二次函数之距离最小思维Word格式文档下载.docx
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例3.如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N，
其顶点为D．
（1）抛物线及直线AC的函数关系式；
）设点M（3，m），求使
MN+MD的值最小时m的值；
）若抛物线的对称轴与直线
AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点
E作EF∥BD交抛物线
于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？
若能，求点
E的坐标；
若不能，请说明理由；
（4
）若P是抛物线上位于直线
AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．
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例4.（湖南郴州）已知抛物线y=ax2+bx+c
经过A（﹣1，0）、B（2，0）、C（0，2）三点．
）求这条抛物线的解析式；
）如图一，点P是第一象限内此抛物线上的一个动点，当点
P运动到什么位置时，四边形
ABPC的面
积最大？
求出此时点
P的坐标；
）如图二，设线段
AC的垂直平分线交
x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，那么在直线
DE上
是否存在一点G，使△CMG的周长最小？
若存在，请求出点
G的坐标；
若不存在，请说明理由．
例5.（辽宁）如图
16，在平面直角坐标系中，直线y
3x3与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛
物线yax223x
c（a0）经过A，B，C三点．
3
）求过A，B，C三点抛物线的解析式并求出顶点
F的坐标；
）在抛物线上是否存在点P，使△ABP为直角三角形，若存在，直接写出
P点坐标；
若不存在，请
说明理由；
）试探究在直线
AC上是否存在一点M，使得△MBF的周长最小，若存在，求出
M点的坐标；
y
AO
B
x
C
F
图16
例6.（山西）综合与实践：
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y
轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．
（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；
（2）点P是x轴上一个动点，过P作直线l∥AC交抛物线于点Q，试探究：
随着P点的运动，在抛物线
上是否存在点Q，使以点A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？
若存在，请直接写出符合条件的点
Q的坐标；
（3）请在直线AC上找一点M，使△BDM的周长最小，求出M点的坐标．
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例7.如图，在矩形OABC中，已知A、C两点的坐标分别为A（4，0）、C（0，2），D为OA的中点．设
点P是∠AOC平分线上的一个动点（不与点
O重合）．
）试证明：
无论点P运动到何处，PC总与PD相等；
）当点P运动到与点B的距离最小时，试确定过
O、P、D三点的抛物线的解析式；
）设点E是
（2）中所确定抛物线的顶点，当点
P运动到何处时，△PDE的周长最小？
P的
坐标和△PDE的周长；
）设点N是矩形OABC的对称中心，是否存在点P，使∠CPN=90°
？
若存在，请直接写出点
P的坐标．
例8.（德州）如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标是（4，0），并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上．
（1）求抛物线的解析式；
（2）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？
若存在，求出所有符合条件的点P的坐
标；
若不存在，说明理由；
（3）过动点P作PE垂直于y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线．垂足为F，连接EF，
当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．
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练习:
（烟台）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c与⊙M相交于A、B、C、D四点，其中A、
B两点的坐标分别为（﹣1，0），（0，﹣2），点D在x轴上且AD为⊙M的直径．点E是⊙M与y轴的另
一个交点，过劣弧
上的点F作FH⊥AD于点H，且FH=1.5
）求点D的坐标及该抛物线的表达式；
）若点P是x轴上的一个动点，试求出△
的周PEF长最小时点
）在抛物线的对称轴上是否存在点
Q，使△
QCM是等腰三角形？
如果存在，请直接写出点
如果不存在，请说明理由．
例10.已知抛物线y=ax2+bx+1经过点A（1，3）和点B（2，1）。
（1）求此抛物线解析式；
（2）点C、D分别是x轴和y轴上的动点，求四边形ABCD周长的最小值，并写出C.D两点的坐标；
（3）①在抛物线AB段上存在一点E，使ABE的面积最大，求E点的坐标；
②请直接写出以A.B和E为顶点的平行四边形的第四个顶点P的坐标。
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例11.如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点为C（l，4），交x轴于A、B两点，交y轴于点D，其中点B的坐标为（3，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中点E的横坐标为2，若直线PQ为抛
物线的对称轴，点G为直线PQ上的一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G，H、F四点所围成的
四边形周长最小？
若存在，求出这个最小值及点G、H的坐标；
若不存在，请说明理由；
（3）如图3，在抛物线上是否存在一点T，过点T作x轴的垂线，垂足为点M，过点M作MN∥BD，交
线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD？
若存在，求出点T的坐标；
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例12.已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于点A（m－2，0）和B（2m＋1，0）（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，顶点为P，对称轴为l：
x＝1．
（1）求抛物线解析式．
（2）直线y＝kx＋2（k≠0）与抛物线相交于两点M（x1，y1），N（x2，y2）（x1＜x2），当|x1-x2|最小时，求抛物线与直线的交点M和N的坐标．
（3）首尾顺次连接点O，B，P，C构成多边形的周长为L．若线段OB在x轴上移动，求L最小值时点O，
B移动后的坐标及L的最小值．
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例9.（衢州）如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．
（1）求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的
坐标；
（2）平移抛物线y=ax2，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，点C（-2，0）和点D（-4，0）是x轴上的两个定点．
①当抛物线向左平移到某个位置时，A′C+CB′最短，求此时抛物线的函数解析式；
②当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A′B′CD的周长最短？
若存在，求出此时抛
物线的函数解析式；
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例13.（重庆）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y
x2
3x33交x轴于A，B两点（点A在点B
的左侧），交y轴于点W，顶点为C，抛物线的对称轴与
x轴的交点为D。
（1）求直线BC的解析式。
（2）点E（m，0），F（m+2，0）为x轴上两点，其中
m4，EE，EE分别垂直于x轴，交抛物
线与点E，F，交BC于点M，N，当MENF的值最大时，在
y轴上找一点R，使得RFRE值最大，
请求出R点的坐标及RFRE的最大值。
例14.（自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，﹣3）．将抛物线
l沿y轴翻折得抛物线l1．
（1）求l1的解析式；
（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；
例15.如图，已知直线y=1/2x+1
与y轴交于点A，与x轴交于点
D，抛物线y=1/2x2+bx+c
与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（
1，0）．
（1
）求该抛物线的解析式；
（2
）动点P在x轴上移动，当△
PAE是直角三角形时，求点
P的坐标P；
（3
）在抛物线的对称轴上找一点
M，使|AM-MC|的值最大，求出点
M的坐标
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例16.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是直角梯形，BC∥AD，∠BAD=90°
，BC与y轴相交于
点M，且M是BC的中点，A、B、D三点的坐标分别是A（1，0），B（1，2），D（3，0）．连
接DM，并把线段DM沿DA方向平移到ON．若抛物线yax2bxc经过点D、M、N．
（1）求抛物线的解析式．
（2）抛物线上是否存在点P，使得PA=PC，若存在，求出点P的坐标；
（3）设抛物线与x轴的另一个交点为E，点Q是抛物线的对称轴上的一个动点，当点Q在什么位置时有
|QE-QC|最大？
并求出最大值．
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检测
xOy中，抛物线y=x2+bx+c
1.在平面直角坐标系
经过A（2，0）、B（4，0）两点，直线
y＝2x+2
交y
轴于点C，且过点
D（8，m）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在x轴上找一点P，使CP+DP的值最小，求出点P的坐标；
（3）将抛物线y=x2+bx+c左右平移，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′当，四边形A′B′DC
的周长最小时，求抛物线的解析式及此时四边形A′B′周DC长的最小值．
（4）设抛物线的顶点为Q，过点C作x轴的平行线L，点M在直线L上，且MN⊥x轴，垂足为N，若
DM+MN+NQ最小，直接写出此时点M,N的坐标。
2.如图，在平面直角坐标系
xOy中，二次函数y=
x2+bx+c
的图象与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）
两点，顶点为C．
（1）求此二次函数解析式；
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（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：
y=3x+3交BD于点E，过点B作直线BK∥AD
交直线l于K点．问：
在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？
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若存在，请求出点P的坐标；
（3）在
（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK
和的最小值．
（4）设抛物线交y轴于点R，若点K在抛物线对称轴上，当∣KB-KR∣的值最大时，直接写出此时K的坐
标。
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