天津专用高考数学总复习专题圆锥曲线分项练习文.doc

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专题09圆锥曲线

一．基础题组

1.【2005天津，文6】设双曲线以椭圆长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲

线的渐近线的斜率为（）

（A）2（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】双曲线的两条渐进线是：

。

根据题意：

，，从而，

本题答案选C

2.【2006天津，文8】椭圆的中心为点它的一个焦点为相应于焦点F的准线方程为则这个椭圆的方程是（）

（A）　　　　（B）

（C）　　　　　（D）

【答案】D

3.【2007天津，文7】设双曲线的离心率为，且它的一条准线与抛物线的准线重合，则此双曲线的方程为（　　）

Ａ． Ｂ．

Ｃ． Ｄ．

【答案】D

4.【2008天津，文7】设椭圆（，）的右焦点与抛物线的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为

（A）（B）　（C）（D）

【答案】B

【解析】抛物线的焦点为，椭圆焦点在轴上，排除A、C，由排除D，选B．

5.【2009天津，文4】设双曲线（a＞0,b＞0）的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为（）

A.B.y＝±2xC.D.

【答案】C

【解析】由题意知:

2b＝2,,则可求得,则双曲线方程为:

故其渐近线方程为.

6.【2010天津，文13】已知双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点与抛物线y2＝16x的焦点相同，则双曲线的方程为__________．

【答案】

【解析】

7.【2011天津，文6】已知双曲线的左顶点与抛物线的焦点的距离为4,且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为（-2,-1）,则双曲线的焦距为

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】由题意知,抛物线的准线方程为,所以,又,所以,又因为双曲线的一条渐近线过点（-2,-1）,所以双曲线的渐近线方程为,即,所以,即,,选B.

8.【2012天津，文11】已知双曲线C1：

（a＞0，b＞0）与双曲线C2：

有相同的渐近线，且C1的右焦点为F（，0），则a＝__________，b＝__________．

【答案】1　2

【解析】∵C1与C2的渐近线相同，∴．

又C1的右焦点为F（，0），∴，即a2＋b2＝5．

∴a2＝1，b2＝4，∴a＝1，b＝2．

9.【2013天津，文11】已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线（a＞0，b＞0）的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为__________．

答案

【解析】抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为（－2,0），即c＝2，离心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为.

10.【2014天津，文6】已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）

A.B.C.D.

【答案】A

【解析】A

考点：

双曲线的渐近线

11.【2015高考天津，文5】已知双曲线的一个焦点为,且双曲线的渐近线与圆相切,则双曲线的方程为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【解析】由双曲线的渐近线与圆相切得,由,解得,故选D.

【考点定位】圆与双曲线的性质及运算能力.

12.【2016高考天津文数】已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为

（A）（B）

（C）（D）

【答案】A

【解析】

【考点】双曲线

【名师点睛】求双曲线的标准方程的关注点：

（1）确定双曲线的标准方程需要一个“定位”条件，两个“定量”条件，“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．

（2）利用待定系数法求双曲线的标准方程时应注意选择恰当的方程形式，以避免讨论．

①若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1（AB＜0）．

②若已知渐近线方程为mx＋ny＝0，则双曲线方程可设为m2x2－n2y2＝λ（λ≠0）．

二．能力题组

1.【2011天津，文18】18.（本小题满分13分）

设椭圆的左、右焦点分别为,点满足.

（Ⅰ）求椭圆的离心率;

（Ⅱ）设直线与椭圆相交于A,B两点.若直线与圆相交于M,N两点,且|MN|=|AB|,求椭圆的方程.

【答案】

（1）

（2）

2.【2012天津，文19】已知椭圆a＞b＞0），点P（，）在椭圆上．

（1）求椭圆的离心率；

（2）设A为椭圆的左顶点，O为坐标原点．若点Q在椭圆上且满足|AQ|＝|AO|，求直线OQ的斜率的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】解：

（1）因为点P（，）在椭圆上，故，可得．

于是，所以椭圆的离心率．

（2）设直线OQ的斜率为k，则其方程为y＝kx，设点Q的坐标为（x0，y0）．

由条件得消去y0并整理得

．①

由|AQ|＝|AO|，A（－a,0）及y0＝kx0，得（x0＋a）2＋k2x02＝a2，整理得（1＋k2）x02＋2ax0＝0，而x0≠0，故，代入①，整理得（1＋k2）2＝4k2·＋4．

由

（1）知，故（1＋k2）2＝k2＋4，

即5k4－22k2－15＝0，可得k2＝5．

所以直线OQ的斜率．

3.【2013天津，文18】设椭圆（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；

（2）设A，B分别为椭圆的左、右顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若·＋·＝8，求k的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】解：

（1）设F（－c,0），由，知.

（2）设点C（x1，y1），D（x2，y2），由F（－1,0）得直线CD的方程为y＝k（x＋1），

由方程组消去y，整理得（2＋3k2）x2＋6k2x＋3k2－6＝0.

求解可得x1＋x2＝，x1x2＝.

因为A（，0），B（，0），

所以·＋·

＝（x1＋，y1）·（－x2，－y2）＋（x2＋，y2）·（－x1，－y1）

＝6－2x1x2－2y1y2

＝6－2x1x2－2k2（x1＋1）（x2＋1）

＝6－（2＋2k2）x1x2－2k2（x1＋x2）－2k2

＝.

由已知得＝8，

解得k＝.

4.【2014天津，文18】设椭圆的左、右焦点分别为,，右顶点为A，上顶点为B.已知=.

（1）求椭圆的离心率；

（2）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点，经过点的直线与该圆相切与点M，=.求椭圆的方程.

【答案】

（1）

（2）

【解析】

，因为点P在椭圆上，故，消可得，而点P不是椭圆的顶点，故，即点P的坐标为设圆的圆心为，则再由得，即所以所求椭圆的方程为

试题解析：

解

（1）设椭圆右焦点的坐标为（c,0），由，可得，又，则所以椭圆离心率为

（2）由

（1）知故椭圆方程为，设，解得，所以所求椭圆的方程为

考点：

椭圆离心率，椭圆方程

三．拔高题组

1.【2005天津，文22】抛物线的方程为，过抛物线上的一点作斜率为的两条直线分别交抛物线于两点（三点互不相同），且满足．

（I）求抛物线的焦点坐标和准线方程；

（II）设直线上一点，满足，证明线段的中点在轴上；

（III）当时，若点的坐标为（1，－1），求为钝角时点的纵坐标的取值范围．

【答案】（Ⅰ）详见解析，（Ⅱ）详见解析，（Ⅲ）详见解析.

【解析】证明：

（I）由于函数定义，对任意整数，有

（II）函数在R上可导，①

令，得：

若，则，这与矛盾，所以。

当时，②

因此时的符号与时的符号相反

综合以上，得：

的每一个根都是的极值点③

由得，当时，，即对于时，④

综合③、④：

对于任意，

由：

和，得：

⑤

又：

，

但时，⑥

综合⑤、⑥得：

2.【2006天津，文22】如图，双曲线的离心率为、分别为左、右焦

点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且

（I）求双曲线的方程；

（II）设和是轴上的两点。

过点A作斜率不为0的直线使得交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E。

证明直线DE垂直于轴。

【答案】（I）（II）详见解析

【解析】（I）解：

根据题设条件，

于是、两点坐标满足　　　

将①代入②得

由已知，显然于是因为得

同理，、两点坐标满足

可解得

所以，故直线DE垂直于轴

3.【2007天津，文22】设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点，，原点到直线的距离为．

（Ⅰ）证明；

（Ⅱ）求使得下述命题成立：

设圆上任意点处的切线交椭圆于，两点，则．

【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析；（Ⅲ）

解得，从而得到，

直线的方程为，整理得

．

由椭圆定义得，又，所以

，

解得，而，得，即．

（Ⅱ）解法一：

圆上的任意点处的切线方程为．

当时，圆上的任意点都在椭圆内，故此圆在点处的切线必交椭圆于两个不同的点和，因此点，的坐标是方程组

的解．当时，由①式得

代入②式，得，即

若，则

．

所以，．由，得．在区间内此方程的解为．

当时，必有，同理求得在区间内的解为．

另一方面，当时，可推出，从而．

综上所述，使得所述命题成立．

4.【2008天津，文22】已知中心在原点的双曲线的一个焦点是，一条渐近线的方程是．

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）若以为斜率的直线与双曲线相交于两个不同的点，且线段的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为，求的取值范围．

【答案】（I），（II）．

【解析】（Ⅰ）解：

设双曲线的方程为，由题设得

．整理得

．③

由根与系数的关系可知线段的中点坐标满足

，．

从而线段的垂直平分线的方程为

．

此直线与轴，轴的交点坐标分别为，．由题设可得

5.【2009天津，文22】已知椭圆（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（－c,0）和F2（c,0）（c＞0）,过点E（,0）的直线与椭圆相交于A,B两点,且F1A∥F2B,|F1A|＝2|F2B|.

（1）求椭圆的离心率;

（2）求直线AB的斜率;

（3）设点C与点A关于坐标原点对称,直线F2B上有一点H（m,n）（m≠0）在△AF1C的外接圆上,求的值.

本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力.满分14分.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）

【解析】

（1）解:

由F1A∥F2B且|F1A|＝2|F2B|,得,从而.

整理,得a2＝3c2.故离心率.

.②

由题设知,点B为线段AE的中点,所以

x1+3c＝2x2.③

联立①③解得,.

将x1,x2代入②中,解得.

（3）解法一:

由

（2）可知x1＝0,.

当时,得A（0,c）,由已知得C（0,）.

线段AF1的垂直平分线l的方程为,直线l与x轴的交点（,0）是△AF1C的外接圆的圆心.因此外接圆的方程为.

由已知得C（0,）.

由椭圆的对称性知B,F2,C三点共线.

因为点H（m,n）在△AF1C的外接圆上,且F1A∥F2B,所以四边形AF1CH为等腰梯形.

由直线F2B的方程为,知点H的坐标为（m,）.

因为|AH|＝|CF1|,所以,

解得m＝c（舍）,或.

则.所以.

当时,同理可得.

6.【2010