培优专题7分式的运算含答案Word文档下载推荐.docx
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【分类解析】
例1:
计算的结果是()
A.B.C.D.
分析:
原式
故选C
说明:
先将分子、分母分解因式,再约分。
例2:
已知,求的值。
若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。
解:
例3:
已知:
,求下式的值:
本题先化简,然后代入求值。
化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。
最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
故原式
例4:
已知a、b、c为实数,且,那么的值是多少?
已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进行简化。
由已知条件得:
所以
即
又因为
例5:
化简:
解一:
原式
解二:
解法一是一般方法,但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式,而它的分解需要拆、添项,比较麻烦;
解法二则运用了乘法分配律,避免了上述问题。
因此,解题时注意审题,仔细观察善于抓住题目的特征,选择适当的方法。
例1、计算:
分式运算时,若分子或分母是多项式,应先因式分解。
例2、已知:
,则_________。
分式加减运算后,等式左右两边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。
中考点拨:
计算:
在分式的运算过程中,乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。
此题两种方法的繁简程度一目了然。
若,则的值等于()
故选A
【实战模拟】
1.已知:
,则的值等于()
2.已知,求的值。
3.计算:
4.若,试比较A与B的大小。
5.已知:
,求证:
。
【试题答案】
1.解:
故选B
2.解:
此题反复运用了已知条件的变形,最终达到化简求值的目的。
3.解:
本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分,简化计算。
4.解:
设,则
5.证明:
,即
又
均不为零
12、分式方程及其应用
1.解分式方程的基本思想:
把分式方程转化为整式方程。
2.解分式方程的一般步骤:
(1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程;
(2)解这个整式方程;
(3)验根:
把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。
3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。
下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。
例1.解方程:
首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根
方程两边都乘以,得
例2.解方程
直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求值。
原方程变形为:
方程两边通分,得
经检验:
原方程的根是
例3.解方程:
方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。
由原方程得:
例4.解方程:
此题若用一般解法,则计算量较大。
当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。
约分,得
方程两边都乘以
注:
分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。
因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。
5、中考题解:
例1.若解分式方程产生增根,则m的值是()
A.B.
C.D.
分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。
由题意得增根是:
化简原方程为:
把代入解得,故选择D。
例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树?
利用所用时间相等这一等量关系列出方程。
设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树,
由题意得:
答:
甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。
在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。
6、题型展示:
例1.轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;
在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。
求这艘轮船在静水中的速度和水流速度
在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静水速度”,有顺水、逆水,取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。
设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时
由题意,得
水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时。
例2.m为何值时,关于x的方程会产生增根?
整理,得
分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根
1.甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度()
A.B.C.D.
2.如果关于x的方程
A.B.C.D.3
3.解方程:
4.求x为何值时,代数式的值等于2?
5.甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程。
已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的,求甲、乙两队单独完成各需多少天?
1.由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为千米。
又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为
2.把方程两边都乘以
若方程有增根,则
3.
(1)分析:
方程左边很特殊,从第二项起各分式的分母为两因式之积,两因式的值都相差1,且相邻两项的分母中都有相同的因式。
因此,可利用裂项,即用“互为相反数的和为0”将原方程化简
原方程可变为
(2)分析:
用因式分解(提公因式法)简化解法
因为其中的
经检验:
是原方程的根。
由已知得
的值等于2。
5.设:
乙队单独完成所需天数x天,则甲队单独完成需天。
经检验
甲、乙两队单独完成分别需4天,6天。
13、分式总复习
1.分式有意义的应用
例1.若,试判断是否有意义。
要判断是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断与零的关系。
或
中至少有一个无意义。
2.结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。
例2.计算:
如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。
因为,,所以最简公分母为:
,若采用去分母的通常方法,运算量较大。
由于故可得如下解法。
原方程变为
经检验,是原方程的根。
3.在代数求值中的应用
例4.已知与互为相反数,求代数式
的值。
要求代数式的值,则需通过已知条件求出a、b的值,又因为,,利用非负数及相反w数的性质可求出a、b的值。
由已知得,解得
原式
把代入得:
4.用方程解决实际问题
例5.一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。
设这列火车的速度为x千米/时
根据题意,得
方程两边都乘以12x,得
解得
经检验,是原方程的根
这列火车原来的速度为75千米/时。
5.在数学、物理、化学等学科的学习中,都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。
而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方程。
例6.已知,试用含x的代数式表示y,并证明。
由,得
6、中考原题:
例1.已知,则M=__________。
分析:
通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。
解:
例2.已知,那么代数式的值是_________。
先化简所求分式,发现把看成整体代入即可求的结果。
7、题型展示:
例1.当x取何值时,式子有意义?
当x取什么数时,该式子值为零?
由
得或
所以,当和时,原分式有意义
由分子得
当时,分母
当时,分母,原分式无意义。
所以当时,式子的值为零
例2.求的值,其中。
先化简,再求值。
1.当x取何值时,分式有意义?
2.有一根烧红的铁钉,质量是m,温度是,它放出热量Q后,温度降为多少?
(铁的比热为c)
4.解方程:
5.要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。
现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。
问规定日期是多少天?
6.已知,求的值。
由题意得
解得且
当且时,原式有意义
设温度降为t,由已知得:
温度降为。
3.分析:
此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便,它采用了逐步通分的方法。
因此灵活运用法则会给解题带来方便。
同时注意结果要化为最简分式。
原方程化为
化简得
解分式方程时,在掌握一般方法的基础上,要注意根据题目的特点,选用简便的方法,减少繁琐计算。
5.分析:
设规定日期是x天,则甲的工作效率为,乙的工作效率为,工作总量为1
设规定日期为x天
经检验是原方程的根
规定日期是6天。
6.解:
由
(1)
(2)解得