1、【分类解析】 例1:计算的结果是( ) A. B. C. D. 分析:原式 故选C 说明:先将分子、分母分解因式,再约分。 例2:已知,求的值。若先通分,计算就复杂了,我们可以用替换待求式中的“1”,将三个分式化成同分母,运算就简单了。 解: 例3:已知:,求下式的值:本题先化简,然后代入求值。化简时在每个括号内通分,除号改乘号,除式的分子、分母颠倒过来,再约分、整理。最后将条件等式变形,用一个字母的代数式来表示另一个字母,带入化简后的式子求值。这是解决条件求值问题的一般方法。 故原式 例4:已知a、b、c为实数,且,那么的值是多少?已知条件是一个复杂的三元二次方程组,不容易求解,可取倒数,进
2、行简化。由已知条件得: 所以 即 又因为 例5:化简: 解一:原式 解二:解法一是一般方法,但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式,而它的分解需要拆、添项,比较麻烦;解法二则运用了乘法分配律,避免了上述问题。因此,解题时注意审题,仔细观察善于抓住题目的特征,选择适当的方法。 例1、计算:分式运算时,若分子或分母是多项式,应先因式分解。 例2、已知:,则_。分式加减运算后,等式左右两边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。中考点拨:计算:在分式的运算过程中,乘法公式和因式分解的使用会简化解题过程。此题两种方法的繁简程度一目了然。若,则的值等于( ) 故选A【实战模拟】 1
3、. 已知:,则的值等于( )2. 已知,求的值。3. 计算:4. 若,试比较A与B的大小。 5. 已知:,求证:。【试题答案】 1. 解: 故选B 2. 解:此题反复运用了已知条件的变形,最终达到化简求值的目的。 3. 解:本题逆用了分式加减法则对分式进行拆分,简化计算。 4. 解:设,则 5. 证明: ,即 又 均不为零12、分式方程及其应用 1. 解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。 2. 解分式方程的一般步骤: (1)在方程的两边都乘以最简公分母,约去分母,化成整式方程; (2)解这个整式方程; (3)验根:把整式方程的根代入最简公分母,看结果是否等于零,使最简公分母等于零的
4、根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程,一般不要求检验。 3. 列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同,但必须注意,要检验求得的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。 下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。 例1. 解方程:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘,解完后记着要验根方程两边都乘以,得 例2. 解方程直接去分母,可能出现高次方程,给求解造成困难,观察四个分式的分母发现的值相差1,而分子也有这个特点,因此,可将分母的值相差1的两个分式结合,然后再通分,把原方程两边化为分子相等的两个分式,利用分式的等值性质求
5、值。原方程变形为: 方程两边通分,得 经检验:原方程的根是 例3. 解方程:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数式之和。由原方程得: 例4. 解方程:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后,会发现分子与分母有相同的因式,于是可先约分。 约分,得 方程两边都乘以 注:分式方程命题中一般渗透不等式,恒等变形,因式分解等知识。因此要学会根据方程结构特点,用特殊方法解分式方程。5、中考题解: 例1若解分式方程产生增根,则m的值是( ) A. B. C. D. 分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是:化简原方程为:把代入解得,故
6、选择D。 例2. 甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等,求甲、乙两班每小时各种多少棵树?利用所用时间相等这一等量关系列出方程。设甲班每小时种x棵树,则乙班每小时种(x+2)棵树, 由题意得: 答:甲班每小时种树20棵,乙班每小时种树22棵。在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。6、题型展示: 例1. 轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米,共用了7小时;在另一次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米,逆流航行70千米。求这艘轮船在静水中的速度和水流速度在航行问题中的等量关系是“船实际速度=水速+静
7、水速度”,有顺水、逆水,取水速正、负值,两次航行提供了两个等量关系。设船在静水中的速度为x千米/小时,水流速度为y千米/小时 由题意,得水流速度为3千米/小时,船在静水中的速度为17千米/小时。 例2. m为何值时,关于x的方程会产生增根? 整理,得分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根 1. 甲、乙两地相距S千米,某人从甲地出发,以v千米/小时的速度步行,走了a小时后改乘汽车,又过b小时到达乙地,则汽车的速度( ) A. B. C. D. 2. 如果关于x的方程 A. B. C. D. 3 3. 解方程:4. 求x为何值时,代数式的值等于2? 5. 甲、乙两个工程队共同完成一项工程,乙队
8、先单独做1天后,再由两队合作2天就完成了全部工程。已知甲队单独完成工程所需的天数是乙队单独完成所需天数的,求甲、乙两队单独完成各需多少天? 1. 由已知,此人步行的路程为av千米,所以乘车的路程为千米。 又已知乘车的时间为b小时,故汽车的速度为 2. 把方程两边都乘以 若方程有增根,则 3. (1)分析:方程左边很特殊,从第二项起各分式的分母为两因式之积,两因式的值都相差1,且相邻两项的分母中都有相同的因式。因此,可利用裂项,即用“互为相反数的和为0”将原方程化简原方程可变为 (2)分析:用因式分解(提公因式法)简化解法 因为其中的 经检验:是原方程的根。由已知得 的值等于2。 5. 设:乙队
9、单独完成所需天数x天,则甲队单独完成需天。 经检验甲、乙两队单独完成分别需4天,6天。13、分式总复习1. 分式有意义的应用 例1. 若,试判断是否有意义。要判断是否有意义,须看其分母是否为零,由条件中等式左边因式分解,即可判断与零的关系。 或 中至少有一个无意义。 2. 结合换元法、配方法、拆项法、因式分解等方法简化分式运算。 例2. 计算:如果先通分,分子运算量较大,观察分子中含分母的项与分母的关系,可采取“分离分式法”简化计算。因为,所以最简公分母为:,若采用去分母的通常方法,运算量较大。由于故可得如下解法。 原方程变为 经检验,是原方程的根。 3. 在代数求值中的应用 例4. 已知与互
10、为相反数,求代数式的值。要求代数式的值,则需通过已知条件求出a、b的值,又因为,利用非负数及相反w数的性质可求出a、b的值。由已知得,解得 原式 把代入得:4. 用方程解决实际问题 例5. 一列火车从车站开出,预计行程450千米,当它开出3小时后,因特殊任务多停一站,耽误30分钟,后来把速度提高了0.2倍,结果准时到达目的地,求这列火车的速度。设这列火车的速度为x千米/时 根据题意,得 方程两边都乘以12x,得 解得 经检验,是原方程的根这列火车原来的速度为75千米/时。 5. 在数学、物理、化学等学科的学习中,都会遇到有关公式的推导,公式的变形等问题。而公式的变形实质上就是解含有字母系数的方
11、程。 例6. 已知,试用含x的代数式表示y,并证明。由,得6、中考原题: 例1已知,则M_。 分析:通过分式加减运算等式左边和右边的分母相同,则其分子也必然相同,即可求出M。 解: 例2已知,那么代数式的值是_。先化简所求分式,发现把看成整体代入即可求的结果。7、题型展示: 例1. 当x取何值时,式子有意义?当x取什么数时,该式子值为零?由 得或 所以,当和时,原分式有意义 由分子得 当时,分母 当时,分母,原分式无意义。 所以当时,式子的值为零 例2. 求的值,其中。先化简,再求值。1. 当x取何值时,分式有意义?2. 有一根烧红的铁钉,质量是m,温度是,它放出热量Q后,温度降为多少?(铁的
12、比热为c)4. 解方程:5. 要在规定的日期内加工一批机器零件,如果甲单独做,刚好在规定日期内完成,乙单独做则要超过3天。现在甲、乙两人合作2天后,再由乙单独做,正好按期完成。问规定日期是多少天? 6. 已知,求的值。由题意得 解得且 当且时,原式有意义设温度降为t,由已知得:温度降为。 3. 分析:此题的解法要比将和后两个分式直接通分计算简便,它采用了逐步通分的方法。因此灵活运用法则会给解题带来方便。同时注意结果要化为最简分式。原方程化为 化简得解分式方程时,在掌握一般方法的基础上,要注意根据题目的特点,选用简便的方法,减少繁琐计算。 5. 分析:设规定日期是x天,则甲的工作效率为,乙的工作效率为,工作总量为1设规定日期为x天 经检验是原方程的根规定日期是6天。 6. 解: 由(1)(2)解得
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