北京高考数学理科含答案.doc
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2014年北京高考数学（理科）试题
一.选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）
1.已知集合，则（）
2.下列函数中，在区间上为增函数的是（）
3.曲线（为参数）的对称中心（）
在直线上在直线上
在直线上在直线上
4.当时，执行如图所示的程序框图，输出的值为（）
5.设是公比为的等比数列，则是为递增数列的（）
充分且不必要条件必要且不充分条件
充分必要条件既不充分也不必要条件
6.若满足且的最小值为-4，则的值为（）
7.在空间直角坐标系中，已知，，，，若
，，分别表示三棱锥在，，坐标平面上的正投影图形的
面积，则（）
（A）（B）且
（C）且（D）且
8.有语文、数学两学科，成绩评定为“优秀”“合格”“不合格”三种.若同学每科成绩不
低于同学，且至少有一科成绩比高，则称“同学比同学成绩好.”现有若干同学，
他们之间没有一个人比另一个成绩好，且没有任意两个人语文成绩一样，数学成绩也一样
的.问满足条件的最多有多少学生（）
（A）（B）（C）（D）
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
9.复数________.
10.已知向量、满足，，且，则________.
11.设双曲线经过点，且与具有相同渐近线，则的方程为________；
渐近线方程为________.
12.若等差数列满足，，则当________时的前
项和最大.
13.把5件不同产品摆成一排，若产品与产品不相邻，则不同的摆法有_______种.
14.设函数，，若在学科网区间上具有单调性，且
，则的最小正周期为________.
三．解答题（共6题，满分80分）
15.（本小题13分）如图，在中，，点在边上，且
（1）求
（2）求的长
16.（本小题13分）.
李明在10场篮球比赛中的投篮情况如下（假设各场比赛互相独立）：
场次
投篮次数
命中次数
场次
投篮次数
命中次数
主场1
22
12
客场1
18
8
主场2
15
12
客场2
13
12
主场3
12
8
客场3
21
7
主场4
23
8
客场4
18
15
主场5
24
20
客场5
25
12
（1）从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过的概率.
（2）从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过，一
场不超过的概率.
（3）记是表中10个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记为李明
在这比赛中的命中次数，比较与的大小学科网（只需写出结论）
17.（本小题14分）
如图，正方形的边长为2，分别为的中点，在五棱锥
中，为棱的中点，平面与棱分别交于点.
（1）求证：
；
（2）若底面，且，求直线与平面所成角的大小，并
求线段的长.
18.（本小题13分）
已知函数，
（1）求证：
；
（2）若在上恒成立，求的最大值与的最小值.
19.（本小题14分）
已知椭圆，
（1）求椭圆的离心率.
（2）设为原点，若点在椭圆上，点在直线上，且，求直线与圆的位置关系，并证明你的结论.
20.（本小题13分）
对于数对序列，记，
，其中
表示和两个数中最大的数，
（1）对于数对序列，求的值.
（2）记为四个数中最小值，对于由两个数对组成的数对序列和，试分别对和的两种情况比较和的大小.
（3）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值.（只需写出结论）.
2014年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理）（北京卷）参考答案
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C
（2）A（3）B（4）C
（5）D（6）D（7）D（8）B
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分）
（9）1（10）
（11）（12）8
（13）36（14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（I）在中，因为，所以。
所以
。
（Ⅱ）在中，由正弦定理得
，
在中，由余弦定理得
所以
（16）
解（I）根据投篮计数据可以算出李明投篮命中率超过0.6的场次有5场，
分别是主场2，主场3，主场5，客场2，客场4.
所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.
（Ⅱ）设事件A为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件B为“在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过0.6”，
事件C为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6”。
则C=，A,B独立。
根据投篮统计数据，.
所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过0.6，一场不超过0.6的概率为.
（Ⅲ）.
（17）（共14分）
解：
（I）在正方形中，因为B是AM的中点，所以∥。
又因为平面PDE，
所以∥平面PDE，
因为平面ABF，且平面平面，
所以∥。
（Ⅱ）因为底面ABCDE,所以，.
如图建立空间直角坐标系，则，,,,,
.
设平面ABF的法向量为，则
即
令，则。
所以，设直线BC与平面ABF所成角为a,则。
因此直线与平面所成角为.
设点H的坐标为。
因为点H在棱PC上，所以可设，
即。
所以。
因为是平面ABF的法向量，所以，即。
解得，所以点H的坐标为。
所以
（18）（共13分）
解：
（I）由得
。
因为在区间上，所以在区间上单调递减。
从而。
（Ⅱ）当时，“”等价于“”“”等价于“”。
令，则，
当时，对任意恒成立。
当时，因为对任意，，所以在区间上单调递减。
从而对任意恒成立。
当时，存在唯一的使得。
与在区间上的情况如下：
→
0
→
↗
↘
因为在区间上是增函数，所以。
进一步，“对
任意恒成立”当且仅当，即，
综上所述，当且仅当时，对任意恒成立；当且仅当时，
对任意恒成立。
所以，若对任意恒成立，则a最大值为，b的最小值为1.
（19）
解：
（I）由题意，椭圆C的标准方程为。
所以，从而。
因此。
故椭圆C的离心率。
（Ⅱ）直线AB与圆相切。
证明如下：
设点A,B的坐标分别为，，其中。
因为，所以，即，解得。
当时，，代入椭圆C的方程，得，
故直线AB的方程为。
圆心O到直线AB的距离。
此时直线AB与圆相切。
当时，直线AB的方程为，
即，
圆心0到直线AB的距离
又，故
此时直线AB与圆相切。
（20）
解：
（I）
=8
（Ⅱ）
.
当m=a时，==
因为，且，所以≤
当m=d时，
因为≤，且所以≤。
所以无论m=a还是m=d，≤都成立。
（Ⅲ）数对序列（4,6），（11,11），（16,11），（11,8），（5,2）的值最小，
=10，=26，=42，=50，=52
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