华师大版九年级上册第22章《一元二次方程》单元测试题 解析版Word格式文档下载.docx

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二．填空题（共6小题，满分24分，每小题4分）

11．若关于x的方程

+3x+5＝0是一元二次方程，则a应满足　　．

12．方程x2＝2020x的解是　　．

13．已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，则a＝　　．

14．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，则m的值是　　．

15．用一根20m长的绳子围成一个面积为24m2矩形，则矩形的长与宽分别是　　．

16．关于x的一元二次方程mx2﹣（3m﹣1）x+2m﹣1＝0．其根的判别式的值为1，则该方程的根为

　　．

三．解答题（共8小题，满分66分）

17．（12分）解方程

（1）（2x﹣5）2＝9

（2）x2﹣4x＝96

（3）x2﹣9x﹣8＝0（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）

18．（6分）今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利1元销售，每天可售出200个，如果每个口罩的售价上涨0.5元，则销售量就减少10件，问应将每个口罩涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元？

19．（7分）已知：

△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5．

（1）k为何值时，△ABC是等腰三角形？

并求△ABC的周长．

（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

20．（7分）某玩具销售商试销某一品种的玩具（出厂价为每个30元），以每个40元销售时，平均每月可销售100个，现为了扩大销售，销售商决定降价销售，在原来1月份平均销售量的基础上，经2月份的试场调查，3月份调整价格后，月销售额达到5760元，已知该玩具价格每个下降1元，月销售量将上升10个．

（1）求1月份到3月份销售额的月平均增长率．

（2）求三月份时该玩具每个的销售价格．

21．（8分）如果x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）两根，那么x1+x2＝﹣

，x1•x2＝

，这就是著名的韦达定理．

已知m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，不解方程计算：

（1）

+

；

（2）

．

22．（8分）目前，某镇正在为小城市建设做着不懈努力，镇政府决定在新城区政府大楼前建设一块个长a米，宽b米的长方形草坪，并计划在该草坪场上修筑宽都为2米的两条互相垂直的人行道（如图）．

（1）用含a，b的代数式表示两条人行道的总面积；

（2）若已知a：

b＝3：

2，并且四块草坪的面积之和为2204平方米，试求原长方形的长与宽各为多少米？

23．（9分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k＝0．

（1）证明：

无论k取任何实数，方程总有实数根．

（2）若

，求k的值．

（3）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

24．（9分）阅读探究：

“任意给定一个矩形A，是否存在另一个矩形B，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？

”（完成下列空格）

（1）当已知矩形A的边长分别为6和1时，小亮同学是这样研究的：

设所求矩形的两边分别是x和y，由题意得方程组

，消去y化简得：

2x2﹣7x+6＝0，

∵b2﹣4ac＝49﹣48＞0，∴x1＝　　，x2＝　　，

∴满足要求的矩形B存在．

（2）如果已知矩形A的边长分别为2和1，请你仿照小亮的方法研究是否存在满足要求的矩形B．

（3）如果矩形A的边长为m和n，请你研究满足什么条件时，矩形B存在？

参考答案

1．解：

A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．

B、它不是方程，故本选项不符合题意．

C、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．

D、当a＝0时，该方程不是关于x的一元二次方程，故本选项不符合题意．

故选：

C．

2．解：

方程2x2+4x﹣3＝0的二次项系数是2，一次项系数是4、常数项是﹣3，

D．

3．解：

∵x2﹣4x﹣9＝0，

∴x2﹣4x＝9，

则x2﹣4x+4＝9+4，即（x﹣2）2＝13，

B．

4．解：

由题意知△＝（﹣2）2﹣4×

1×

（﹣k）≥0，

解得：

k≥﹣1，

5．解：

∵k是一元二次方程x2+7x﹣1＝0的一个根，

∴x＝k满足该方程，即k2+7k﹣1＝0，

解得k2+7k＝1．

∴2k2+14k+2016＝2（k2+7k）+2016＝2018

6．解：

△＝（﹣2）2﹣4×

（﹣5）＝24，

x＝

＝1±

，

所以x1＝1+

A．

7．解：

两边平方，得x+1＝x2﹣10x+25，

即x2﹣11x+24＝0，

（x﹣3）（x﹣8）＝0，

则x﹣3＝0，x﹣8＝0，

x＝3或8．

检验：

当x＝3时，左边＝2，右边＝2，则左边＝右边，则x＝3是方程的解；

当x＝8时，左边＝3，右边＝﹣3，则x＝8不是方程的解．

总之，方程的解是x＝3．

8．解：

∵α，β是方程x2+x﹣2＝0的两个根，

∴α+β＝﹣1，αβ＝﹣2，

∴原式＝﹣1﹣（﹣2）＝1．

9．解：

由题意，得

n2+n+1＝931，

10．解：

∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，

∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，

x＝﹣1或3，

即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，

11．解：

是方程

二次项，即a2﹣1＝2，a2＝3，

∴a＝±

12．解：

∵x2﹣2020x＝0，

∴x（x﹣2020）＝0，

则x＝0或x﹣2020＝0，

解得x1＝0，x2＝2020，

故答案为：

x1＝0，x2＝2020．

13．解：

∵关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣2x+a2﹣9＝0的常数项是0，

∴a2﹣9＝0，即a＝3或a＝﹣3，

当a＝3时，方程为﹣2x＝0，不符合题意，

则a＝﹣3．

﹣3．

14．解：

∵x1，x2是关于x的方程x2﹣（m﹣1）x﹣m＝0的两个根，且x1+x2＝3，

∴m﹣1＝3，

∴m＝4．

4．

15．解：

设矩形的长为xm，则宽为

m，

依题意，得：

x•

＝24，

整理，得：

x2﹣10x+24＝0，

x1＝6，x2＝4．

∵x≥

∴x≥5，

∴x＝6，

＝4．

6m，4m．

16．解：

根据题意△＝（3m﹣1）2﹣4m（2m﹣1）＝1，

解得m1＝0，m2＝2，

而m≠0，

∴m＝2，

此时方程化为2m2﹣5x+3＝0，

（2x﹣3）（x﹣1）＝0，

∴x1＝

，x2＝1．

故答案为x1＝

17．解：

（1）（2x﹣5）2＝9，

2x﹣5＝±

3，

所以x1＝1，x2＝4；

（2）x2﹣4x＝96，

x2﹣4x﹣96＝0，

（x﹣12）（x+8）＝0

所以x1＝12，x2＝﹣8；

（3）x2﹣9x﹣8＝0，

∵a＝1，b＝﹣9，c＝﹣8，△＝（﹣9）2﹣4×

（﹣8）＝113，

∴x＝

所以x1＝

，x2＝

（4）3（x﹣2）2＝x（x﹣2）

3（x﹣2）2﹣x（x﹣2）＝0，

（x﹣2）（3x﹣6﹣x）＝0，

所以x1＝2，x2＝3．

18．解：

设应将每个口罩涨价x元，则每天可售出（200﹣10×

）件，

（1+x）（200﹣10×

）＝480，

化简，得：

x2﹣9x+14＝0，

x1＝2，x2＝7．

又∵要让顾客得到实惠，

∴x＝2．

答：

应将每个口罩涨价2元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为480元．

19．解：

（1）∵△ABC是等腰三角形；

∴当AB＝AC时，△＝b2﹣4ac＝0，

∴（2k+3）2﹣4（k2+3k+2）＝0，

4k2+12k+9﹣4k2﹣12k﹣8＝0，

方程无解，

k不存在；

当AB＝BC时，即AB＝5，

∴5+AC＝2k+3，5AC＝k2+3k+2，

解得k＝3或4，

∴AC＝4或6

∴△ABC的周长为14或16；

（2）∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，BC＝5，

∴AB2+AC2＝25，

∵AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+3）x+k2+3k+2＝0的两个实数根，

∴AB+AC＝2k+3，AB•AC＝k2+3k+2，

∴AB2+AC2＝（AB+AC）2﹣2AB•AC，

即（2k+3）2﹣2（k2+3k+2）＝25，

解得k＝2或﹣5（不合题意舍去）．

故k为2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．

20．解：

（1）设1月份到3月份销售额的月平均增长率为x，由题意得：

40×

100（1+x）2＝5760

∴（1+x）2＝1.44

∴1+x＝±

1.2

∴x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）

∴1月份到3月份销售额的月平均增长率为20%．

（2）设三月份时该玩具的销售价格在每个40元销售的基础上下降y元，由题意得：

（40﹣y）（100+10y）＝5760

∴y2﹣30y+176＝0

∴（y﹣8）（y﹣22）＝0

∴y1＝8，y2＝22

当y＝22时，3月份该玩具的销售价格为：

40﹣22＝18＜30，不合题意，舍去

∴y＝8，3月份该玩具的销售价格为：

40﹣8＝32元

∴3月份该玩具的销售价格为32元．

21．解：

∵m，n是方程2x2﹣5x﹣1＝0的两根，

∴m+n＝

，mn＝﹣

＝

＝﹣10；

22．解：

（1）∵两条人行横道的长分别为a米和b米，宽均为2米，

∴人行横道的面积为：

2a+2b﹣4；

（2）∵a：

2，

∴设a＝3x，则b＝2x，

根据题意得：

（3x﹣2）（2x﹣2）＝2204

解答：

x＝20或x＝﹣

（舍去）

∴3x＝60，2x＝40，

原长方形的长与宽各为60米和40米．

23．解：

（1）∵△＝（8+k）2﹣4×

8k

＝（k﹣8）2，

∵（k﹣8）2≥0，

∴△≥0，

∴无论k取任何实数，方程总有实数根；

（2）∵x1+x2＝8+k，x1•x2＝8k，

（x1+x2）2＝x

+x

+2x1•x2，

∴（8+k）2＝68+16k，

k＝±

2

（3）解方程x2﹣（8+k）x+8k＝0得x1＝k，x2＝8，

①当腰长为8时，则k＝8，

8+5＝13＞8

周长＝8+8+5＝21；

②当底边为8时，

∴k＝5，

∴周长＝5+5+8＝18．

24．解：

（1）利用求根公式可知：

x1＝

＝2．

2．

（2）设所求矩形的两边分别是x和y，

消去y化简得：

2x2﹣3x+2＝0．

∵b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×

2×

2＝﹣7＜0，

∴该方程无解，

∴不存在满足要求的矩形B．

（3）设所求矩形的两边分别是x和y，

2x2﹣（m+n）x+mn＝0．

∵矩形B存在，

∴b2﹣4ac＝[﹣（m+n）]2﹣4×

2mn≥0，

∴（m﹣n）2≥4mn．

故当m、n满足（m﹣n）2≥4mn时，矩形B存在．