北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》测试题含答案.docx

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北师大版八年级数学上册《第一章勾股定理》测试题含答案

2018-2019学年八年级数学上册第一章检测卷

时间：

120分钟　　　　　满分：

120分

一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，每小题只有一个正确的选项）

1．下列各组数，能构成直角三角形的是（　　）

A．4，5，6B．12，16，20

C．5，10，13D．8，39，40

2．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝2.5cm，AC＝1.5cm，则AB的长为（　　）

A．3.5cmB．2cmC．3cmD．4cm

3．如图，有一块边长为24米的正方形绿地，在绿地旁边B处有健身器材，由于居住在A处的居民践踏了绿地，小明想在A处树立一个标牌“少走▇米，踏之何忍”，请你计算后帮小明在标牌的“▇”填上适当的数字是（　　）

A．3米B．4米C．5米D．6米

4．在△ABC中，AB＝12，BC＝16，AC＝20，则△ABC的面积为（　　）

A．96B．120C．160D．200

5．如图，等腰三角形底边BC的长为10cm，腰长AB为13cm，则腰上的高为（　　）

A．12cmB.cmC.cmD.cm

6．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：

从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，……，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（　　）

A．2B．4C．8D．16

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9，AC＝12，则AB＝________．

8．如图，一架长为4m的梯子，一端放在离墙脚2.4m处，另一端靠墙，则梯子顶端离墙脚________m.

9．如图，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝6cm，BC边上的中线AD＝4cm，则∠ADB的度数是________．

10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝__________．

11．如图是一种饮料的包装盒，其长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外部分的长度h的取值范围为____________．

12．在△ABC中，若AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，则△ABC的周长为________．

三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．如图，∠B＝∠OAF＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，AF＝12cm，求：

（1）AO，FO的长；

（2）图中半圆的面积．

14．一艘轮船以16km/h的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口以30km/h的速度向东南方向航行，它们离开港口半小时后相距多远？

15．已知一个直角三角形的周长是12cm，两直角边长的和为7cm，则此三角形的面积是多少？

16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝16cm，正方形BCEF的面积为144cm2，BD⊥AC于点D，求BD的长．

17．由若干个大小相同且边长为1的小正方形组成的方格中：

（1）如图①，A，B，C是三个格点（即小正方形的顶点），判断AB与BC的位置关系，并说明理由；

（2）在图②中画出一个面积为10的正方形．

四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两村庄，AD⊥AB于点A，BC⊥AB于点B.已知AD＝15km，BC＝10km，现要在铁路AB旁建一个货运站E（A，E，B在同一条直线上），使得C，D两村到E站距离相等，问E站应建在离A地多少千米处？

19．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地（图中的四边形ABCD），经测量，在四边形ABCD中，AB＝3m，BC＝4m，CD＝12m，DA＝13m，∠B＝90°，连接AC.

（1）△ACD是直角三角形吗？

为什么？

（2）小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问铺满这块空地共需花费多少元？

20．有一个如图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD＝80cm，高AB＝60cm，水深AE＝40cm.在水面上紧贴内壁G处有一块面包屑，G在水面线EF上，且EG＝60cm，一只蚂蚁想从鱼缸外的A点沿鱼缸壁爬进鱼缸内的G处吃面包屑．

（1）该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？

请你画出它爬行的路线，并用箭头标注；

（2）求蚂蚁爬行的最短路线长．

五、（本大题共2小题，每小题9分，共18分）

21．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts.

（1）求BC边的长；

（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．

22．图甲是任意一个直角三角形ABC，它的两条直角边的长分别为a，b，斜边长为c.如图乙、丙那样分别取四个与直角三角形ABC全等的三角形，放在边长为a＋b的正方形内．

（1）图乙、图丙中①②③都是正方形．由图可知：

①是以________为边长的正方形，②是以________为边长的正方形，③的四条边长都是________，且每个角都是直角，所以③是以________为边长的正方形；

（2）图乙中①的面积为________，②的面积为________，图丙中③的面积为________；

（3）图乙中①②面积之和为__________；

（4）图乙中①②的面积之和与图丙中正方形③的面积有什么关系？

为什么？

由此你能得到关于直角三角形三边长的关系吗？

六、（本大题共12分）

23．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，若∠C＝90°，如图①，则有a2＋b2＝c2；若△ABC为锐角三角形时，小明猜想：

a2＋b2＞c2，理由如下：

如图②，过点A作AD⊥CB于点D，设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－（a－x）2，∴a2＋b2＝c2＋2ax.∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＞c2，∴当△ABC为锐角三角形时，a2＋b2＞c2.所以小明的猜想是正确的．

（1）请你猜想，当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系（温馨提示：

在图③中，作BC边上的高）；

（2）证明你猜想的结论是否正确．

参考答案与解析

1．B　2.B　3.D　4.A　5.C

6．B　解析：

第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16……第n个正方形的面积是，∴正方形⑤的面积是＝4.故选B.

7．15　8.3.2　9.90°　10.4　11.3cm≤h≤4cm

12．32或42　解析：

∵AC＝15，BC＝13，AB边上的高CD＝12，∴AD2＝AC2－CD2，即AD＝9，BD2＝BC2－CD2，即BD＝5.如图①，CD在△ABC内部时，AB＝AD＋BD＝9＋5＝14，此时，△ABC的周长为14＋13＋15＝42；如图②，CD在△ABC外部时，AB＝AD－BD＝9－5＝4，此时，△ABC的周长为4＋13＋15＝32.综上所述，△ABC的周长为32或42.

13．解：

（1）∵在Rt△ABO中，∠B＝90°，BO＝3cm，AB＝4cm，∴AO2＝BO2＋AB2＝25，∴AO＝5cm.（1分）在Rt△AFO中，由勾股定理得FO2＝AO2＋AF2＝132，∴FO＝13cm.（3分）

（2）图中半圆的面积为π×＝π×＝（cm2）．（6分）

14．解：

作出图形，因为东北和东南方向的夹角为90°，所以△ABC为直角三角形．（2分）在Rt△ABC中，AC＝16×0.5＝8（km），BC＝30×0.5＝15（km），则AB2＝AC2＋BC2＝172，解得AB＝17km.（5分）

答：

它们离开港口半小时后相距17km.（6分）

15．解：

设两条直角边长分别为acm，bcm，斜边长为ccm.由题意可知a＋b＋c＝12①，a＋b＝7②，a2＋b2＝c2③，（2分）∴c＝12－（a＋b）＝5，（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab＝49，2ab＝49－25＝24，∴ab＝12，（4分）∴S＝ab＝×12＝6（cm2）．（6分）

16．解：

∵正方形BCEF的面积为144cm2，∴BC＝12cm.∵∠ABC＝90°，AB＝16cm，∴AC＝20cm.（3分）∵BD⊥AC，∴S△ABC＝AB·BC＝BD·AC，∴BD＝cm.（6分）

17．解：

（1）如图①，连接AC，由勾股定理，得AB2＝32＋22＝13，BC2＝42＋62＝52，AC2＝12＋82＝65，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.（3分）

（2）∵面积为10的正方形可以表示为32＋12＝10，∴四边形ABCD即为所求，如图②所示．（6分）

18．解：

设AE＝xkm，则BE＝（25－x）km.（2分）根据题意列方程，得152＋x2＝（25－x）2＋102，解得x＝10.（7分）故E站应建立在离A地10km处．（8分）

19．解：

（1）在Rt△ABC中，∵AB＝3m，BC＝4m，∠B＝90°，AB2＋CB2＝AC2，∴AC＝5m.（2分）在△ACD中，AC＝5m，CD＝12m，DA＝13m，∴AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°.（4分）

（2）∵S△ABC＝×3×4＝6（m2），S△ACD＝×5×12＝30（m2），∴S四边形ABCD＝6＋30＝36（m2），（6分）费用为36×100＝3600（元）．故铺满这块空地共需花费3600元．（8分）

20．解：

（1）如图，作点A关于BC的对称点A′，连接A′G交BC于点Q，连接AQ，蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬行时，路程最短．（5分）

（2）∵在Rt△A′EG中，A′E＝2AB－AE＝80cm，EG＝60cm，∴由勾股定理得A′G＝100cm，（7分）∴最短路线长为AQ＋QG＝A′Q＋QG＝100cm.（8分）

21．解：

（1）∵在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝102－62＝64，∴BC＝8cm.（2分）

（2）由题意知BP＝2tcm，分两种情况进行讨论：

①当∠APB为直角时，点P与点C重合，如图①，BP＝BC＝8cm，即t＝4；（4分）②当∠BAP为直角时，如图②，BP＝2tcm，CP＝（2t－8）cm，AC＝6cm.在Rt△ACP中，AP2＝62＋（2t－8）2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，（6分）∴102＋[62＋（2t－8）2]＝（2t）2，解得t＝.故当△ABP为直角三角形时，t＝4或.（9分）

22．解：

（1）a　b　c　c（2分）

（2）a2　b2　c2（4分）

（3）a2＋b2（5分）

（4）由图乙和图丙可知大正方形的边长为a＋b，则面积为（a＋b）2，图乙中把大正方形的面积分为了四部分，分别是边长为a的正方形，边长为b的正方形，还有两个长为a、宽为b的长方形，（7分）根据面积相等得（a＋b）2＝a2＋b2＋2ab，由图丙可得（a＋b）2＝c2＋4×ab.所以a2＋b2＝c2.（9分）

23．

（1）解：

当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2与c2的大小关系为a2＋b2＜c2.（3分）

（2）证明：

如图，过点A作AD⊥BC于点D.（5分）设CD＝x.在Rt△ADC中，AD2＝b2－x2，在Rt△ADB中，AD2＝c2－（a＋x）2，∴a2＋b2＝c2－2ax.（8分）∵a＞0，x＞0，∴2ax＞0，∴a2＋b2＜c2，∴当△ABC为钝角三角形时，a2＋b2＜c2.（12分）