实验作业7微 分 方 程初稿Word格式文档下载.docx

1、小孩B点所走曲线为一个A点为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度与玩具A的速度不同。由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度与玩具A的速度是不同的。假设3：如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4 ），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c。 则t时刻小孩的坐标为，玩具（1） t时刻，由于的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，假设棒与地面的角度不变，因此有：即 （1）（2） 设玩具在A点的速度，则的方向应为玩具所走曲线c的切线方向，而玩具始终

2、是沿着小棒AB的方向，所以：而所以：又，由向量知识有简化得：故有化简得小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为：函数文件：建立函数文件fun1.m function dy=fun1（t,y）dy=（-5*sin（t）*（5*cos（t）-y（1）+5*cos（t）*（5*sin（t）-y（2）*（5*cos（t）-y（1）./（5*cos（t）-y（1）2+（5*sin（t）-y（2）2）,（-5*sin（t）*（5*cos（t）-y（1）+5*cos（t）*（5*sin（t）-y（2）*（5*sin（t）-y（2）./（5*cos（t）-y（1）2+（5*sin

3、（t）-y（2）2）主程序：zuoye1.mclear,clcclose allt,y=ode45（fun1,0,100,10,0）;X=5*cos（t）;Y=5*sin（t）;figure（1）plot（X,Y,r.）hold onplot（y（:,1）,y（:,2）,*untitled1.fig%玩具的初始位置为（12,0）zuoye2.mt0=0;tf=100;,t0,tf,12,0）;figure（2）untitled2.fig%玩具的初始位置为（8,0）zuoye3.m,t0,tf,8,0）;figure（3）r*.untitled3.fig2. 讨论资金积累、国民收入、与人口增长的

4、关系.（1）若国民平均收入x与按人口平均资金积累y成正比，说明仅当总资金积累的相对增长率k大于人口的相对增长率r时，国民平均收入才是增长的.（2）作出k（x）和r（x）的示意图，分析人口激增会引起什么后果.（1）根据题意,我们可以设第t年的总人口为Z（t）.则有第（t+1）年的总人口为Z（t+1）=（1+r）*Z（t）.设第t年的资金总积累为P（t）,第（t+1）年的资金总积累为P（t+1）=（1+k）*P（t）.第（t+1）年的人口平均积累y（t+1）=P（t+1）/Z（t+1）.因为国民平均收入x（t）=m*y（t）,x（t+1）=m*y（t+1）（m为常数）.由y（t+1）=（1+k）*

5、P（t）/（1+r）Z（t）可知（因为P Z为常）要使y（t+1）大于y（t）,则必须（1+k）/（1+r）要大于1,即总资金的相对增长率k要大于人口的相对增长率r.（2）网上获得数据，自2007年起的国民平均收入，人口数，总资金累积量的图表。总资金积累与时间的图象人口数与时间的图象国民收入与时间的关系若资金积累增长率k和人口增长率r由国民平均收入x确定，一般情况下k（x），r（x）都是升函数2。二曲线交点M的横坐标X0是平衡点。因为X=X0时，K=0,dx=0。该平衡点的稳定性取决于平衡点附近k（x）和r（x）的增长速度。若k（x）r（x），则平衡点不稳定，即国民平均收入将不断增长，反之，则

6、X0稳定，即国民平均收入将停滞。在不稳定平衡点X0的情况下，国民平均收入不断增长。假定人口增长率突然增加，造成r（x）函数上提，此时平衡点将左移，此时r（x）将增大，k（x）趋于0。此时r（x）k（x）.表现出国民平均收入的停滞。由此可见：人口激增会导致国民平均收入降低，对生存空间将更具压力，坚持计划生育，调控人口，是我国健康发展的必需途径。模型假设1国民平均收入与人口平均资金积累成正比，所以设a为总资金积累量占总国民收入的比例，且在所取时间段内a为定值，增长率k和r；2增长率k和r以及总资金积累量、总国民收入和总人口数量之间的关系不受其他因素干扰；3 结合实际情况，我们只选取最近的具有代表性

7、的某一个时间段内的数据进行分析，并把它作为最终的结果；符号说明x1（t） 总资金积累量 x2（t） 总人口数量 x3（t） 总国民收入t所选取的时间a总资金积累量占总国民收入的比例x国民平均收入y人口平均积累k总资金积累的相对增长率r人口的相对增长率建立模型不考虑其他外界因素针对一组具体的数据用MATLB软件进行计算，首先根据以上微分方程组建立以下M文件renkou.m如下function dx=renkou（t,x）dx=zeros（3,1）;dx（1）=k*x1;dx（2）=r*x2;dx（3）=a*（k-r）*x3其次建立主程序如下 t,x=ode23（renkou,0,15,0,0）;plot（t,x（:,1）,b*,t,x（:r+,3）,gs）figure（3）;plot（x（:,1），x（:,2）,x（:,3）模型求解求解结果：数值解如下图：x1（t） 为 “*”线 ，x2（t）为“+”线 ，x3（tt）为“。”线。 资金积累与时间关系图人口与时间关系图 国民收入与时间关系图由图可知，当rk时，国民平均收入是增长的，结论显然成立。