倒立摆实验报告文档格式.docx
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研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。
。
机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
，由于倒立摆本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。
但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。
下面我们采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型：
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图所示：
我们不妨做以下假设：
M小车质量
m摆杆质量
b小车摩擦系数
l摆杆转动轴心到杆质心的长度
I摆杆惯量
F加在小车上的力
x小车位置
φ摆杆与垂直向上方向的夹角
θ摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
图是系统中小车和摆杆的受力分析图。
其中，N和P为小车与摆杆相互作用
力的水平和垂直方向的分量。
注意：
在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而
矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。
分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
（3-1）
由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：
（3-2）
即：
（3-3）
把这个等式代入式（3-1）中，就得到系统的第一个运动方程：
（3-4）
为了推出系统的第二个运动方程，我们对摆杆垂直方向上的合力进行分析，
可以得到下面方程：
（3-5）
（3-6）
力矩平衡方程如下：
（3-7）
此方程中力矩的方向，由
l，故等式前面有负号。
合并这两个方程，约去P和N，得到第二个运动方程：
（3-8）
设θ=φ+π（φ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设φ与1（单位是弧
度）相比很小，即φ<
<
1，则可以进行近似处理：
用u来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
（3-9）
对式（3-9）进行拉普拉斯变换，得到
（3-10）
推导传递函数时假设初始条件为0。
由于输出为角度φ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
或
如果令则有：
把上式代入方程组的第二个方程，得到：
整理后得到传递函数：
其中
设系统状态空间方程为：
方程组对,解代数方程，得到解如下：
整理后得到系统状态空间方程：
由（3-9）的第一个方程为：
对于质量均匀分布的摆杆有：
于是可以得到：
化简得到：
设则有：
另外，也可以利用MATLAB中tf2ss命令对（3-13）式进行转化，求得上述状
态方程。
实际系统的模型参数如下:
M小车质量1.096Kg
m摆杆质量0.109Kg
b小车摩擦系数0.1N/m/sec
l摆杆转动轴心到杆质心的长度0.25m
I摆杆惯量0.0034kg*m*m
把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
摆杆角度和小车位移的传递函数：
摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：
摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：
以外界作用力作为输入的系统状态方程：
以小车加速度作为输入的系统状态方程：
注意事项：
在固高科技所有提供的控制器设计和程序中，采用的都是以
小车的加速度作为系统的输入，如果用户需要采用力矩控制的方法，可以参考以
上把外界作用力作为输入的各式。
五．系统的阶越响应分析
根据已经得到系统的状态方程，先对其进行阶跃响应分析，在
MATLAB中
键入以下命令：
clear;
A=[0100;
0000;
0001;
0029.40];
B=[0103]'
;
C=[1000;
0100];
D=[00]'
step（A,B,C,D）
可以看出，在单位阶跃响应作用下，小车位置和摆杆角度都是发散的。
六．频率响应分析（系统稳定性分析）
前面我们已经得到了直线一级倒立摆的物理模型，实际系统的
开环传递函数
为：
其中输入为小车的加速度V（s），输出为摆杆的角度Φ（s）。
在MATLAB下绘制系统的Bode图和奈奎斯特图。
在MATLAB中键入以下命令：
num=[0.02725];
den=[0.01021250-0.26705];
z=roots（num）;
p=roots（den）;
subplot（2,1,1）
bode（num,den）
subplot（2,1,2）
nyquist（num,den）
得到如下图所示的结果：
z=
Emptymatrix:
0-by-1
p=
5.1136
-5.1136
可以得到，系统没有零点，但存在两个极点，其中一个极点位于右半s平面，
根据奈奎斯特稳定判据，闭环系统稳定的充分必要条件是：
当ω从-∞到+∞变
化时，开环传递函数G（jω）沿逆时针方向包围-1点p圈，其中p为开环传递函数
在右半S平面内的极点数。
对于直线一级倒立摆，由奈奎斯特图我们可以看出，开
环传递函数在S右半平面有一个极点，因此G（jω）需要沿逆时针方向包围-1点一圈。
可以看出，系统的奈奎斯特图并没有逆时针绕-1点一圈，因此系统不稳定，
需要设计控制器来镇定系统。
七．具体控制方法
（一）双PID控制
直线一级倒立摆双PID控制实验
1．PID控制分析
经典控制理论的研究对象主要是单输入单输出的系统，控制器设计时一般需
要有关被控对象的较精确模型。
PID控制器因其结构简单，容易调节，且不需要
对系统建立精确的模型，在控制上应用较广。
对于倒立摆系统输出量为摆杆的角度，它的平衡位置为垂直向上的
情
况。
系统控制结构框图如下：
2.双PID实验控制参数设定及仿真。
在Simulinkzhong建立直线一级倒立摆模型
上下两个PID模块。
鼠标右键，选择“Lookundermask”打开模型
内部结构分别为：
双击第二个模块打开参数设置窗口
令kp=1.ki=0.kd=0
得到摆杆角度仿真结果
可看出控制曲线不收敛。
因此增大控制量。
令kp=-30.ki=0.kd=4.6.得
到如下仿
真结果
从上面摆杆角度仿真结果可看出，稳定比较好。
但稳定时间稍微有点长。
双击第一个模块打开参数设置窗
经多次尝试在此参数即kp=-7,ki=0,kp=-4.5情况下效果最好。
得到以下仿真结果
黄线为小车位置输出曲线，红线为摆杆角度输出曲线。
从图中可以看出，系统可以比较好的稳定。
稳定时间在稳定性不错。
3．双PID控制实验
打开直线一级倒立摆爽PID实时控制模块
2-3秒之间。
双击doublePID控制模块进入参数设置
把参数输入PID控制器。
编译程序，使计算机同倒立摆连接。
运行程序。
实验结果如下图所示
从图中可以看出，倒立摆可以实现比较好的稳定性。
（二）线性最优二次控制LQR
线性二次最优控制LQR控制实验
1线性二次最优控制LQR基本原理及分析
线性二次最优控制LQR基本原理为，由系统方程:
确定下列最佳控制向量的矩阵K：
u（t）=-K*x（t）
使得性能指标达到最小值:
式中Q——正定（或正半定）厄米特或实对称阵
R——为正定厄米特或实对称阵
图3-54最优控制LQR控制原理图
方程右端第二项是考虑到控制能量的损耗而引进的，矩阵Q和R
确定了误差和能量损耗的相对重要性。
并且假设控制向量u（t）是无约束的。
对线性系统：
根据期望性能指标选取Q和R，利用MATLAB命令lqr就可以得到反馈矩阵K的值。
K=lqr（A，B，Q，R）
改变矩阵Q的值，可以得到不同的响应效果，Q的值越大（在一定的范围之内），系统抵抗干扰的能力越强，调整时间越短。
但是Q不能过大
2.LQR控制参数调节及仿真
前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的比较精确的动力学
模型，下面我们针对直线型一级倒立摆系统应用LQR法设计与调节控制器，控制摆杆保持竖直向上平衡的同时，跟踪小车的位置。
前面我们已经得到了直线一级倒立摆系统的系统状态方程：
应用线性反馈控制器，控制系统结构如下图。
图中R
是施加在小车上的阶跃输入，四个状态量x,x,φ,φ分别代表小车位移、小车速度、摆杆角度和摆杆角速度，输出y=[x,φ]’包括小车位置和摆杆角度。
设计控制器使得当给系统施加一个阶跃输入时，摆杆会摆动，然后仍然回到垂直位置，小车可以到达新的指定位置。
假设全状态反馈可以实现（四个状态量都可测），找出确定反馈控制规律的向量K。
在Matlab中得到最优控制器对应的K。
Lqr函数允许你选择两个参数——R和Q，这两个参数用来平衡输入量和状态量的权重。
最简单的情况是假设
R=1，Q=C’*C。
当然，也可以通过改变Q矩阵中的非零元素来
调节控制器以得到期望的响应。
其中，Q1,1代表小车位置的权重，而Q3,3是摆杆角度的权重，输入的权重R是1。
下面来求矩阵K，Matlab语句为K=lqr（A,B,Q,R）。
下面在MATLAB中
编程计算：
B=[0103]'
0010];
D=[00]'
Q11=1500;
Q33=300;
Q=[Q11000;
00Q330;
0000];
R=1;
K=lqr（A,B,Q,R）;
Ac=[（A-B*K）];
Bc=[B];
Cc=[C];
Dc=[D];
T=0:
0.005:
5;
U=0.2*ones（size（T））;
Cn=[1000];
Nbar=rscale（A,B,Cn,0,K）;
Bcn=[Nbar*B];
[Y,X]=lsim（Ac,Bc,Cc,Dc,U,T）;
plot（T,X（:
1）,'
-'
）;
holdon;
2）,'
3）,'
.'
4）,'
legend（'
cartpls'
'
cartspd'
pendang'
pendspd'
）
令Q1,1=1，Q3,3=1求得
K[-1-1.785525.4224.6849]
在Simulink中建立直线一级倒立摆的模型如下图所示：
“LQRController”为一封装好的模块，在其上单击鼠标右键，选择“Lookunder
mask”打开LQRController结构如下：
双击“MatrixgainK”即可输入控制参数：
点击执行仿真，得到如下仿真结果：
LQR控制的阶跃响应如上图所示，从图中可以看出，闭环控制系统响
应的超调量很小，但稳定时间和上升时间偏大，我们可以通过增大控
制量来缩短稳定时间和上升时间。
可以发现，Q矩阵中，增加Q11使稳定时间和上升时间变短，
并且使摆杆的角度变化减小。
经过多次尝试,这里取Q1,1=1500，Q3,3
=300，
则K=[-32.7298-23.825581.618214.7098]
输入参数，运行得到响应曲线如下：
从图中可以看出，系统响应时间有明显的改善，增大
Q1,1和
Q3,3，系统的响应还会更快，但是对于实际离散控制系统，过大的
控制量会引起系统振荡。
3.直线一级倒立摆LQR控制实验
打开直线一级倒立摆LQR实时控制模块
其中“LQRController”为LQR控制器模块，“RealControl”为实时控
制模块，双击“LQRController”模块打开LQR控制器参数设置窗口
如下：
在“LQRController”模块上点击鼠标右键选择“Lookundermask”打开模
型如下：
双击“RealControl”模块打开实时控制模块如下图：
其中“Pendulum”模块为倒立摆系统输入输出模块，输入为小车的速度“Vel”和“Acc”，输出为小车的位置“Pos”和摆杆的角度
“Angle”。
双击“Pendulum”模块打开其内部结构：
其中“SetCart’sAccandVel”模块的作用是设置小车运动的速度和加速度，GetCart’sPosition”模块的作用是读取小车当前的实际位置，“GetPend’sAngle”的作用是读取摆杆当前的实际角度。
2）运行程序，实验运行结果如下图所示：
其中图片上半部分为小车的位置曲线，下半部分为摆杆角度的变化曲线，从图中可以看出，小车位置和摆杆角度比较稳定。
控制效果很好。
在此实验中，R值固定，R=1,则只调节Q值，Q11代表小车位置的权重，而Q33是摆杆角度的权重，若Q33增加，使得θ的变化幅度减小，而位移r的响应速度变慢；
若Q11增加，使得r的跟踪速度变快，而θ的变化幅度增大。
当给系统施加一个阶跃输入后，得到系统的响应结果。
从响应曲线可明显看出是否满足系统所要达到的性能指标要求。
通过这样反复不断的试凑，选取能够满足系统动态性能要求的Q和R。
（三）直线二级倒立摆
直线两级倒立摆由直线运动模块和两级倒立摆组件组成。
6.1系统物理模型
为简化系统，我们在建模时忽略了空气阻力和各种摩擦，并认为摆杆为刚体。
二级倒立摆的组成如图6-1所示：
图6-1直线两级倒立摆物理模型倒立摆参数定义如下：
m1摆杆1的质量
m2摆杆2的质量
m3质量块的质量
l1摆杆1中心到转动中心的距离
l2摆杆2中心到转动中心的距离
θ1摆杆1与竖直方向的夹角
θ2摆杆2与竖直方向的夹角
F作用在系统上的外力
利用拉格朗日方程推导运动学方程：
拉格朗日方程为：
L（q,q）=T（q,q）-V（q,q）
其中L为拉格朗日算子，q为系统的广义坐标，T为系统的
动能，V为系统的势能。
其中i＝1,2,3,,n，fi为系统在第i个广义坐标上的外力，
在二级倒立摆系统中，系统的广义坐标有三个广义坐标，分别为x,
θ1,θ2。
首先计算系统的动能：
其中Tm,Tm1,Tm2,Tm3分别为小车的动能，摆杆1的动能，摆杆
2的动能和质量块的动能。
小车的动能：
Tm1=Tm1'
+Tm2'
'
其中Tm1'
Tm2'
分别为摆杆1的平动动能
和转动动能。
Tm2=Tm2'
其中Tm2'
分别为摆杆2的平动动能
对于系统，设以下变量：
xpend1摆杆1质心横坐标；
yangle1摆杆1质心纵坐标；
xpend2摆杆2质心横坐标；
yangle2摆杆2质心纵坐标；
xmass质量块质心横坐标；
ymass质量块质心纵坐标；
又有：
由于系统在θ1,θ2广义坐标下没有外力作用，所以有：
在Mathematics中计算以上各式。
因其余各项为0，所以这里仅列举了k12、k13、k17、k22、k23、k27
等7项，得到结果如下：
6.2系统可控性分析
系统状态矩阵A,B,C,D如下：
利用MATLAB计算系统状态可控性矩阵和输出可控性矩阵的秩：
得到结果如下：
或是通过MATLAB命令ctrb和obsv直接得到系统的可控性和可
观测性。
运行的到：
可以得到，系统状态和输出都可控，且系统具有可观测性。
6.3直线两级倒立摆MATLAB仿真
在MATLABSimulink中建立直线两级倒立摆的模型：
其中“State-Space”模块为直线两级倒立摆的状态方程，双击模块打开模型：
“Controller”模块为控制器模块，在“Controller”模块上单击鼠标右键，选择“Lookundermask”打开模型内部结构：
其中“MatrixGainK”为反馈矩阵。
双击“Controller”模块打开其参数设置窗口：
先设置参数为“1”。
“Disturbance”模块为外界干扰模块，其作用是给系统施加一个阶跃信号，点击
“”运行模型进行开环系统仿真。
得到运行结果如下：
从仿真结果可以看出，系统发散，为使系统稳定，需要对其添加
控制器。
6.4LQR控制器设计及仿真
给系统添加LQR控制器，添加控制器后的系统闭环图如下图所
示：
下面利用线性二次最优控制LQR方法对系统进行控制器的设
计
clc;
k12=86.69;
k13=-21.62;
k17=6.64;
k22=-40.31;
k23=39.45;
k27=-0.088;
a=[000100;
000010;
000001;
000000;
0k12k13000;
0k22k23000];
b=[0001k17k27]'
c=[100000;
010000;
001000];
d=[0;
0;
0];
q11=1;
q22=1;
q33=1;
q=[q1100000;
0q220000;
00q33000;
000000;
000000];
r=1;
k=lqr（a,b,q,r）
aa=a-b*k;
b=b*k
（1）;
sys=ss（aa,b,c,d）;
t=0:
0.01:
[y,t,x]=step（sys,t）;
plot（t,y（:
g'
t,y（:
r'
3））;
gridon
运行得到以下结果：
LQR控制参数为：
K=[173.818-83.9412.01624.2791-13.036]
得到仿真结果如下：
可以看出，系统稳定时间过
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