江苏省南京市届高三上学期学情调研+数学+Word版.docx
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江苏省南京市届高三上学期学情调研+数学+Word版
南京市2018届高三年级学情调研
数学2017.09
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
参考公式：
柱体的体积公式：
V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1．若集合P＝{－1，0，1，2}，Q＝{0，2，3}，则P∩Q＝▲．
2．若（a＋bi）（3－4i）＝25（a，b∈R，i为虚数单位），则a＋b的值为▲．
3．某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150，150，400，300名学生．为了解学生的就业
倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业中抽取40名学生进行调查，则应从丙专业抽
取的学生人数为▲．
4．如图所示的算法流程图，若输出y的值为，则输入
x的值为▲．
5．记函数f（x）＝的定义域为D．若在区间
[－5，5]上随机取一个数x，则x∈D的概率为▲．
6．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦点到
其渐近线的距离为▲．
7．已知实数x，y满足条件则z=3x－2y的最大
值为▲．
8．将一个正方形绕着它的一边所在的直线旋转一周，所得
圆柱的体积为27πcm3，则该圆柱的侧面积为▲cm2.
9．若函数f（x）＝Asin（ωx＋ϕ）（A＞0，ω＞0，|ϕ|＜π）的部分图
象如图所示，则f（－π）的值为▲．
10．记等差数列{an}前n项和为Sn．若am＝10，S2m－1＝110，则m的值为▲．
11．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0]上为单调增函数．若f（－1）＝－2，则满足f（2x－3）≤2的x的取值范围是▲．
12．在△ABC中，AB＝3，AC＝2，∠BAC＝120︒，＝λ．若·＝－，则实数λ
的值为▲．
13．在平面直角坐标系xOy中，若圆（x－2）2＋（y－2）2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的
对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为▲．
14．已知函数f（x）＝若存在唯一的整数x，使得＞0成立，则实数a的取值范围为▲．
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分14分）
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC，E是BC的中点，求证：
（1）平面AB1E⊥平面B1BCC1；
（2）A1C//平面AB1E．
16．（本小题满分14分）
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cosB＝．
（1）若c＝2a，求的值；
（2）若C－B＝，求sinA的值．
17．（本小题满分14分）
某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x人，他们加工完甲型装置所需时间为t1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t2小时．设f（x）＝t1＋t2．
（1）求f（x）的解析式，并写出其定义域；
（2）当x等于多少时，f（x）取得最小值？
18．（本小题满分16分）
如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：
＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点（1，）．过椭圆C的左顶点A作直线交椭圆C于另一点P，交直线l：
x＝m（m＞a）于点M．已知点B（1，0），直线PB交l于点N．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若MB是线段PN的垂直平分线，求实数m的值．
19．（本小题满分16分）
已知函数f（x）＝2x3－3（a+1）x2＋6ax，a∈R．
（1）曲线y＝f（x）在x＝0处的切线的斜率为3，求a的值；
（2）若对于任意x∈（0，+∞），f（x）＋f（－x）≥12lnx恒成立，求a的取值范围；
（3）若a＞1，设函数f（x）在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M（a）、m（a），
记h（a）＝M（a）－m（a），求h（a）的最小值．
20．（本小题满分16分）
已知数列{an}的各项均为正数，记数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，
且3Tn＝Sn2＋2Sn，n∈N*．
（1）求a1的值；
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）若k，t∈N*，且S1，Sk－S1，St－Sk成等比数列，求k和t的值．
南京市2018届高三年级学情调研卷
数学附加题2017.09
注意事项：
1．附加题供选修物理的考生使用．
2．本试卷共40分，考试时间30分钟．
3．答题前，考生务必将自己的姓名、学校写在答题卡上．试题的答案写在答题卡上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题卡．
21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．选修4—1：
几何证明选讲
如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，
DA＝DC．求证：
CA＝3CB．
B．选修4—2：
矩阵与变换
设二阶矩阵A＝．
（1）求A－1；
（2）若曲线C在矩阵A对应的变换作用下得到曲线C'：
6x2－y2＝1，求曲线C的方程．
C．选修4—4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），圆C的参数方程为（θ为参数）．若直线l与圆C相切，求实数a的值．
D．选修4—5：
不等式选讲
解不等式：
|x－2|＋|x＋1|≥5．
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
22．（本小题满分10分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，AD∥BC，AP＝AB＝AD
＝1．
（1）若直线PB与CD所成角的大小为，求BC的长；
（2）求二面角B－PD－A的余弦值．
23．（本小题满分10分）
袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球．
（1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；
（2）在
（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X，求随机变量X的概率分布与数学期望．
南京市2018届高三年级学情调研
数学参考答案及评分标准
说明：
1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
4．只给整数分数，填空题不给中间分数．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.）
1．{0，2}2．73．164．－5．
6．37．68．18π9．－110．6
11．（－∞，2]12．13．－14．[0，2]∪[3，8]
二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
证明：
（1）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．
因为AE⊂平面ABC，
所以CC1⊥AE．……………2分
因为AB＝AC，E为BC的中点，所以AE⊥BC．
因为BC⊂平面B1BCC1，CC1⊂平面B1BCC1，
且BC∩CC1＝C，
所以AE⊥平面B1BCC1．………………5分
因为AE⊂平面AB1E，
所以平面AB1E⊥平面B1BCC1.……………………………7分
（2）连接A1B，设A1B∩AB1＝F，连接EF．
在直三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形AA1B1B为平行四边形，
所以F为A1B的中点．……………………………9分
又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分
因为EF⊂平面AB1E，A1C⊄平面AB1E，
所以A1C∥平面AB1E.……………………………14分
16．（本小题满分14分）
解：
（1）解法1
在△ABC中，因为cosB＝，所以＝．………………………2分
因为c＝2a，所以＝，即＝，
所以＝．……………………………4分
又由正弦定理得＝，
所以＝．……………………………6分
解法2
因为cosB＝，B∈（0，π），所以sinB＝＝．………………………2分
因为c＝2a，由正弦定理得sinC＝2sinA，
所以sinC＝2sin（B＋C）＝cosC＋sinC，
即－sinC＝2cosC．………………………4分
又因为sin2C＋cos2C＝1，sinC＞0，解得sinC＝，
所以＝．………………………6分
（2）因为cosB＝，所以cos2B＝2cos2B－1＝．…………………………8分
又0＜B＜π，所以sinB＝＝，
所以sin2B＝2sinBcosB＝2××＝．…………………………10分
因为C－B＝，即C＝B＋，所以A＝π－（B＋C）＝－2B，
所以sinA＝sin（－2B）
＝sincos2B－cossin2B………………………………12分
＝×－（－）×
＝．…………………………………14分
17．（本小题满分14分）
解：
（1）因为t1＝，………………………2分
t2＝＝，………………………4分
所以f（x）＝t1＋t2＝＋，………………………5分
定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分
（2）f（x）＝1000（＋）＝10[x＋（100－x）]（＋）
＝10[10＋＋]．………………………10分
因为1≤x≤99，x∈N*，所以＞0，＞0，
所以＋≥2＝6，…………………12分
当且仅当＝，即当x＝75时取等号．…………………13分
答：
当x＝75时，f（x）取得最小值．………………………14分
18．（本小题满分16分）
解：
（1）因为椭圆C的离心率为，所以a2＝4b2．………………………2分
又因为椭圆C过点（1，），所以＋＝1，………………………3分
解得a2＝4，b2＝1．
所以椭圆C的方程为＋y2＝1．………………………5分
（2）解法1
设P（x0，y0），－2＜x0＜2，x0≠1，则＋y02＝1．
因为MB是PN的垂直平分线，所以P关于B的对称点N（2－x0，－y0），
所以2－x0＝m．………………………7分
由A（－2，0），P（x0，y0），可得直线AP的方程为y＝（x＋2），
令x＝m，得y＝，即M（m，）．
因为PB⊥MB，所以kPB·kMB＝－1，
所以kPB·kMB＝·＝－1，………………………10分
即＝－1．
因为＋y02＝1．所以＝1．………………………12分
因为x0＝2－m，所以化简得3m2－10m＋4＝0，
解得m＝．………………………15分
因为m＞2，所以m＝．………………………16分
解法2
①当AP的斜率不
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