧，与一绳松弛的临界条件。
例题:
（开放题）如下图所示，两绳系一质量为m=0.1kg的小球，上面绳长L=2m，两端都拉直时与轴的夹角分别为30°与45°，问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧；当角速度为3rad/s时，上、下两绳拉力分别为多大？
［解析］①当角速度很小时，AC和BC与轴的夹角都很小，BC并不张紧。
当逐渐增大，BC刚被拉直（这是一个临界状态），但BC绳中的张力仍然为零，设这时的角速度为，则有
将已知条件代入上式解得
②当角速度继续增大时减小，增大。
设角速度达到时，（这又是一个临界状态），则有
将已知条件代入上式解得
所以当满足时，AC、BC两绳始终张紧。
本题所给条件，此时两绳拉力、都存在。
将数据代入上面两式解得，
注意：
解题时注意圆心的位置（半径的大小）。
如果时，，则AC与轴的夹角小于。
如果，，则BC与轴的夹角大于45°。
例题2.如下图所示，两绳系一个质量为m＝0.1kg的小球，两绳的另一端分别固定于轴的A、B两处，上面绳长L＝2m,两绳都拉直时与轴夹角分别为30°和45°。
问球的角速度在什么范围内，两绳始终张紧？
解析：
两绳张紧时，小球受的力如上图所示，当ω由0逐渐增大时，ω可能出现两个临界值。
（1）BC恰好拉直，但F2仍然为零，设此时的角速度为ω1，则有
Fx＝F1sin30°＝mω12Lsin30° ①
Fy＝F1cos30°－mg＝0 ②
代入已知解①②得，ω1＝2.40rad/s.
（2）AC由拉紧转为恰好拉直，但F1已为零，设此时的角速度为ω2，则有
Fx＝F2sin45°＝mω22Lsin30° ③
Fy＝F2cos45°－mg＝0 ④
代入已知解③④得ω2＝3.16rad/s.
可见，要使两绳始终张紧，ω必须满足2.40rad/s≤ω≤3.16rad/s.
两绳系一个的小球，两绳另两端分别固定于轴上两处，上面绳长，两绳都拉直时与轴之间的夹角分别是问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？
当角速度为时，上下两绳的拉力分别为多少？
（解析：
半径不变时，临界条件是刚好拉直，张力为零，上的张力的分力提供向心力，最小；刚好拉直，张力为零，上的张力的分力提供向心力，最大。
）
练习1：
如图所示，OO/为竖直转轴，MN为固定在OO’上的水平光滑杆。
有两个质量相同的有孔金属球A、B套在水平杆上，AC、BC为抗拉能力相同的两根细线，C端固定在转轴OO/上。
当线拉直时，A、B两球到转轴距离之比为2∶1，当转轴角速度逐渐增大时（A）
O
O/
M
N
A
B
C
A．AC线先断
B．BC线先断
C．两线同时断
D．不能确定哪段先断
答案：
A
练习2：
有一光滑水平板，板的中央有一个小孔，孔内穿入一根光滑轻线，轻线的上端系一质量为M的小球，轻线的下端系着质量分别为m1和m2的两个物体，当小球在光滑水平板上沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时，轻线下端的两个物体都处于静止状态（如图6-25）.若将两物体之间的轻线剪断，则小球的线速度为多大时才能再次在水平板上做匀速率圆周运动？
图6-25
[解析] 该题用定恒观点和转化观点分别解答如下：
解法一 （守恒观点）选小球为研究对象，设小球沿半径为R的轨道做匀速率圆周运动时的线速度为v0，根据牛顿第二定律有
当剪断两物体之间的轻线后，轻线对小球的拉力减小，不足以维持小球在半径为R的轨道上继续做匀速率圆周运动，于是小球沿切线方向逐渐偏离原来的轨道，同时轻线下端的物体m1逐渐上升，且小球的线速度逐渐减小.假设物体m1上升高度为h，小球的线速度减为v时，小球在半径为（R+h）的轨道上再次做匀速率圆周运动，根据牛顿第二定律有
升级会员 