实验作业7微 分 方 程初稿Word格式文档下载.docx

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小孩B点所走曲线为一个A点

为心的圆，则玩具不动。

此时，如果小孩B

行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，

这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度

与玩具A的速度不同。

由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度

与玩具A的速度

是不同的。

假设3：

如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。

而玩具A走的轨迹为曲线c´

。

则t时刻小孩

的坐标为

，

玩具

（1）t时刻，由于

的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，假设棒与地面的角度不变，因此有：

即

（1）

（2）设玩具在A点的速度

，则

的方向应为玩具所走曲线c的切线方向，而玩具始终是沿着小棒AB的方向，所以：

而

所以：

又

，由向量知识有

简化得：

故有

化简得

小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为：

函数文件：

建立函数文件fun1.m

functiondy=fun1（t,y）

dy=[（-5*sin（t）*（5*cos（t）-y

（1））+5*cos（t）*（5*sin（t）-y

（2）））*（5*cos（t）-y

（1））./（（5*cos（t）-y

（1））^2+（5*sin（t）-y

（2））^2）,

（-5*sin（t）*（5*cos（t）-y

（1））+5*cos（t）*（5*sin（t）-y

（2）））*（5*sin（t）-y

（2））./（（5*cos（t）-y

（1））^2+（5*sin（t）-y

（2））^2）]

主程序：

zuoye1.m

clear,clc

closeall

[t,y]=ode45（'

fun1'

[0,100],[10,0]）;

X=5*cos（t）;

Y=5*sin（t）;

figure

（1）

plot（X,Y,'

r.'

）

holdon

plot（y（:

1）,y（:

2）,'

*'

untitled1.fig

%玩具的初始位置为（12,0）zuoye2.m

t0=0;

tf=100;

[t0,tf],[12,0]）;

figure

（2）

untitled2.fig

%玩具的初始位置为（8,0）zuoye3.m

[t0,tf],[8,0]）;

figure（3）

r*'

.'

untitled3.fig

2.讨论资金积累、国民收入、与人口增长的关系.

（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.

（2）作出k（x）和r（x）的示意图，分析人口激增会引起什么后果.

（1）

根据题意,我们可以设第t年的总人口为Z（t）.则有第（t+1）年的总人口为Z（t+1）=（1+r）*Z（t）.

设第t年的资金总积累为P（t）,第（t+1）年的资金总积累为P（t+1）=（1+k）*P（t）.

第（t+1）年的人口平均积累y（t+1）=P（t+1）/Z（t+1）.

因为国民平均收入x（t）=m*y（t）,x（t+1）=m*y（t+1）（m为常数）.由y（t+1）=[（1+k）*P（t）]/[（1+r）Z（t）]可知（因为PZ为常）要使y（t+1）大于y（t）,则必须（1+k）/（1+r）要大于1,即总资金的相对增长率k要大于人口的相对增长率r.

（2）

网上获得数据，自2007年起的国民平均收入，人口数，总资金累积量的图表。

总资金积累与时间的图象

人口数与时间的图象

国民收入与时间的关系

若资金积累增长率k和人口增长率r由国民平均收入x确定，一般情况下k（x），r（x）都是升函数[2]。

二曲线交点M的横坐标X0是平衡点。

因为X=X0时，K=0,dx=0。

该平衡点的稳定性取决于平衡点附近k（x）和r（x）的增长速度。

若k’（x）>

r’（x），则平衡点不稳定，即国民平均收入将不断增长，反之，则X0稳定，即国民平均收入将停滞。

在不稳定平衡点X0的情况下，国民平均收入不断增长。

假定人口增长率突然增加，造成r（x）函数上提，此时平衡点将左移，此时r‘（x）将增大，k’（x）趋于0。

此时r‘（x）>

k’（x）.表现出国民平均收入的停滞。

由此可见：

人口激增会导致国民平均收入降低，对生存空间将更具压力，坚持计划生育，调控人口，是我国健康发展的必需途径。

模型假设1国民平均收入与人口平均资金积累成正比，所以设a为总资金积累量占总国民收入的比例，且在所取时间段内a为定值，增长率k和r；

2增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间的关系不受其他因素干扰；

3结合实际情况，我们只选取最近的具有代表性的某一个时间段内的数据进行分析，并把它作为最终的结果；

符号说明

x1（t）—总资金积累量x2（t）—总人口数量x3（t）—总国民收入t—所选取的时间a—总资金积累量占总国民收入的比例x—国民平均收入y—¬

¬

人口平均积累k—总资金积累的相对增长率r—人口的相对增长率建立模型不考虑其他外界因素

针对一组具体的数据用MATLB软件进行计算，首先根据以上微分方程组建立以下M文件renkou.m如下

functiondx=renkou（t,x）dx=zeros（3,1）;

dx

（1）=k*x1;

dx

（2）=r*x2;

dx（3）=a*（k-r）*x3

其次建立主程序如下

[t,x]=ode23（'

renkou'

[0,15],[0,0]）;

plot（t,x（:

1）,'

b*'

t,x（:

r+'

3）,'

gs'

）figure（3）;

plot（x（:

1），x（:

2）,x（:

3））模型求解

求解结果：

数值解如下图：

x1（t）为“*”线，x2（t）为“+”线，x3（tt）为“。

”线。

资金积累与时间关系图

人口与时间关系图

国民收入与时间关系图

由图可知，当r>

k时，国民平均收入是增长的，结论显然成立。