学年高中数学苏教版必修四教学案第2章 23 向量的坐标表示 Word版含答案.docx

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学年高中数学苏教版必修四教学案第2章23向量的坐标表示Word版含答案

第1课时　平面向量基本定理

问题1：

在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？

提示：

可以．

问题2：

如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？

提示：

不确定．

问题3：

如图，已知向量e1、e2、a，仍以a为平行四边形一条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2，这样的平行四边形唯一吗？

你能作出来吗？

提示：

唯一，作法为：

将a，e1，e2均平移到同一个起点O，且令e1＝，e2＝，然后过C点分别作与的平行线，交，的延长线于N，M点，则OMCN为所作平行四边形．

问题4：

根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a?

提示：

因＝λ1e1，＝λ2e2，

＝＋，则a＝λ1e1＋λ2e2，λ1、λ2是常数．

1．平面向量基本定理

如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.

2．基底

不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．

3．正交分解

一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a＝λ1e1＋λ2e2的形式，我们称它为向量的分解．当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解．

1．定理中，要求作为基底的两个向量e1，e2不共线，即作为基底的向量一定是非零向量．因此，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底．

2．平面向量基本定理中，实数λ1，λ2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的．一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的．

[例1]　若向量a，b不共线，且c＝2a－b，d＝3a－2b，试判断c，d能否作为基底．

[思路点拨]　要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底．

[精解详析]　设存在实数λ使得c＝λd，则2a－b＝λ（3a－2b），即（2－3λ）a＋（2λ－1）b＝0.

由于a，b不共线，从而2－3λ＝2λ－1＝0，这样的λ是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底．

[一点通]　基底具备两个主要特征：

（1）基底是两个不共线向量；

（2）基底的选择是不唯一的．

1．e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为一组基底的序号是________．

①e1＋e2，e1－e2　②3e1－2e2,4e2－6e1　③e1＋2e2，e2＋2e1

④e2，e1＋e2　⑤2e1－e2，e1－e2

解析：

由题意，知e1，e2不共线，易知②中，4e2－6e1＝－2（3e1－2e2），即3e1－2e2与4e2－6e1共线，

∴②不能作基底．⑤中，2e1－e2＝2，

∴2e1－e2与e1－e2共线不能作基底．

答案：

②⑤

2．如果e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，λ，μ是实数，则下列说法正确的有________．

①若λ，μ满足λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0；

②对于平面α内任意一个向量a，使得a＝λe1＋μe2成立的实数λ，μ有无数对；

③线性组合λe1＋μe2可以表示平面α内的所有向量；

④当λ，μ取不同的值时，向量λe1＋μe2可能表示同一向量．

解析：

①正确．若λ≠0，则e1＝－e2，从而向量e1，e2共线，这与e1，e2不共线相矛盾，同理可说明μ＝0.

②不正确．由平面向量基本定理可知λ，μ唯一确定．

③正确．平面α内的任一向量a可表示成λe1＋μe2的形式，反之也成立；

④不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当λe1和μe2确定后，其和向量λe1＋μe2才唯一确定．

答案：

①③

[例2]　如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知＝c，＝d，试用c，d表示和.

[思路点拨]　本题要求用c，d表示和，所以可以将c，d看做基底，也就变成了用基底表示和两个向量．

[精解详析]　设＝a，＝b，则由M、N分别为DC、BC的中点，得BN―→＝b，＝a.

在△ABN和△ADM中，

解得

即＝d－c，＝c－d.

[一点通]　

（1）若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系．

（2）若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后再寻找所求向量与基底的关系．

3．已知ABCDEF是正六边形，且＝a，＝b，则＝________.

解析：

＝＋＝＋＝b＋a，

又＝2，∴＝（a＋b）．

答案：

（a＋b）

4.如图所示，△ABC中，若D、E、F依次是AB的四等分点，则以＝e1，＝e2为基底时，＝________.

解析：

＝e1，＝e2，

∴＝e1－e2.

∵＝，∴＝（e1－e2）．

∴＝＋＝e2＋（e1－e2）＝e1＋e2.

答案：

e1＋e2

5.如图所示，在△OAB中，＝a，＝b，M，N分别是边OA，OB上的点，且＝a，＝b，设与交于点P，用向量a，b表示.

解：

∵＝＋，＝＋，

设＝m，＝n，

则＝＋m

＝＋m（－）

＝（1－m）＋m＝（1－m）a＋mb

＝＋n

＝＋n（－）

＝（1－n）＋n＝（1－n）b＋na.

∵a与b不共线，

∴⇒

∴＝a＋b.

[例3]　如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若＝x，＝y，试问：

＋是否为定值？

[思路点拨]　

（1）选取基向量＝a，＝b；

（2）利用平面向量基本定理表示、；

（3）利用、共线可得结论．

[精解详析]　设＝a，＝b，

则＝xa，＝yb，

＝＝（＋）＝（a＋b）．

∴＝－＝（a＋b）－xa＝a＋b，

＝－＝yb－xa＝－xa＋yb.

∵与共线，∴存在实数λ，使＝λ.

∴a＋b＝λ（－xa＋yb）＝－λxa＋λyb.

∵a与b不共线，∴

消去λ，得＋＝4，∴＋为定值．

[一点通]　利用平面向量基本定理和共线向量定理，引入参数解决问题是常考的热点题型，要注意合理地选择基底及构造向量共线，从而结合方程思想解决问题．

6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝＋λ，则λ＝________.

解析：

∵＝2，

∴＝＋＝＋＝＋（－）＝＋.又∵＝＋λ，∴λ＝.

答案：

7．已知向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，且a＝e1＋e2，b＝3e1－2e2，c＝2e1＋3e2，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），试求λ，μ的值．

解：

将a＝e1＋e2与b＝3e1－2e2代入c＝λa＋μb得

c＝λ（e1＋e2）＋μ（3e1－2e2）＝（λ＋3μ）e1＋（λ－2μ）e2.

因为c＝2e1＋3e2，且向量e1，e2是平面α内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组

解得

1．理解平面向量基本定理应注意以下几点

（1）e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；

（2）基底的选取不唯一；

（3）该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的．即：

若a可用基底e1、e2分别表示为a＝λ1e1＋μ1e2，a＝λ2e1＋μ2e2，则λ1＝λ2，μ1＝μ2.

2．应用平面向量基本定理解题的一般步骤

（1）选定基底；

（2）进行向量间的运算；

（3）结合有关向量定理、推论对

（2）中结果进行分析、对比，从而得出问题的结论．

课下能力提升（十七）

一、填空题

1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：

①与；②与；③与；④与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是________．

解析：

如图所示，与为不共线向量，可以作为基底．与为不共线向量，可以作为基底．与，与均为共线向量，不能作为基底．

答案：

①③

2．已知向量a和b不共线，实数x，y满足向量等式（2x－y）a＋4b＝5a＋（x－2y）b，则x＋y的值等于________．

解析：

由平面向量基本定理得解得

∴x＋y＝1.

答案：

1

3．已知▱ABCD中，＝，若＝a，＝b，则＝________.

解析：

如图所示，

＝＋＝＋＝b－＝b－a.

答案：

b－a

4．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．

解析：

如图，分别在，上取点E，F，使＝，＝，

在上取点G，使＝，

则EG∥AC，FG∥AE，

∴＝＋＝，

∴M与G重合，∴＝＝.

答案：

5．在平行四边形ABCD中，＝，＝，CE与BF相交于G点．若＝a，＝b，则＝________（用a，b表示）．

解析：

如图所示，∵B，G，F三点共

线，∴＝λ＋（1－λ）＝

λb＋（1－λ）a.

∵E，G，C三点共线，

∴＝μ＋（1－μ）＝μa＋（1－μ）（a＋b）．

由平面向量基本定理得，∴

∴＝a＋b.

答案：

a＋b

二、解答题

6．△ABC中，＝，EF∥BC，交AC于点F.设＝a，＝b，试用a，b表示.

解：

依题意作图，如图所示．

因为＝，EF∥BC，

所以＝.

所以＝＋＝＋＝－＋（－）＝－＋＝－a＋b.

7.如图，平面内有三个向量，，，

其中与的夹角为120°，与

的夹角为30°，且||＝||＝1，

||＝2，＝λ＋μ（λ，μ∈R），求λ＋μ的值．

解：

如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则＝＋.

在Rt△OCD中，∵||＝2，∠COD＝30°，∠OCD＝90°，∴||＝4，||＝2，故＝4，＝2，

即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.

8．以向量＝a，＝b为邻边作平行四边形OADB，C为AB与OD的交点，＝，＝，以a，b为基底表示.

解：

如图所示，＝＝（a＋b），

＝＝×（a＋b）＝（a＋b），

＝＝（a－b），＝＝（a－b），

在△MNC中，

＝＋＝（a－b）＋（a＋b）

＝a－b.

第2课时　平面向量的坐标运算

问题1：

在平面向量基本定理中，若e1⊥e2，定理还适用吗？

提示：

适用．

问题2：

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一个向量a，由平面向量基本定理，我们知道a表示为xi＋yj，试想数对（x，y）唯一吗？

能理解为点坐标吗？

提示：

唯一，能．

问题3：

已知一点A的坐标（x，y），则向量确定吗？

提示：

唯一确定，即＝xi＋yj.

平面向量的坐标表示

在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得a＝xi＋yj.我们把有序实数对（x，y）称为向量a的（直角）坐标，记作a＝（x，y）.

已知a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）．

问题1：

试用单位向量i和j表示a和b.

提示：

a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j.

问题2：

试求a＋b.

提示：

a＋b＝（x1＋x2）i＋（y1＋y2）j.

问题3：

向量a＋b的坐标是什么？

提示：

（x1＋x2，y1＋y2）

平面向量的坐标运算

（1）已知向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2）和实数λ，那么

①a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2）；

②a－b＝（x1－x2，y1－y2）；

③λa＝（λx1，λy1）．

（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），则＝－＝（x2－x1，y2－y1）．

这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标．

1．在直角坐标平面内，以原点为起点的向量＝a，点A的位置被向量a