学年高中数学苏教版必修四教学案第2章 23 向量的坐标表示 Word版含答案.docx

1、学年高中数学苏教版必修四教学案第2章 23 向量的坐标表示 Word版含答案第1课时平面向量基本定理问题1：在物理中，我们学习了力的分解，即一个力可以分解为两个不同方向的力，试想平面内的任一向量是否可以分解为其他两个向量的和？提示：可以问题2：如图，以a为平行四边形一条对角线作平行四边形，四边形确定吗？提示：不确定问题3：如图，已知向量e1、e2、a，仍以a为平行四边形一条对角线且平行四边形相邻边所在直线平行于e1和e2，这样的平行四边形唯一吗？你能作出来吗？提示：唯一，作法为：将a，e1，e2均平移到同一个起点O，且令e1，e2，然后过C点分别作与的平行线，交，的延长线于N，M点，则OMCN

2、为所作平行四边形问题4：根据问题2的作图过程，你认为如何用e1和e2表示a?提示：因1e1，2e2，则a1e12e2，1、2是常数1平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.2基底不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底3正交分解一个平面向量用一组基底e1、e2表示成a1e12e2的形式，我们称它为向量的分解当e1、e2互相垂直时，就称为向量的正交分解1定理中，要求作为基底的两个向量e1，e2不共线，即作为基底的向量一定是非零向量因此，只要是同一平面内的两个不共线的向量都可以作为基底2

3、平面向量基本定理中，实数1，2的唯一性是相对于基底e1，e2而言的一旦选定一组基底，则给定向量沿着基底的分解是唯一的 例1若向量a，b不共线，且c2ab，d3a2b，试判断c，d能否作为基底思路点拨要判断c，d能否作为基底，只需看c，d是否共线，若共线，则不能作为基底；否则可以作为基底精解详析设存在实数使得cd，则2ab(3a2b)，即(23)a(21)b0.由于a，b不共线，从而23210，这样的是不存在的，从而c，d不共线，故c，d能作为基底一点通基底具备两个主要特征：(1)基底是两个不共线向量；(2)基底的选择是不唯一的1e1，e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作

4、为一组基底的序号是_e1e2，e1e23e12e2,4e26e1e12e2，e22e1e2，e1e22e1e2，e1e2解析：由题意，知e1，e2不共线，易知中，4e26e12(3e12e2)，即3e12e2与4e26e1共线，不能作基底中，2e1e22，2e1e2与e1e2共线不能作基底答案：2如果e1，e2是平面内所有向量的一组基底，是实数，则下列说法正确的有_若，满足e1e20，则0；对于平面内任意一个向量a，使得ae1e2成立的实数，有无数对；线性组合e1e2可以表示平面内的所有向量；当，取不同的值时，向量e1e2可能表示同一向量解析：正确若0，则e1e2，从而向量e1，e2共线，这与

5、e1，e2不共线相矛盾，同理可说明0.不正确由平面向量基本定理可知，唯一确定正确平面内的任一向量a可表示成e1e2的形式，反之也成立；不正确，结合向量加法的平行四边形法则易知，只有当e1和e2确定后，其和向量e1e2才唯一确定答案：例2如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知c，d，试用c，d表示和.思路点拨本题要求用c，d表示和，所以可以将c，d看做基底，也就变成了用基底表示和两个向量精解详析设a，b，则由M、N分别为DC、BC的中点，得BNb，a.在ABN和ADM中，解得即dc，cd.一点通(1)若题目中已给出了基底，求解此类问题时，常利用向量加法三角形法则或平行四

6、边形法则，结合数乘运算找到所求向量与基底的关系(2)若题目中没有给出基底，常结合已知条件先寻找一组从同一点出发的两不共线向量作为基底，而后再寻找所求向量与基底的关系3已知ABCDEF是正六边形，且a，b，则_.解析：ba，又2，(ab)答案： (ab)4.如图所示，ABC中，若D、E、F依次是AB的四等分点，则以e1，e2为基底时，_.解析：e1，e2，e1e2.，(e1e2)e2(e1e2)e1e2.答案： e1e25.如图所示，在OAB中，a，b，M，N分别是边OA，OB上的点，且a，b，设与交于点P，用向量a，b表示.解：，设m，n，则mm()(1m)m(1m)ambnn()(1n)n(

7、1n)bn a.a与b不共线，ab.例3如图，ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点，若x，y，试问：是否为定值？思路点拨(1)选取基向量a，b；(2)利用平面向量基本定理表示、；(3)利用、共线可得结论精解详析设a，b，则xa，yb，()(ab)(ab)xaab，ybxaxayb.与共线，存在实数，使.ab(xayb)xayb.a与b不共线，消去，得4，为定值一点通利用平面向量基本定理和共线向量定理，引入参数解决问题是常考的热点题型，要注意合理地选择基底及构造向量共线，从而结合方程思想解决问题6在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.

8、解析：2，().又，.答案：7已知向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，且ae1e2，b3e12e2，c2e13e2，若cab(，R)，试求，的值解：将ae1e2与b3e12e2代入cab得c(e1e2)(3e12e2)(3)e1(2)e2.因为c2e13e2，且向量e1，e2是平面内所有向量的一组基底，根据平面向量基本定理中的唯一性可得方程组解得1理解平面向量基本定理应注意以下几点(1)e1、e2是同一平面内的两个不共线向量；(2)基底的选取不唯一；(3)该平面内的任意向量a都可用e1、e2线性表示，且这种表示是唯一的即：若a可用基底e1、e2分别表示为a1e11e2，a2e12e2，则

9、12，12.2应用平面向量基本定理解题的一般步骤(1)选定基底；(2)进行向量间的运算；(3)结合有关向量定理、推论对(2)中结果进行分析、对比，从而得出问题的结论课下能力提升(十七) 一、填空题1设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：与；与；与；与.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是_解析：如图所示，与为不共线向量，可以作为基底与为不共线向量，可以作为基底与，与均为共线向量，不能作为基底答案：2已知向量a和b不共线，实数x，y满足向量等式(2xy)a4b5a(x2y)b，则xy的值等于_解析：由平面向量基本定理得解得xy1.答案：13已知A

10、BCD中，若a，b，则_.解析：如图所示，bba.答案： ba4点M是ABC所在平面内的一点，且满足，则ABM与ABC的面积之比为_解析：如图，分别在，上取点E，F，使，在上取点G，使，则EGAC，FGAE，M与G重合，.答案：5在平行四边形ABCD中，CE与BF相交于G点若a，b，则_(用a，b表示)解析：如图所示，B，G，F三点共线，(1)b(1)a.E，G，C三点共线，(1) a(1)(ab)由平面向量基本定理得，ab.答案： ab二、解答题6ABC中，EFBC，交AC于点F.设a，b，试用a，b表示.解：依题意作图，如图所示因为，EFBC，所以.所以()ab.7.如图，平面内有三个向量

11、，其中与的夹角为120，与的夹角为30，且|1，|2，(，R)，求的值解：如图，以OA，OB所在射线为邻边，OC为对角线作平行四边形ODCE，则.在RtOCD中，|2，COD30，OCD90，|4，|2，故4，2，即4，2，6.8以向量a，b为邻边作平行四边形OADB，C为AB与OD的交点，以a，b为基底表示.解：如图所示，(ab)，(ab)(ab)，(ab)，(ab)，在MNC中，(ab)(ab)ab.第2课时平面向量的坐标运算问题1：在平面向量基本定理中，若e1e2，定理还适用吗？提示：适用问题2：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，任作一个向量a，

12、由平面向量基本定理，我们知道a表示为xiyj，试想数对(x，y)唯一吗？能理解为点坐标吗？提示：唯一，能问题3：已知一点A的坐标(x，y)，则向量确定吗？提示：唯一确定，即xiyj.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，对于平面上的向量a，由平面向量的基本定理可知，有且只有一对有序实数x，y，使得axiyj.我们把有序实数对(x，y)称为向量a的(直角)坐标，记作a(x，y).已知a(x1，y1)，b(x2，y2)问题1：试用单位向量i和j表示a和b.提示：ax1iy1j，bx2iy2j.问题2：试求ab.提示：ab(x1x2)i(y1y2)j.问题3：向量ab的坐标是什么？提示：(x1x2，y1y2)平面向量的坐标运算(1)已知向量a(x1，y1)，b(x2，y2)和实数，那么ab(x1x2，y1y2)；ab(x1x2，y1y2)；a(x1，y1)(2)已知A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)这就是说，一个向量的坐标等于该向量终点的坐标减去起点的坐标1在直角坐标平面内，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a